6534

3.2 Примеры задач для практических занятий

Задачи для раздела 1.

Задача 1. В ящике имеется 15 пар обуви, из которых 5 пар зимней. Науда-

чу извлекается 4 пары. Найти вероятность того, что все они будут парами летней обуви.

Задача 2. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины (все номера 4-х значные, начиная с 0001, не повторяющиеся и равновозможные) не содержит одинаковых цифр.

Задача 3. На отрезке AB произвольно нанесены 4 точки. Какова вероят-

ность того, что наудачу выбранный отрезок из числа всех образовавшихся одним из своих концов имеет точку A?

Задача 4. Вероятность того, что ученик сдаст первый экзамен равна 0,9;

второй – 0,8; третий – 0,7. Какова вероятность того, что ученик сдаст не менее 2-х экзаменов?

Задача 5. Из урны, содержащей 2 белых и 8 черных шаров, извлекаются шары до тех пор, пока не появится черный шар. Найти вероятность того,

что потребуется сделать не более 2-х попыток.

Задача 6. При хороших метеоусловиях вероятность благополучной посад-

ки самолета равна 0,9999, при плохих – 0,9991. Для данного аэропорта в 80 % случаев погода считается благополучной. Найти вероятность благопо-

лучного приземления самолета.

Задача 7. В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью 0,05; ученик – с

вероятностью 0,15. Поступившее из цеха изделие оказалось бракованным.

Какова вероятность того, что его изготовил мастер?

11

Задача 8. Вероятность того, что магнитофон потребует ремонта во время гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 4-х магни-

тофонов во время гарантийного срока потребуют ремонта не менее двух.

Задача 9. Самка крокодила откладывает 100 яиц. Вероятность того, что де-

теныш вырастет до взрослого животного, равна 0,04. Какова вероятность того, что вырастет хотя бы один детеныш.

Задача 10. Дано : P(A) = 0,8 ; P(AB) = 0,5 ; PB A = 0,8. Найти P(B), P(A + B), PA B . Зависимы ли A и B?

Задача 11. Можно бросать симметричную монету до 7 раз и выиграть

100$, если появится по крайней мере 3 герба до появления цифры. Каковы шансы выиграть 100$?

Задача 12. Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью

0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фир-

ма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85, а при понижении

– с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что фирма получит при-

быль.

Задачи для раздела 2.

Задача 1. 3. Найдите, используя рисунок, вероятность попадания случай-

ной величины X в интервал (0, 6)

ρ(x)

x

12

Задача 2. У продавца имеются изделия, полученные в равных количествах с трех фабрик. Вероятность того, что эти изделия отличного качества, для каждой фабрики соответственно составляет 0,8; 0,7 и 0,9. Отобрано 2 изде-

лия. Составить закон распределения количества изделий отличного каче-

ства среди отобранных (указание: вначале вычислить вероятность отбора изделия отличного качества).

Задача 3. Задан закон распределения случайной величины X:

Определить: а) значение b; б) вероятность P (3 ≤ X <7); в) М(Х).

Задача 4. Случайная величина X задана плотностью вероятности

0,x 1,7

Найти P (2 < x <5).

Задача 5. СВ имеет нормальный закон распределения с параметрами: a = 8,6; = 0,5. Необходимо:

1)найти плотность вероятности этой СВ;

2)найти вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, большее

9.

Задача 6. Случайная величина X задана плотностью вероятности

Задача 7. За каждый процент перевыполнения плана полагается премия 50

руб., а за каждый процент недовыполнения заработок уменьшается на 30

13

руб. Найти ожидаемый размер премии, если прогноз выполнения плана та-

ков:

Задача 8. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,2. Найти вероятность того, что при 2400 выстрелах мишень будет поражена не менее 600 и не более 660 раз.

Задача 9. Может ли функция распределения быть константой на всей об-

ласти определения?

( т.е. F(x) = C для любого x R ).

Задача 10. Произведено 300 независимых испытаний. В каждом из них ве-

роятность появления события А равна 0,2. Найти вероятность того, что от-

клонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолют-

ной величине не превысит 0,02.

Задача 11. Фирма выпускает мини-заводы по производству хлеба. На ре-

кламу может быть израсходовано определенное количество средств. В таб-

лице приведены возможное количество проданных в течение месяца заво-

дов (X) и объем средств, израсходованных на рекламу (Y). Каждой паре

(x i , y i ) случайных величин (X,Y) поставлена в соответствие вероятность p(x i , y i ) появления этой пары.

X

Y

14

Требуется составить условный закон распределения вероятностей величи-

ны Y при X =

Задачи для раздела 3.

Задача 1. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины X

на основании данного распределения выборки:

Задача 2. Стеклянные однородные изделия отправлены для реализации из Москвы в Новосибирск в 1000 контейнерах. После поступления товара было выявлено количество разбитых изделий в каждом контейнере. Ре-

зультаты представлены в таблице:

Считая, что число разбитых изделий описывается законом Пуассона, найти реализацию точечной оценки параметра .

Задача 3. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, где m i - частота попадания вариант в промежу-

ток (x i , x i 1 ].

Задача 4. Построить ДВР и начертить полигон для следующего распреде-

ления электрического тока в сети

39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44,40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 42.

Задача 5. Из большой партии изготовленных валиков по выборке объема n 25 найдена выборочная средняя арифметическая диаметра валика, рав-

ная 10 мм. Считая, что диаметр валика X – нормально распределенная СВ,

найти доверительный интервал, который с доверительной вероятностью

0,99 покрывает неизвестное математическое ожидание а диаметра валика,

если генеральное среднее квадратичное отклонение 0,1 мм.

Задача 6. Предположим, что вы отвергли нулевую гипотезу при уровне значимости 5 %. Верно ли утверждение о том, что вы автоматически не от-

вергнете нулевую гипотезу при уровне значимости 1 %? Ответ поясните графически.

Задача 7. Найти и построить эмпирическую функцию распределения для выборки, представленной статистическим рядом

Задача 8. По паспортным данным на автомобильный двигатель, расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л при среднем квадратичном от-

16

клонении 2 л. В результате совершенствования конструкции ожидается,

что расход топлива уменьшится. Для проверки проведены испытания 25

случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем:

средний расход топлива на 100 км пробега составил 9,2 л. Используя 5 %-й

уровень значимости, проверить гипотезу, утверждающую, что модерниза-

ция повлияла на расход топлива.

Задача 9. Монету подбрасывают n раз. Вероятность выпадения герба при каждом подбрасывании равна p. В ходе опыта монета выпала гербом nA

герба в каждом опыте. / Указание. Воспользоваться тем, что число успехов nA имеет распределение Бернулли (биномиальное распределение) /

Задача 10. Найти минимальный объем выборки при котором с надежно-

стью 0,925 точность оценки матожидания нормально распределенной ге-

неральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности равно 1,5.

Задача 11. Покажите, что при наличии n наблюдений условием того, чтобы обобщенная формула 1 x1 ... n xn давала несмещенную оценку для M(X),

является 1 ... n 1.

17

4. Методические рекомендации по организации самостоя-

тельной работы

4.1 Общие рекомендации для самостоятельной работы

Самостоятельная работа студентов является основным способом овла-

дения учебным материалом в свободное от обязательных учебных занятий

время.

Целями самостоятельной работы студентов являются:

-систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

-углубление и расширение теоретических знаний;

-формирование умений использовать нормативную, правовую, спра-

вочную документацию и специальную литературу;

-развитие познавательных способностей и активности студентов:

-формирования самостоятельности мышления, способностей к само-

развитию, самосовершенствованию и самореализации.

Запланированная в учебном плане самостоятельная работа студента рассматривается как связанная либо с конкретной темой изучаемой дисци-

плины, либо с подготовкой к курсовой, дипломной работе, а также к защи-

те ВКР. В данном разделе рассматривается только самостоятельная работа первого вида.

Самостоятельная работа выполняется в два этапа: планирование и ре-

ализация.

Планирование самостоятельной работы включает:

-уяснение задания на самостоятельную работу;

-подбор рекомендованной литературы;

-составление плана работы, в котором определяются основные пунк-

ты предстоящей подготовки.

Составление плана дисциплинирует и повышает организованность в

18

работе.

На втором этапе реализуется составленный план. Реализация включа-

ет в себя:

-изучение рекомендованной литературы;

-составление плана (конспекта) по изучаемому материалу (вопросу);

-взаимное обсуждение материала.

Необходимо помнить, что на лекции обычно рассматривается не весь материал. Оставшаяся восполняется в процессе самостоятельной работы. В

связи с этим работа с рекомендованной литературой обязательна.

Работа с литературой и иными источниками информации включает в себя две группы приемов: техническую, имеющую библиографическую направленность, и содержательную. Первая группа – уяснение потребно-

стей в литературе; получение литературы; просмотр литературы на уровне общей, первичной оценки; анализ надежности публикаций как источника информации, их относимости и степени полезности. Вторая – подробное изучение и извлечение необходимой информации.

Для поиска необходимой литературы можно использовать следующие способы:

-поиск через систематический каталог в библиотеке;

-просмотр специальных периодических изданий;

-использование материалов, размещенных в сети Интернет.

Для того, чтобы не возникало трудностей понимания текстов учебни-

ка, монографий, научных статей, следует учитывать, что учебник и учебное пособие предназначены для студентов и магистрантов, а монографии и ста-

тьи ориентированы на исследователя. Монографии дают обширное описа-

ние проблемы, содержат в себе справочную информацию и отражают по-

лемику по тем или иным дискуссионным вопросам. Статья в журнале крат-

ко излагает позицию автора или его конкретные достижении в исследова-

нии какой-либо научной проблемы.

19

В процессе взаимного обсуждения материала закрепляются знания, а

также приобретается практика в изложении и разъяснении полученных знаний, развивается речь.

При необходимости студенту следует обращаться за консультацией к преподавателю.

Составление записей или конспектов позволяет составить сжатое представление по изучаемым вопросам. Записи имеют первостепенное значение для самостоятельной работы студентов. Они помогают понять построение изучаемого материала, выделить основные положения, просле-

дить их логику.

Ведение записей способствует превращению чтения в активный про-

цесс. У студента, систематически ведущего записи, создается свой индиви-

дуальный фонд подсобных материалов для быстрого повторения прочи-

танного. Особенно важны и полезны записи тогда, когда в них находят от-

ражение мысли, возникшие при самостоятельной работе.

Можно рекомендовать следующие основные формы записи: план, кон-

спект, тезисы, презентация.

План – это схема прочитанного материала, краткий (или подробный)

перечень вопросов, отражающих структуру и последовательность материа-

ла. Подробно составленный план вполне заменяет конспект.

Конспект – это систематизированное, логичное изложение материала источника. Объем конспекта не должен превышать 10 страниц. Шрифт

Times New Roman, кегль 14, интервал 1,5. Список литературы должен со-

стоять из 5-8 источников, по возможности следует использовать последние издания учебных пособий и исследований.

Тезисы — это последовательность ключевых положений из некоторой темы без доказательств или с неполными доказательствами. По объему те-

зисы занимают одну страницу формата А4 или одну – две страницы в уче-

нической тетради. В конце тезисов студент должен сделать собственные выводы.

20