6519
.pdf
Глава 3 Расчет ренты
i ′ = m
1 + i − 1
1
i'+1 = (1 + i )m
1
q ' = q m
При последующем рассмотрении для «вспомогательного» платежа верно:
R = r + r × q'+r × q'2 +... + r × q'm−1
R = r × |
q 'm -1 |
= r × |
q - 1 |
= r × |
i |
|
||
|
q '-1 |
q '-1 |
i ' |
|||||
|
|
|
|
|
||||
R = r × |
i |
|
|
|
33 |
|||
i¢ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
При предварительном рассмотрении имеет силу:
R ¢ = r'×q ¢× |
i |
33a |
|
i ¢ |
|||
|
|
Пример:
Заключен договор на депозит с пополнением 750 евро в конце каждого месяца. Какова накопленная сумма после 15 лет при годовом проценте 5%?
При относительном начислении сложных процентов на конец года:
R = 750 12 + |
11 |
× 0,05 |
= 9.206,25 |
||
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
R15 = 9.206,25 × 1,0515 -1 = 198.657,65
1,05 -1
При конформном начислении сложных процентов на конец года:
i ' = 12
1 + 0,05 - 1 = 0,0040741
R = 750 × |
0,05 |
|
= 9.204,49 |
||
|
|
|
|||
0,0040741 |
|||||
R = 9.204,49 × |
1,0515 -1 |
= 198.619,68 |
|||
|
|||||
15 |
1,05 |
-1 |
|
||
|
|
||||
30
Глава 4 Погашение задолженности
Глава 4 Погашение задолженности
Определение:
Под погашением задолженности понимают выплату долгосрочного долга (займа, ипотеки, кредита), особенно в случае, если он погашается равномерными платежами (платежами в погашение задолженности).
Для выплаты долга часто составляется план погашения долга, из которого можно видеть процесс погашения, в особенности начисление процентов на остаток долга и сумму ежегодного платежа (аннуитет).
При этом под аннуитетом понимают ежегодную общую сумму выплаты долга (расходы по обслуживанию долга), состоящую из расходов по погашению основного долга и платежей по процентам. Обычно выплата происходит в конце года (и является последующей). В зависимости от способа выплаты различают следующие формы погашения задолженности:
•погашение основного долга равными долями;
•погашение долга аннуитетами (постоянные аннуитеты);
•погашение долга процентными аннуитетами (округленный аннуитет с остатком).
Основные обозначения:
К0 - начальная задолженность,
Kk - остаток долга на конец k-го года, Zk - проценты на конец k-го года,
Tk - платеж в погашение основного долга в конце k-го года, Ak - aннуитет в конце k-го года.
4.1 Погашение основного долга равными долями (последующее)
Задание 1:
Кредит в размере 1.000.000 евро необходимо погасить в течение пяти следую- щих лет равными долями при ставке процента 4% годовых. Как выглядит план погашения?
Таблица 4.1 Погашение основного долга равными долями
Год |
Остаток долга на |
Проценты (4%) |
Погашение |
Аннуитет |
|
начало года |
|
основного долга |
|
1 |
1.000.000 |
40.000 |
200.000 |
240.000 |
2 |
800.000 |
32.000 |
200.000 |
232.000 |
3 |
600.000 |
24.000 |
200.000 |
224.000 |
4 |
400.000 |
16.000 |
200.000 |
216.000 |
5 |
200.000 |
8.000 |
200.000 |
208.000 |
|
|
31 |
|
|
Глава 4 Погашение задолженности
Характерным для погашения основного долга равными долями является то, что остаток долга на начало года, проценты и аннуитеты каждый в отдельности снижаются в арифметической прогрессии.
В общем случае следует:
Кредит в размере Ко должна быть погашен равными суммами в течение последующих n лет под i % годовых. Как выглядит план погашения?
Таблица 4.2 Погашение основного долга равными долями (общий случай)
Год |
Остаток долга на |
Проценты |
Погашение |
|
Аннуитет |
|||
|
начало года |
|
основного |
|
|
|||
|
|
|
долга |
|
|
|||
1 |
K0 |
Z1 = K0 ● i |
T = |
K |
0 |
|
A1 = T + K 0 × i |
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
K0 - T |
Z2 = (K0 - T) ● i |
T = |
K |
0 |
|
A2 = T + (K 0 - T )× i |
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
K0 - 2T |
Z3 = (K0 – 2T) ● i |
T = |
K |
0 |
|
A3 = T + (K0 - 2T )×i |
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
К |
K0 - (k - 1) T |
Zk=[K0 – (k-1)T] ● i |
T = |
K |
0 |
|
Ak |
= T + (K0 - (k -1)T )×i |
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
К+1 |
K0 - k T |
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
n |
K0 - (k - 1) T = T |
Zk=[K0 – (k-1)T] ● i = |
T = |
K |
0 |
|
An |
= T + T ×i |
|
|
T ● i |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Из этого общего плана погашения можно вывести следующие формулы:
1. Для остающихся равными сумм (долей) погашения основного долга Т верно:
T = Tk |
= |
K |
0 |
34 |
|
n |
|||||
|
|
|
|||
2. Для остатка долга Кk на конец k-го года (соответствует остатку долга на начало (k+1)-го года) верно:
Kk = K0 - k ×T |
|
K k = n ×T - k ×T = (n - k )×T |
|
K k = (n - k ) × T |
35 |
Пример (см. данные задания 1):
Какова величина остатка долга на конец 3-го года?
32
Глава 4 Погашение задолженности
К3 = (5 - 3)× 200.000 = 400.000
3. Для процентов в конце k-го года Zk верно:
Z k = [K 0 - (k -1)×T ]×i
Z k = [n ×T - (k -1)×T ]× i
Z k = [n - k +1)×T × i |
36 |
Пример (см. данные задания 1):
Какова величина процентов в конце 3-го года?
Z3 = (5 - 3 +1)× 200.000× 0,04 = 24.000
4. Для текущей стоимости всех процентных платежей верно:
Z0 = K0 -T ×an =(n -an )×T |
37 |
Доказательство производится с помощью формулы |
29 . |
Пример (см. данные задания 1):
Необходимо найти текущую стоимость всех процентных платежей.
Z 0 = (n - an ) ×T
|
|
|
|
5 |
-1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
1,04 |
|
|
|
|
||||
Z0 |
= |
5 |
- |
|
|
|
× |
|
|
|
× 200.000 |
=109.638 |
1,04 -1 |
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1,04 |
|
|
|
||||
При этом первые t лет (t < долга, т.е. выплачиваются основного долга.
n) могут быть свободными от погашения основного только проценты, но не происходит погашение
K0 |
|
|
BC |
|
|
|
||
|
|
|
|
5:D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
… |
t t +1 |
… |
n |
||||
Рис. 4.1 Погашение долга при t свободных от погашения основного долга лет
Для случая погашения основного долга равными долями при t свободных от погашения основного долга лет выводятся следующие формулы:
1. Для суммы погашения основного долга:
T = Tk |
= |
K |
0 |
38 |
|
n - t |
|||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
Глава 4 Погашение задолженности |
|
|
2. |
Для остатка долга на конец k-го года: |
|
|||
|
Kk |
= K0 |
k ≤ t |
|
39 |
|
|
(n − k )T |
k > t |
|
|
3. |
Для процентов в конце k-го года: |
|
|||
|
Zk |
K0 ×i |
|
k £ t |
40 |
|
= |
×T ×i |
t < k £ n |
||
|
|
(n - k +1) |
|
||
Задание 2:
Ссуда в размере 1.000.000 евро под 4% годовых должна быть погашена в течение следующих пяти лет равными долями. Первые три года свободны от погашения основного долга. Как выглядит план погашения?
Таблица 4.2 Погашение основного долга равными долями при t = 3 свободных от погашения основного долга лет
Год |
Остаток долга на |
Проценты (4%) |
Погашение |
Аннуитет |
|
начало года |
|
основного долга |
|
|
|
|
|
|
1 |
1.000.000 |
40.000 |
0 |
40.000 |
|
|
|
|
|
2 |
1.000.000 |
40.000 |
0 |
40.000 |
|
|
|
|
|
3 |
1.000.000 |
40.000 |
0 |
40.000 |
|
|
|
|
|
4 |
1.000.000 |
40.000 |
500.000 |
540.000 |
|
|
|
|
|
5 |
500.000 |
20.000 |
500.000 |
520.000 |
|
|
|
|
|
4.2. Погашение долга аннуитетами (последующее)
AK AK
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проценты |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проценты |
|
|
|
|||||
|
|
Погашение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Погашение |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
основного долга |
|
|
основного долга |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 |
K |
0 1 2 3 4 5 |
K |
|
|
34 |
|
Глава 4 Погашение задолженности
Рис. 4.2 Погашение долга аннуитетами Недостаток погашения основного долга равными долями состоит в том, что
годовая сумма задолженности не только не постоянна, но и особенно высока именно в первые годы погашения долга. При погашении аннуитетами сумма платежей по погашению основного долга и процентов (т.е. расходы по обслуживанию долга или аннуитет) остается постоянной. Это достигается тем, что в процессе погашения «сэкономленные» проценты добавляются к предыдущему платежу по погашению основного долга, так что сумма (уменьшившихся) процентов и (увеличившегося) платежа по погашению основного долга остается каждый год одинаковой.
Задание 3:
Ссуда в размере 1.000.000 евро под 4% годовых должна быть погашена в течение следующих пяти лет. По условию договора выплачиваются постоянные аннуитеты. Как выглядит план погашения?
Для начала необходимо ответить на вопрос, как определяется постоянный аннуитет?
K0 |
A |
A |
A |
… |
A A |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
n-1 n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 4.3 Временной аспект погашение долга аннуитетами |
|||||||||||
Так как аннуитеты на конец каждого года равновелики и постоянны, то их можно рассматривать как ренту с равными суммами погашения. Они в
совокупности представляют собой выплату общей задолженности |
K0 по |
отношению к моменту времени 0, т.е. верно: |
|
К0 = А ● аn , |
45 |
где A - аннуитет, |
|
an - коэффициент дисконтирования ренты. |
|
Это уравнение Эйлера по погашению долга гласит, что общая сумма
задолженности (расходы по обслуживанию долга) соответствует текущей |
|
стоимости всех аннуитетов. Уравнение можно преобразовать относительно A: |
|
E = ∙ FG |
46 |
Коэффициент FG называется коэффициентом аннуитетов.
В задании 3 аннуитет равен:
35
|
|
Глава 4 Погашение задолженности |
|||||
A = 1.000.000 × |
1 |
|
|
|
|
= 224.627,12 |
|
|
|
|
|
||||
1,045 -1 |
× |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,04 -1 |
1,045 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
План погашения долга для задания 3 выглядит следующим образом (табл. 4.3).
Таблица 4.3 План погашения долга аннуитетами
Год |
Остаток долга на |
Проценты (4%) |
Погашение |
Аннуитет |
|
начало года |
|
основного долга |
|
1 |
1.000.0000 |
40.000 |
184.627,12 |
224.627,12 |
2 |
815.372,88 |
32.614,92 |
192.012,20 |
224.627,12 |
3 |
623.360,68 |
24.934,43 |
199.692,69 |
224.627,12 |
4 |
423.667,99 |
16.946,72 |
207.680,40 |
224.627,12 |
5 |
215.587,59 |
8.639,50 |
215.987,62 |
224.627,12 |
Из общего плана погашения долга следует ряд формул:
1. Аннуитет (постоянный): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A = Tk + Z k |
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
||
2. Сумма погашения основного долга в конце k-го года: |
|
|
|
|||||||||
|
T |
= T × q k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.4 Общий план погашения задолженности |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Год |
Остаток долга |
Проценты в конце |
Экономия |
|
Погашение |
|
Аннуитет |
|||||
|
на начало года |
|
года |
на про- |
основного долга в |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
центах |
|
конце года |
|
|
|
|
1 |
K0 |
|
Z 1= K 0 × i |
- |
T1 |
|
A = T1 + Z1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
К1 = К0 - Т1 |
Z2 = (K0 - T1 )× i = |
T1 ● i |
T2 = T1 + T1 ×i = T1 × q |
|
A = T2 + Z 2 |
||||||
|
|
|
K0 × i - T1 × i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
К2 = К1 - Т2 |
Z3 = (K1 - T2 )× i = |
T2 ● i |
T3 = T2 + T2 × i = T1 × q2 |
|
A = T3 + Z 3 |
||||||
|
|
|
K1 × i - T2 × i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
… |
|||
k |
Kk-1 = Kk-2 – Tk-1 |
Zk = (Kk −2 - Tk −1 )×i |
Tk-1 ● i |
Tk = Tk −1 + Tk −1 × i |
|
|
|
|||||
|
|
|
Zk = Zk −1 - Tk −1 × i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Zk = A - Tk −1 - Tk −1 ×i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Zk = A - Tk −1 × q |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Tk = T1 × q k −1 |
|
|
A = Tk + Z k |
|
|
|
|
|
Zk = A - Tk |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
Глава 4 Погашение задолженности
Пример (см. данные задания 3):
Необходимо определить сумму погашения основного долга в конце 3-го года.
Т1 |
= А - Z1 = 184.627,12 |
|
Т3 |
= Т1 ● q2 = 184.627,12 ● |
1,042 = 199.692,69 |
3. Проценты в конце k-го года: |
|
|
Z k = A − Tk |
43 |
|
Пример (см. данные задания 3):
Необходимо определить проценты в конце 3-го года.
Z3 = А - Т3 = 224.627,12 – 199.692,69 = 24.934,43
4. Остаток долга на конец k-го года
Так же, как и уравнение Эйлера по погашению долга, можно вывести формулу для остатка долга на конец k-го года:
K k = A × a n −k |
44 |
При k = 0 формула 44 |
преобразуется в формулу 45 . |
Пример (см. данные задания 3):
Необходимо определить остаток долга на конец 3-го года.
К |
|
= А× а = 224.627,12× |
1,042 -1 |
× |
1 |
= 423.668,01 |
||
3 |
|
|
||||||
|
2 |
1,04 |
-1 1,042 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
5. Вычисление аннуитета |
|
|
|
|
|
|
||
Наряду с определением аннуитета по формуле |
45 , его можно вычислить и |
|||||||
по следующей формуле: |
|
|
|
|
|
|
||
E = H ∙ 65 |
|
|
|
|
|
46 |
||
Для доказательства используется то, что сумма всех платежей по погашению основного долга равна общей задолженности:
К0 = Т1 + Т2 + ... + Тn
К0 = Т1 + Т2 × q + ... + Т1 × q n−1
K0 =T1 × qn -1 = T1 × sn q -1
Так как К0 = А ● аn, то верно:
A × an = T1 × sn
37
Глава 4 Погашение задолженности
A = T1 × sn an
A = T1 × q n
Пример (см. данные задания 3):
А= 184.627,12 - 1,045 = 224.627,12
Врассмотренных выше заданиях мы исходили из того, что сроки выплат процентов и основного долга приходятся на конец каждого года. На практике в кредитных договорах часто встречаются также и сроки выплат в течение года.
Задание 4:
Выдан кредит в размере 100.000 евро с ежемесячной выплатой процентов по ставке 1% (12% годовых).
а) Какова величина постоянного ежемесячного аннуитета при сроке погашения кредита 10 лет?
б) Как выглядит план погашения кредита в первые 3 месяца; в 37-м, 38-м и 39-м месяце; в 118-м, 119-м и 120-м месяце?
Так как и при выплатах в течение года сроки ежемесячных выплат процентов и ежемесячного погашение основного долга совпадают, формулы 41 - 46 остаются верными.
Необходимо только использовать число периодов n ● m (n - количество лет; m - количество процентных периодов с шагом расчета менее года) и ставку
процента i/m. a) E = ∙ FG∙I
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
n×m |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× 1+ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = K0 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= K0 × |
|
m |
|
|
m |
|
||||
|
|
|
i n×m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i n×m |
|
||||||||||||
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
-1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i n×m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
-1 |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = 100.000 × |
|
0,01× (1 + 0,01)120 |
= 1.434,71 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
(1 + 0,01)120 -1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б) Для К36 следует:
К36 = 1434,71 ● а84
38
Глава 4 Погашение задолженности
|
К36 = 1.434,71× |
1,0184 -1 |
× |
|
|
1 |
= 81.274,107 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1,01-1 1,0184 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для К117 следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
К117 |
= 1434,71 ● а3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
К117 |
= 1.434,71× |
1,013 -1 |
× |
1 |
|
= 4.219,46 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1,01-1 1,013 |
|
|
|
|
|
||||||||
Таблица 4.5 План погашения кредита с ежемесячными выплатами |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Месяц |
Остаток долга на |
|
|
Проценты (1%) |
|
Погашение |
|
Аннуитет |
|||||||
|
|
|
начало месяца |
|
|
|
|
|
|
основного долга |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
100.000 |
|
|
|
|
|
|
1.000 |
|
434,71 |
|
1.434,71 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
99.565,29 |
|
|
|
|
|
|
995,65 |
|
439,06 |
|
1.434,71 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
99.126,23 |
|
|
|
|
|
|
991,26 |
|
443,45 |
|
1.434,71 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
… |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
37 |
|
81.274,07 |
|
|
|
|
|
|
812,74 |
|
621,97 |
|
1.434,71 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
38 |
|
80.652,10 |
|
|
|
|
|
|
806,52 |
|
628,19 |
|
1.434,71 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
39 |
|
80.023,91 |
|
|
|
|
|
|
800,24 |
|
634,47 |
|
1.434,71 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
… |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
118 |
|
4.219,46 |
|
|
|
|
|
|
42,20 |
|
1.392,51 |
|
1.434,71 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
119 |
|
2.826,95 |
|
|
|
|
|
|
28,27 |
|
1.406,44 |
|
1.434,71 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
120 |
|
1.420,51 |
|
|
|
|
|
|
14,21 |
|
1.420,50 |
|
1.434,71 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если при аннуитете с шагом расчета менее года сроки выплаты процентов и погашения долга не совпадают, тогда рассчитываются конформные аннуитеты по формуле 32 :
A= a × m + m2-1 × i
Задание 5:
Выдан кредит в размере 100.000 евро под 12% годовых.
а) Какова величина постоянного месячного аннуитета при сроке погашения кредита 10 лет?
б) Как выглядит план погашения кредита?
|
E = 100.000 ∙ J ,<C: K = 17.698,42 |
а) |
, ∙ ,<C |
|
39 |