6067
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
"Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет"
Н.М.Коннов
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекциям и практическим занятиям
(включая рекомендации по организации самостоятельной работы)
для обучающихся по дисциплине "Статистическая обработка результатов"
направлению подготовки 08.03.01 Строительство профиль "Производство и применение строительных материалов,
изделий и конструкций"
Нижний Новгород
2016
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
"Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет"
Н.М.Коннов
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекциям и практическим занятиям
(включая рекомендации по организации самостоятельной работы)
для обучающихся по дисциплине "Статистическая обработка результатов"
направлению подготовки 08.03.01 Строительство профиль "Производство и применение строительных материалов,
изделий и конструкций"
Нижний Новгород ННГАСУ
2016
УДК 519.2+31:69
Коннов Н.М. Статистическая обработка результатов экспери-
мента [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. /Н.М.Коннов; Нижегор.
гос. архитектур.-строит. ун-т. -Н.Новгород: ННГАСУ, 2016. -87 с. -1 электрон.
опт. диск
Освещены вопросы, связанные с рассмотрением результата измерения при проведении эксперимента как случайной величины, подчиняющейся зако-
номерностям теории вероятностей. Раздел, посвященный математической ста-
тистике, знакомит студентов с методами анализа результатов массовых испы-
таний.
Учебное пособие предназначено для студентов направления подготовки
08.03.01 Строительство профиль "Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций", а также может быть полезным соискате-
лям, магистрантам и аспирантам, занимающимся экспериментальными иссле-
дованиями.
©
©
Коннов Н.М., 2016
ННГАСУ, 2016
-3-
Введение
Статистический контроль качества в нашей стране стал применяться в начале
40-х годов XX в. на ряде предприятий автомобильной, подшипниковой и электротех-
нической промышленности. В послевоенные годы статистический контроль качества нашел широкое применение в машино- и приборостроении, электронной и радиотех-
нической промышленности С 1975 г. в строительстве внедряются статистические методы контроля проч-
ности бетона. С января 1982 г. введены в действие государственные стандарты ГОСТ 18105.0-80, ГОСТ 18105.1-80, ГОСТ 18105.2-80, а в январе 1987 г. —
ГОСТ 18105-86 Бетоны. Правила контроля прочности. Эти стандарты предусматрива-
ли контроль прочности бетона с применением статистических методов и были на-
правлены на существенное повышение качества и надежности железобетонных кон-
струкций. Поэтому каждый инженерно-технический работник лаборатории завода сборного железобетона был обязан обладать основами теории вероятности и матема-
тической статистики, без знания которых трудно было понять смысл данных стандар-
тов. Однако, вследствие недостаточности знаний в области математической статисти-
ки у персонала лабораторий, эти стандарты в скором времени, были отменены.
Задача настоящего учебного пособия - знакомство студентов специальности
270106 – " Производство строительных материалов, изделий и конструкций" с элемен-
тами теории вероятности и математической статистики, на которых базируется обра-
ботка результатов наблюдений и статистические методы управления качеством про-
дукции.
-4-
1.Элементы теории вероятностей
1.1.Краткая историческая справка
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятно-
стей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс,
Паскаль, Ферма и другие в XVI – XVII вв.).
Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бер-
нулли (1654 – 1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «За-
кон больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.
Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Гауссу, Лапласу, Муавру,
Пуассону и др.
Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П.Л.Чебышева (1821 –1894) и его учеников – А.М.Ляпунова (1857 –1918) и А.А.Маркова (1856 – 1922). В
этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Её по-
следующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам
(С.Н.Бернштейн, Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров, В.И.Романовский, Н.В.Смирнов,
А.Я.Хинчин, и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит российским математикам
1.2.Испытания и события. Характеристика результата эксперимента
как случайного события
Исходом любого наблюдения (опыта) является событие. События можно под-
разделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при опреде-
ленной совокупности условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 °С, то событие "вода в сосуде находится в жидком состоянии" есть достоверное.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие "вода в сосуде находит-
-5-
ся в твердом состоянии (лед)" заведомо не произойдет, если будет осуществлена со-
вокупность условий предыдущего примера.
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти, либо не произойти. Например, если к образцу-кубу с ребром 10 см приложена фиксированная сжимающая нагрузка P, то образец может разрушиться или не разрушиться. Поэтому событие "разрушение образца" (или собы-
тие "не разрушение образца") случайное. Каждое случайное событие, в частности
"разрушение образца", есть следствие действия очень многих случайных причин (в
нашем примере – сжимающая нагрузка Р, отклонения геометрических размеров,
условия уплотнения бетонной смеси, условия твердения образца и многие другие).
Предсказать единичный исход опыта, проводимого при совокупности условий S, не-
возможно, поскольку неизвестны законы изменения множества действующих случай-
ных причин. Однако, если рассматриваются случайные события, которые могут на-
блюдаться при одних и тех же условиях S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях, то оказывается, что достаточно большое их число будет подчи-
няться определенным закономерностям. Знание закономерностей, которым подчиня-
ются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события могут протекать.
1.3. Понятие о случайной величине
Любое случайное событие может иметь качественную или количественную ха-
рактеристику. В приведенном выше примере факт разрушения (или не разрушения)
бетонного образца куба с ребром 10 см, подвергнутого действию сжимающей на-
грузки P, является качественной характеристикой события. Количественная характе-
ристика события в этом случае - величина действующей сжимающей нагрузки P или предел прочности при сжатии (для разрушившегося образца). Количественная харак-
теристика каждого элементарного события всегда имеет вполне конкретное, опреде-
ленное числовое значение. Если наблюдение повторяется N раз при соблюдении оди-
наковых условий его проведения, то будет получено N числовых значений,
-6-
которые могут отличаться одно от другого в результате действия при осуществлении опыта множества неучтенных причин (факторов), законы изменения которых не-
известны. Таким образом, каждый числовой результат наблюдения (количест-
венная характеристика события, опыта) является случайной величиной, значение ко-
торой зависит от действия случайных неучтенных факторов.
Случайной величиной называется количественная характеристика события
(наблюдения, опыта), принимающая различные числовые значения, заранее неизвест-
ные и зависящие от случайных причин, которые не могут быть учтены, т.к. законы их изменения неизвестны.
Таким образом:
-случайная величина обладает целым набором допустимых значений, но в результате каждого отдельного наблюдения принимает лишь какое-то одно из них;
-в отличие от неслучайных величин, меняющих свое значение лишь при из-
менении условий проведения опыта, случайная величина может принимать различ-
ные значения даже при неизменном комплексе условий наблюдения; - изменение случайной величины от наблюдения к наблюдению связано с
действием не учитываемых случайных факторов.
Примерами случайных величин являются все экспериментально определен-
ные показатели физико-механических свойств строительных материалов (предел прочности, твердость, вязкость, подвижность или жесткость бетонной смеси и т.д.).
Чтобы охарактеризовать случайную величину, нужно, прежде всего,
задать набор допустимых значений, которые она может принять.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Напри-
мер, N образцов в идентичных условиях подвергаются испытанию на дли-
тельную прочность. Испытания образца прекращают, если он не разру-
шился за базовое время (например, один год). В этом примере число не разрушившихся или разрушившихся за базовое время образцов является случайной дискретной величиной, которая может принимать все целые значения от 0 до N. Все возможные значения, которые может принять случайная дискретная величина, могут быть заранее перечислены (в
|
-7- |
|
нашем примере – все целые числа от 0 |
до N). Время с начала испытания |
|
до момента разрушения образца |
(или |
время с начала нагружения об- |
разца до конца испытания при |
окончании базового времени и не разрушении |
образца) является случайной непрерывной величиной. Случайная непрерывная вели-
чина может принимать все целые и дробные значения в бесконечном или конечном
(в нашем примере - в конечном) интервале. Возможные значения непрерывной слу-
чайной величины заранее перечислить невозможно. Следует отметить, что все экспе-
риментально определяемые характеристики физико-механических свойств строи-
тельных материалов являются непрерывными случайными величинами.
1.4.Понятие о вероятности появления значений случайной величины
Чтобы охарактеризовать случайную величину необходимо, прежде всего, за-
дать набор ее допустимых значений. Однако набор допустимых значений сам по себе слабо характеризует случайную величину. Чтобы полностью охарактеризовать слу-
чайную величину, надо не только указать, какие значения она может принимать, но и
как часто будет появляться то или иное значение. |
||
Пусть случайная дискретная величина X может принимать в результате опы- |
||
та значения х1, х2 , х3 , … хn. Отношение числа опытов m, в результате которых |
||
случайная величина |
X приняла значение |
хi , к общему числу произведенных опы- |
тов n называется |
частотой появления |
события X = xi. |
Частота m/n |
сама является случайной величиной и меняется в зависимости |
от объёма серии испытания. Но при неограниченном увеличении числа опытов, то |
|
есть при приближении их количества к совокупности всех мыслимо возможных из- |
|
мерений, |
которые могли бы быть сделаны при данном комплексе условий, частота |
появления событий должна иметь тенденцию стабилизироваться около некоторого |
|
значения |
p i, называемого вероятностью события X = xi: |
pi |
= P( X = xi ) ≈ m / n . |
(1) |
Таким образом, вероятностью события (вероятностью появления того или |
||
иного значения случайной величины) |
называется отношение |
числа опытов т, |
-8-
в которых случайная величина X приняла значение xi, к общему достаточно большому числу проведенных опытов n.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства: 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход ис-
пытания благоприятствует событию. В этом случае m = n и, следовательно,
p( X ) = |
m |
= |
n |
= 1 . |
(2) |
|
|
||||
|
n n |
|
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из исходов испытания не благоприятствует событию. m = 0 и, следовательно,
p(X) = |
m |
= |
0 |
= 0 . |
(3) |
|
|
nn
3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное
между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа исходов испытания. В этом случае 0 ≤ m / n ≤ 1и, следовательно,
0 ≤ p( хi ) ≤ 1 . |
(4) |
4. Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной вели- |
|
чины равна 1. |
|
n |
|
∑ p(хi ) = 1 , |
(5) |
i=1
так как тот факт, что случайная величина примет в результате опыта одно из своих значений, есть достоверное событие. Эта суммарная вероятность распределена опре-
деленным образом между отдельными значениями.
1.5. Законы распределения случайной величины
Как уже говорилось выше, чтобы полностью охарактеризовать случайную ве-
личину, необходимо не только указать, какие значения она может принимать, но и как часто будет появляться то или иное значение.
-9-
Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом
распределения.
Для дискретной случайной величины наиболее простым способом задания за-
кона распределения может быть вероятностный ряд или его графическое изображение
– полигон распределения.
Пример 1. При определении прочности произведенных за сутки железобе-
тонных изделий было испытано 100 образцов. Полученные значения случайной вели-
чины Х (предел прочности бетона R), а также соответствующие им вероятности их появления приведены в нижеследующей табл. 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1. |
|
Результаты определения прочности бетона за сутки |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наименование показателя |
|
|
Численное значение |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хi=R, МПа |
10,1 |
10,3 |
10,4 |
10,5 |
|
10,6 |
10,7 |
10,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число выпавших значений |
1 |
2 |
5 |
20 |
|
60 |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность появления Рi |
0,01 |
0,02 |
0,05 |
0,20 |
|
0,60 |
0,10 |
0,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полигон распределения(полигон частот) приведен на рис. 1. |
|||||||
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
0,1 |
|
|
0,02 |
0,05 |
|
|
|
0,02 |
|
|
0,01 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
10,1 |
10,3 |
10,4 |
10,5 |
10,6 |
10,7 |
10,8 |
|
|
|
Предел прочности R, МПа |
|
|
Рис. 1. Полигон распределения случайной величины Xi = Ri