6062
.pdf
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1 |
4− x2 |
ln 4 |
1 |
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11.90. |
∫ dx |
∫ xe3 y dy . |
11.91. ∫ dy ∫ 4ye2xy dx. |
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0 |
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0 |
ln3 |
0,5 |
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π |
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2 |
0 |
0 |
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2 |
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π xy |
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11.93. |
∫ dy ∫ 4 y 3 sin(xy 2 )dx .11.94. ∫ dy ∫ |
y 2 cos |
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1 |
−1 |
2 y |
4 |
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π |
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4 |
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1y
11.92.∫ dy ∫ 2 y 2 e xy dx .
00
π2
dx .11.95. ∫ dy ∫ y cos xy dx .
π 1 2
|
В задачах |
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11.96 – 11.115 |
вычислить двойной интеграл |
∫∫ f ( x , |
|
y )dxdy |
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D |
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по заданной области D в прямоугольных координатах, рационально выбрав |
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порядок интегрирования. |
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x2 + y2 |
£ 4, |
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у = x 2 , |
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11.96. |
∫∫ xdxdy , |
|
где |
D : |
|
1.97. |
∫∫ xydxdy , где D : |
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|
D |
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x + y ³ 2. |
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D |
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y |
= x. |
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y 2 |
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y £ 2, |
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x = 0, |
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D : xy ³ 1, |
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11.98. |
∫∫ |
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|
dxdy , |
где |
11.99. |
∫∫cos(y 2 )dxdy , где D : x = y, |
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D x 2 |
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D |
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π |
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y ³ x. |
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y |
= |
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. |
|||||||
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2 |
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|
y = 0, |
|
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|
dxdy |
|
|
|
y =12x, |
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11.100. ∫∫ex |
2 |
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|
D : x = 1, |
|
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|
∫∫ |
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|
dxdy , |
где |
11.101. |
|
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|
|
, |
|
где |
D : |
|
|
|
3x |
2 |
. |
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|
x |
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|
|
D |
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|
= x. |
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|
D |
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|
y = |
|
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||||||||||||||
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|
y |
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|
y = 0, |
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12.102. ∫∫ (x + y)dxdy , |
где |
D : x = 0, |
|
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|
11.103. ∫∫ (x + 2 y)dxdy , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
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D |
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= - x + 4. |
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||||||||
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|
y |
|
|
|
|
|
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||||
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|
y = x2 , |
|
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y = x, |
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|
x |
2 |
|
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|
11.104. ∫∫ xydxdy , |
|
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|
|
x ³ 0, |
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11.105. ∫∫ |
|
|
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||||||||||||||||||||
где |
D : |
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где D : |
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|
dxdy , |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||
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|
y = |
|
|
x. |
|
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D |
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|
= |
2 - x |
2 |
. |
|
D y |
|
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||||||||||||
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|
y |
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|
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||||||
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y = x, |
|
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x |
2 |
+ y |
2 |
£ 4, |
|
|
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|
|
2 |
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|
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|||||||||||
где |
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11.106 |
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|
11.107. ∫∫15 y |
dxdy , |
|||||||||||||||||||||
D : x = 2, |
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|
∫∫ ydxdy , где D : |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
1 |
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|
D |
|
|
x + y ³ 2. |
|
|
|
D |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||
|
|
y = |
|
. |
|
|
|
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|
|
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|||||||
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|||||||||
|
|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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||||
|
|
y = -x 3 , |
|
|
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|
0 ≤ x ≤ 1, |
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|||||||||||||||||||
где |
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|
|
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|
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11.108. ∫∫ y cos(xy)dxdy , |
|
|
где |
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|
|
π |
|
|
|
|
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|||||||||||
D : x = 1, |
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D : |
|
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||||||||||||||||||||||||
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3 |
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|
|
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|
0 ≤ y |
≤ |
|
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|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
|
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|
|
D |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||
|
|
y = |
|
|
|
|
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
20 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
11.109. ∫∫ (x |
2 |
+ 4 y |
2 |
)dxdy , |
где |
y = x 2 , |
||
|
|
D : |
|
= y 2 . |
||||
D |
|
|
|
|
|
x |
||
x2 |
+ y2 £ 4, |
11.111. |
∫∫sin(y |
2 |
)dxdy , |
|||
где D : |
|
|
|
|
|
|||
y - x ³ 2. |
|
|
D |
|
|
11.110. ∫∫ xdxdy ,
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2x, |
||||
где |
D : x = 0, |
||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
π |
. |
||
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ y ≤ 2, |
||||
11.112. ∫∫ x sin(xy)dxdy , |
где |
|
|
|
π |
|||
D : |
|
≤ x ≤ |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
2 |
||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D : y = e, |
|
|
11.114. |
∫∫ ydxdy , |
||||
y = 2, |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
y = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x, |
|
|
||
11.115. ∫∫ (x + y)dxdy , |
где |
D : x = 1, |
|
|
||||
D |
|
|
|
|
|
+ y = 6. |
||
|
|
|
|
2x |
11.113. ∫∫ ex dxdy ,
D
x 2 + y 2 £ 4,
где D :
x + y £ -2.
В задачах 11.116 –11.137 |
вычислить двойные интегралы ∫∫ f ( x , y )dxdy |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
по заданной области D , перейдя к полярным координатам. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
+ y 2 |
£ 4, |
|
|||
11.116. ∫∫ |
x |
2 |
+ y |
2 |
dxdy, |
где |
||||||||
|
|
D : |
|
|
|
|
|
|
||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
y ³ 0. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
+ y 2 |
£1, |
|
|
||
11.117. ∫∫ |
x |
2 |
+ y |
2 |
dxdy, |
где |
|
|
||||||
|
|
D : |
|
|
|
|
|
|
||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
x ³ 0. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
+ y 2 |
£ 2, |
|
|||
11.118. ∫∫ |
x |
2 |
+ y |
2 |
dxdy, |
где |
||||||||
|
|
D : |
|
|
|
|
|
|
||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
x ³ 0, y |
£ 0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
+ y 2 |
£ 3, |
|
|||
11.119. ∫∫ |
x |
2 |
+ y |
2 |
dxdy, |
где |
||||||||
|
|
D : |
|
|
|
|
|
|
||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
x £ 0, y |
£ 0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.120. ∫∫ |
x |
2 |
+ y |
2 |
dxdy, |
где |
= -x, |
|
|
|
|
|||
|
|
D : y |
|
|
|
|
||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1 - y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
11.121. ∫∫(x2 + y2 )− 12 dxdy , |
|
|
y ³ 1, |
|
|
||||||||||||
где |
D: |
x ³ 0, |
|
|
|||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
£ 2 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
+ y 2 ³ 3y, |
||||
11.122. ∫∫ |
|
x |
2 |
+ y |
2 |
dxdy, |
где |
||||||||||
|
|
|
D : |
|
|
|
|
2 £ 9. |
|||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + y |
|||||
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11.123. ∫∫ |
1 - |
|
|
|
dxdy , |
где |
D : x 2 + y 2 £ π2 . |
||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||
D |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
+ y 2 |
³1, |
|||
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.124. ∫∫ |
|
|
, |
|
где |
D: x 2 |
+ y 2 |
£ 4, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D x2 + y 2 |
|
|
|
|
|
|
- x £ y |
£ x. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11.125. ∫∫ |
ln(x |
2 + y |
2 )dxdy |
|
x 2 + y 2 ³ 4, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
D: |
|
+ y 2 £ e 2 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D |
|
|
|
x 2 + y 2 |
|
x 2 |
|
||||||||||
11.126. ∫∫ (4 - x)dxdy , |
где |
D : x2 + y 2 £ 4x . |
|||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.127. ∫∫ |
|
dxdy |
|
, |
|
|
|
|
|||
1 - x 2 - y 2 |
|||||
D |
|
|
11.128. ∫∫ x2 + y2 dxdy,
D
11.129. ∫∫(x2 + y2 )− 12 dxdy,
D
11.130. ∫∫ (x 2 + y 2 )dxdy ,
D
11.131. ∫∫1+ x2 + y2 dxdy,
D
11.132. ∫∫R2 − x2 − y2 dxdy,
D
|
y £ 0, |
|
|
|
||||
где |
D: x ³ 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
£ 1. |
||
|
x |
|
|
|
|
|||
где |
x 2 |
|
+ y 2 |
|
³ -3x, |
|||
D: |
x |
2 + y |
2 £ 9. |
|||||
|
|
|||||||
где |
D : x2 + y2 + 2x £ 0 . |
|||||||
где |
x 2 |
|
+ y 2 |
|
³ -2x, |
|||
D: |
x |
2 + y |
2 £ 4. |
|||||
|
|
|||||||
|
y ³ 0, |
|
|
|
||||
где |
D: x ³ 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
+ y |
|
2 |
£ 1. |
|
x |
|
|
|
|
где D : x2 + y 2 £ Rx .
22
|
|
− 1 |
2 dxdy, |
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 2x, |
|||||
11.133. |
∫∫(x2 + y2 ) |
где |
D: x |
|
|
|||||||||
|
D |
|
|
|
|
x ³1. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y = x, |
|
|
|
|||||
11.134. |
∫∫ |
dxdy |
|
, |
где |
D: y = - |
x |
, |
|
|||||
1 + x 2 + y 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x = - |
1 - y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y £ 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.135. |
∫∫ |
x |
dxdy , |
где |
D: |
x ³ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
£ 2 y. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
ydxdy |
|
|
|
£ x |
2 |
+ y |
2 |
£ 4, |
|||||||||||||
11.136. |
∫∫ |
, |
где |
D: 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
D |
|
|
x |
|
|
|
|
0 £ y £ x. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
£ |
π |
2 |
, |
||||||
11.137. ∫∫ 1 |
- |
|
dxdy . |
где |
D: x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
0 £ y £ |
|
|
|
§3. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и объёмов фигур
В задачах |
11.138 – 11.150 вычислить площади фигур, ограниченных |
|||||||||||||
кривыми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11.138. |
xy = 4, |
x + y − 5 = 0 . |
|
11.139. |
x = 4 y - y 2 , |
x + y = 6 . |
||||||||
11.140. |
y = |
3 |
x, y = 4 - (x - 1)2 , (x ³ 0). |
|
11.141. |
x = 4, y = |
|
, |
y = 2 |
|
. |
|||
|
x |
x |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.142. |
xy =1, |
x = y, |
x = 2 . |
|
11.143. |
y = x2 ,4 y = x 2 , y = 4 . |
||||||||
11.144. |
xy =1, |
x = 4, |
y = 2 . |
|
11.145. |
x + y = 1, |
y 2 = x + 1 . |
|||||||
11.146. |
4x = y 2 + 4 , 16x = y 2 + 64 . |
|
11.147. |
x = y 2 - 2 y , |
x - y = 0 . |
|||||||||
11.148. |
2 y = x 2 , y = 0, xy = 4, x = 4 . |
11.149. x = y 2 , y = 2 + x , y = 2, y = -2 . |
||||||||||||
11.150. |
y = sin x, y = cos x, x = 0, (x > 0). |
11.151. |
y = 2x, x + y − 2 = 0, y = 0 . |
В задачах 11.152 – 11.158 вычислить площади фигур, ограниченных заданными кривыми или удовлетворяющих данным неравенствам (от декартовых координат целесообразно перейти к полярным координатам).
11.152. x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = 2x, ( y ³ 0) . |
11.153. x 2 + y 2 £ |
3 |
x , |
23 |
|
|
|
x 2 + y 2 £ 3y . |
|
11.154. x 2 + y 2 = 3y, y = |
3 |
x, x = 0 . 11.155. |
x 2 + y 2 = 4x , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (y ³ 2). |
|
|
ρ = 2(1− cosϕ). |
|||||||||
( y ³ x) . |
11.156. |
x = 0, x = |
4 y - y 2 |
|
11.157. |
||||||||||||||||
11.158. |
ρ = 2(1 + cosϕ ), ρ = 2 cosϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11.159. |
Найти |
площадь |
фигуры, вырезаемой |
окружностью ρ = 2 из |
|||||||||||||||||
кардиоиды ρ = 2(1+ sinϕ) и расположенную вне круга. |
|
||||||||||||||||||||
В задачах |
|
11.160. – 11.172. вычислить объемы тел, ограниченных |
|||||||||||||||||||
данными поверхностями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11.160. |
x + y + 2z = 4 , |
x = 0 , |
|
y = 0 , |
z = 0. |
|
|
|
|||||||||||||
11.161. |
z = x2 + 3y 2 , |
x + y = 1 , x = 0 , |
y = 0 , |
z = 0. |
|
||||||||||||||||
11.162. |
z = 4 - x2 , |
y = 0 , |
y = 5 , |
z = 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
11.163. |
z = y 2 , |
x + y = 2 , |
x = 0 , |
y = 0 , |
|
z = 0. |
|
|
|||||||||||||
11.164. |
z = 0 , |
x + z = 6 , y = |
|
, y = 2 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||
11.165. |
z = 9 - y 2 , x + 2 y = 6 |
x = 0 , y ³ 0 , z = 0. |
|
|
|||||||||||||||||
11.166. |
z = |
|
x 2 |
|
, |
2x + y - 6 = 0 , |
|
x = 0 , |
y = 0 , |
z = 0. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.167. |
z = x2 + y 2 + 2, x + y ³ 3 , x = 0 , |
y = 0 , |
z = 0 , x = 3 , y = 3. |
||||||||||||||||||
11.168. |
z = x2 + y 2 +1 , y = 6 - x , |
z = 0 , y =1, y = 2x. |
|
||||||||||||||||||
11.169. |
z = |
x3 |
|
, |
x 2 + y 2 = 9 , x ³ 0 , z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.170. |
x2 + y2 =16 , |
y = 0 , z = y , |
z = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11.171. |
x + y + z = 4 , |
x2 + y 2 = 4 , z = 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||
11.172. |
x + y + z =10 |
, 2x + y = 4 , x + 2y = 8 , z = 0. |
|
§4. Применение двойных интегралов для вычисления физических величин
11.173. Найти массу фигуры, ограниченной прямыми: x = -1, x = 2 ,
24
x + y =1, y = 0 , если плотность ρ (x, y ) в каждой точке равна квадрату
2 3
абсциссы, умноженному на ординату этой точки.
11.174. |
Найти |
массу |
однородной пластинки (ρ = 1) , ограниченной |
линиями: |
y = x2 , |
y = 3x2 , |
y = 3x . |
11.175. Найти массу пластины, ограниченной кривыми y = x 2 , y = x ,
если плотность её ρ в каждой точке (x, y) равна ρ(x, y) = x + 2y .
11.176. Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность её ρ (x, y ) в каждой точке равна расстоянию от этой точки до центра окружности.
11.177. |
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ = 1) , |
ограниченной линиями: y = x2 − 1, y = 2 . |
|
11.178. |
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ = 1) , |
ограниченной линиями: y = 4 - x , y = 0 , (x ³ 0) .
11.179. |
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ = 1) , |
|||||||||||||||
ограниченной линиями: |
|
y = x2 , y + x = 2 , y = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
11.180. |
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ = 1) , |
|||||||||||||||
ограниченной линиями: |
|
x = y2 , |
4x = y 2 , x = 4 , y ³ 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
11.181. |
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ = 1) , |
|||||||||||||||
ограниченной линиями: |
y = 2x 2 , y = 4x 2 , x = 4 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
11.182. |
Найти статический момент относительно оси |
ОХ |
однородной |
|||||||||||||
пластинки (ρ = 1) , |
ограниченной линиями: |
xy = 4 , xy =1, x = 2 , x = 4. |
||||||||||||||
11.183. |
Найти статические моменты относительно осей координат мень- |
|||||||||||||||
шей части эллипса |
|
x 2 |
|
+ |
y 2 |
= 1 ,отсекаемой прямой |
x |
|
+ |
y |
|
= 1 (ρ = 1). |
||||
|
|
4 |
|
9 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|||||
11.184. |
Вычислить моменты инерции относительно осей координат одно- |
|||||||||||||||
родной пластинки (ρ = 1) , ограниченной прямыми: y = 2 - x , |
y = 1 , x = 2. |
|||||||||||||||
11.185. Найти момент инерции однородной пластинки (ρ = 1) |
относительно |
|||||||||||||||
оси OX , ограниченной линиями: |
y 2 = x , |
y 2 = 4x , |
y = 1 , |
y = 3 . |
25
11.186. |
Найти момент инерции относительно оси |
ОУ |
однородной плас- |
|
тинки (ρ = 1) , ограниченной линиями: |
y 2 = x , y 2 = 4x , |
y = 1 , y = 3 . |
||
11.187. |
Найти момент инерции относительно оси |
ОХ |
однородной плас- |
|
тинки (ρ = 1) , ограниченной линиями: |
x2 = 4 - y , y = 0 . |
|
Глава 12
РЯДЫ
§1. Понятие ряда. Сумма ряда и его сходимость
В задачах 12.1- 12.15 написать общий член ряда.
12.1. |
|
|
|
|
2 |
+ |
|
4 |
+ |
6 |
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.2. |
|
|
2 |
+ |
4 |
+ |
6 |
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
12.3. |
|
|
2 + |
4 |
+ |
6 |
|
+ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
12.4. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
|
+ . |
12.5. |
|
1 + |
1× 2 |
+ |
1× 2 × 3 |
+ . |
12.6. |
|
1 |
+ |
|
|
|
3! |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1× 3 3 × 5 5 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1× 3 1× 3× 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 × 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
5! |
|
|
|
|
+ . |
12.7. |
|
|
1 - |
1 |
+ |
1 |
- . 12.8. 1 - |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
- . |
12.9. |
|
|
|
1 − 1 + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
× 4 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
+ 1 − . |
|
12.10. 1 - |
1 |
+ |
1 |
- . |
|
|
|
2.11. - |
|
2 |
+ |
4 |
- |
|
|
|
8 |
|
+ . |
12.12. |
- |
|
|
1 |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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4 |
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7 |
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|
|
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5 |
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25 |
|
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125 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
ln 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
1 |
|
|
|
- |
|
1 |
|
|
|
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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1 + x + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
12.13. |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ . |
|
|
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12.14 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln3 ln 4 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
8 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
x 2 |
|
|
+ |
|
|
x 3 |
|
|
+ . |
|
12.15. |
x - |
x3 |
|
+ |
x5 |
- |
x7 |
+ . |
|
|
12.16. |
1 - |
x 2 |
|
+ |
x 4 |
- |
x6 |
+ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
3! |
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
12.17. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
12.18. |
|
|
x + |
1 |
+ x 2 + |
1 |
|
|
+ x3 + |
1 |
|
+ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 + 4 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12.19. |
|
1 − 32 x + 5 2 x 2 |
− 7 2 x 3 + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
12.20. |
|
|
(x +1) + (x +1)2 |
+ (x +1)3 |
+ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
2 × 4 |
|
|
|
3 × 42 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
В задачах |
12.2112.26 |
|
|
выписать три первых члена ряда. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
∞ |
|
|
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2n - 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
12.21. |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
12.22. |
|
|
∑2 |
+ (- 1) |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.23. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
n =1 3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
n =1 |
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
n =1 |
3 n3 + 1 |
26
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(x - 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(x + 2)n −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12.24. |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.25. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
12.26. |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
n =1 n2 |
|
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n =0 |
|
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|
n! |
|
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|
n =1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
В задачах |
|
|
|
|
12.2712.34 написать формулу частичной суммы |
|
|
|
Sn , и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вычислить её |
|
предел |
при |
n → ∞ .Сделать вывод |
о сходимости или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
расходимости ряда. |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
12.27. |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
+ . |
12.28. |
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
+ |
1 |
+ . |
12.29. |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1× 2 2 × |
3 3 × 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1×3 3× 5 5 × 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1× 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
+ . |
12.30. |
1 + |
1 |
+ |
1 |
|
|
+ |
|
1 |
+ . |
12.31. |
1 - |
1 |
+ |
1 |
- |
1 |
+ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
×10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 × 7 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 9 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
3n |
- 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12.32. |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
12.33. |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
12.34. |
|
∑ ln 1 + |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n =1 6n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=13 2n |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В |
|
|
задачах |
|
|
|
|
|
|
|
|
12.3512.43 проверить, выполняется ли необходимое |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условие сходимости ряда. |
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12.35. |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+ . 12.36. |
1 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
+ . |
12.37. |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
22 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 3n3 + |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12.38. |
|
|
|
2 + |
+ |
|
+ . |
12.39. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.40. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n - 1)4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
2n - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
12.41. |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
12.42. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
12.43. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n =1 n2 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 3 n |
9 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 n(n + 1)(n + 4) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
12.44. |
|
1 + |
|
|
|
|
+ |
|
+ . |
12.44. |
e + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ . |
12.45. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1n + 1 |
|
§2. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов
В задачах 12.4612.61 исследовать ряды на сходимость, применяя признаки сравнения ( при необходимости использовать эквивалентность
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||
следующих бесконечно малых последовательностей : |
sin |
|
|
, |
tg |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
arcsin |
|
, |
arctg |
|
|
, |
ln 1 + |
|
|
, |
|
|
|
|
(при n → ∞ ) ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
ln 3 |
|
ln 4 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
12.46. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
12.47. |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ . |
12.48. |
|
|
+ |
|
|
+ |
|||
( |
) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ×5 |
3 × 6 |
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n=1 n +1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2.49. |
|
|
|
+ |
|
|
+ + |
|
|
|
+ . |
|
|
12.50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 × 7 |
|
|
|
|
|
|
1× 2 |
1× 2 ×3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
8 |
n(n + 2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
1 |
|
|
+ . 12.51. sin |
1 |
+ sin |
1 |
+ sin |
1 |
+ 12.52. tg |
π |
|
+ tg |
π |
+ + tg |
π |
|
+ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1×2×3×4 |
4 |
8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
12.53. |
|
sin1 + sin |
1 |
|
+ sin |
1 |
+ . |
|
|
|
|
12.54. |
|
|
|
1 |
+ |
1 |
|
+ + |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1× 2 |
|
4 2 × 3 |
|
4 3 × 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
12.55. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
12.56. |
|
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
12.57. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=12n + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1n2 - 4n + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n2 +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n2 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
12.58. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
12.59. |
∑ ln |
|
|
|
|
|
. |
12.60. |
|
|
∑ arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 n6 + 2n - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12.61. |
|
∑ n5 |
× tg |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 12.6212.71 исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера.
12.62. |
|
1 |
+ |
|
|
2 |
+ |
3 |
+ . |
12.63. 2 + |
2 |
2 |
|
+ |
|
23 |
+ . |
12.64. 2 + |
|
22 |
+ |
|
|
23 |
|
|
+ . |
|||||||||||||
|
|
|
22 |
23 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
× 2 × |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1× 2 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
∞ |
3n × n2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
72n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3n -1 |
|||||||||||||||||
12.65. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
12.66. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
12.67. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n=1 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
(2n - |
1)! |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
( |
|
|
|
)n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
5n -1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
3n × n! |
|
|
|
∞ |
3n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
12.68. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
12.69. |
∑ |
|
|
|
. |
12.70. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
(n + 1)× 3n |
|
|
n=1 nn |
|
|
|
n=1(n + |
1)!×2n |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
5n−1 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12.71. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
(n -1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 12.7212.83 исследовать ряды на сходимость, применяя радикальный признак Коши.
|
∞ |
|
n |
|
n |
|
|
∞ |
n |
|
−n |
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
2n−1 |
|||||
12.72. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
12.73. ∑ |
|
|
|
. |
12.74. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 5n - 1 |
|
|
n=1 n + 1 |
|
n=1 3n -1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
2n |
|
−n |
|
|
∞ |
3n−1 |
|
∞ |
|
n |
|
n2 |
|||||||||
12.75. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
12.76. |
|
∑ |
|
. |
12.77. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|||||||||||||
|
n=15n |
n + 1 |
|
|
|
|
n=1 n n |
|
n=1 8n |
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3n |
2 3n |
|
∞ |
2n + 10 |
n |
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||
12.78. |
∑ |
|
|
|
|
. |
12.79. |
∑ |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4n |
2 |
|
|
|
|
|
3n - 1 |
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
+ 1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
n |
π |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
12.81. |
∑ arctg |
|
. |
12.82. |
∑ |
|
arcsin n |
. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
5n |
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
∞ |
2n -1 |
−n |
12.80. ∑ |
|
|
|
||
n=1 n × 7 n+1 |
|
∞ 2n+1
12.83. ∑
n=1(3n)n
.
.
В задачах 12.8412.91 исследовать ряды на сходимость, применяя интегральный признак Коши.
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
12.84. |
|
|
+ |
|
+ |
+ . |
12.85. |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
+ . |
12.86. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
|
10 |
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ e |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
ln 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
12.87. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. 12.88. |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ . |
12.89. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=2 n × ln 2 n |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
12 |
|
|
|
|
3n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12.90. |
|
|
+ |
|
|
+ |
+ |
|
+ . |
|
|
|
12.91. |
|
|
|
+ |
|
|
+ + |
|
|
+ . |
||||||||||||||||||||||||||
6 |
13 |
n3 + 5 |
|
|
|
|
8 |
|
24 |
(2n + 1)2 + 1 |
|
В задачах 12.92 — 12.106 исследовать ряды на сходимость и указать применяемые признаки.
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1× 2 |
|
|
2 × 4 |
|
|
|
|
|
3 × 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3 |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
12.92. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
12.93. |
+ |
+ |
|
|
+ . |
|
|
|
|
|
12.94. ∑ |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=13 |
|
+ n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=12n × 2n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3n |
||||||||||||||||||||
12.95. |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ . |
12.96. |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ . |
|
|
12.97. |
|
∑ |
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 9 13 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n ! |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
3 |
1 |
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
5n - 4 |
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
12.98. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ . 12.99. |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
12.100. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
9 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 2n |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
n2 + 3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
+ |
|
|
|
7 |
|
+ |
|
|
8 |
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12.101. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.102. |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ . |
12.103. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 16 64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 5 |
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n × (n + 2) |
|
||
∑ |
|
|
. |
|
5n |
||||
n =1 |
|
12.106.
1
1 + sin 2 α
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
3n + 1 n |
||
|
12.104. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
12.105. ∑ |
|
|
. |
|
|
|
(n + 1)ln(n + 1) |
|
|||||||||
|
n =1 |
|
|
n =1 |
|
4n |
||||||
+ |
1 |
|
+ |
1 |
+ . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 + sin 2 2α |
|
9 + sin 2 3α |
|
|
|
|
29