6005

3

Введение

Технический прогресс на современном этапе характеризуется возрастаю-

щими темпами развития и сложностью внедряемых в производство процессов.

При изучении теплофизических явлений используют как, в основном, экспери-

ментальные, так и теоретические методы исследования. Достоинство экспери-

ментальных методов в том, что получаемые частные результаты имеют опреде-

ленную достоверность в пределах точности эксперимента. Кроме того, в экспе-

рименте исследуют полный комплекс явлений, характерных для рассматривае-

мого процесса или агрегата. Однако при обобщении эксперимента необходимо учитывать, что все частные результаты несут в той или иной степени отпечаток конкретных условий протекания изучаемого явления.

Во втором методе – теоретическом – используется аппарат математиче-

ской физики для составления и анализа дифференциальных уравнений. При этом за основу берутся фундаментальные законы природы. Не всегда содержа-

щие сведения о конкретном явлении. Применение законов физики позволяет получить наиболее общие связи между главными параметрами явления. Реше-

ние дифференциальных уравнений и правильно выбранные условия однознач-

ности, определяющие единственность решения, часто могут полностью харак-

теризовать изучаемое явление. В таком случае экспериментальный метод необ-

ходим только для проверки получаемых результатов. Отсутствие возможности теоретического решения конкретных задач без упрощающих предпосылок в большинстве случаев снижает достоинства метода.

Таким образом, теоретический подход позволяет изучать наиболее общие свойства явлений без строгой конкретизации результатов. Экспериментальный же метод позволяет исследовать конкретные явления без строгого обобщения получаемых данных. Оптимальным вариантом является совместное использо-

вание обоих методов. Такое объединение становится осуществимым благодаря моделированию. Оно включает в себя этапы создания и изучения моделей, а

также этап экспериментального исследования их. При моделировании обяза-

4

тельно замещение моделируемого объекта другим либо материально-

вещественным, либо идеальным – мысленно воображаемым объектом.

Методология моделирования до сих пор не имеет установившихся форм изложения. Взаимосвязь и различие каждого метода моделирования обуславли-

вают разногласия в терминологии: одни и те же термины в работах разных ис-

следователей подчас имеют различные значения, а одинаковые понятия назы-

ваются различными словами.

Исходя их вышеизложенного, нам представляется возможным условно подразделить метод моделирования на три вида: физическое, математическое и кибернетическое моделирование. Такая трактовка позволяет более конкретно изложить суть моделирования тепловых процессов.

5

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1 Модель, ее сущность

Понятию «модель» придается различный смысл. Наиболее точное опре-

деление модели на наш взгляд дано в [1]: «Под моделью понимается такая мыс-

ленно представляемая или материально реализованная система, которая, ото-

бражая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте».

Исходя из приведенного определения модели, можно отметить, что при моделировании обязательно замещение моделируемого объекта другим либо материально-вещественным, либо идеальной – мысленно воображаемой моде-

лью. Примерами идеальных моделей являются мысленные модели, возникаю-

щие в сознании человека в процессе познания, а их носитель – человеческий мозг и те процессы, которые связаны с созданием образов. Эти модели можно разделить на физические, математические и кибернетические мысленные моде-

ли. Первые представляются как совокупность наглядно-физических понятий:

молекулы, давления, энтальпии и т. д.; вторые – совокупность математических структур: уравнений, неравенств, схем, графов и т. п., а третьи – совокупность образных, знаковых и образно-знаковых понятий для изучения закономерно-

стей процессов управления и передачи информации в объектах. При этом мож-

но последние считать обобщающими и способными заменить объекты исследо-

вания разнообразной физической природы. Необходимость выделения киберне-

тических моделей в отдельный класс объясняется сложностью разграничения всех типов моделей, а также спецификой применения их при исследовании теп-

лоэнергетических процессов и аппаратов.

К материальным моделям можно отнести четыре типа моделей: геомет-

рические, физические, математические и кибернетические.

Геометрические модели дают внешнее представление натуры и служат,

как правило, для демонстрационных целей. Они показывают принцип действия,

6

взаимное расположение частей, процесс сборки и разборки, компоновку объек-

та. Примерами геометрических моделей являются макеты различных машин,

сооружений и т. д.

Физические и математические модели предназначены для определения в них численных значений величин, характеризующих поведение моделируемого объекта в натуре. Математический вид моделей включает аналоговые и струк-

турные модели, цифровые вычислительные машины, комбинированные вычис-

лительные и функциональные кибернетические устройства. В отличие от физи-

чески подобных моделей, имеющих ту же, что и оригинал, физическую приро-

ду, математически подобные модели, при различной их физической природе,

основаны на идентичности математического описания процессов в модели и оригинале.

Кибернетическое моделирование, в отличие от математического, характе-

ризуется большим разнообразием приемов [2]. Так, в одних случаях кибернети-

ческие модели, основанные на функциональном подобии с оригиналом, удается строить лишь на идентичности выполняемых моделью и оригиналом функций,

а изучение их основывать на исследовании соотношений входа и выхода моде-

ли. Благодаря этому способ исследования является функциональным по своему характеру. Кроме функционального подхода, существуют приемы построения моделей структуры объекта. Сочетание этих двух приемов составляет сущность общего метода кибернетического моделирования, если правильно учитывается диалектическое соотношение структуры и функции на основе их единства.

Вследствие сложности и многогранности многих явлений природы часто оказывается целесообразным описывать и анализировать одно и то же явление,

один и тот же объект в различных условиях с помощью разных моделей в зави-

симости от постановки задачи. В таких случаях модели носят приближенный характер [3]. Так, в большинстве технологических расчетов, связанных со свой-

ствами газов, мы исходим из модели идеального газа, отлично зная, что реаль-

ные газы описываются гораздо сложнее и дадут более совершенные результа-

ты. Но это не всегда делается, поскольку бывает достаточной точность, давае-

7

мая приближенной моделью. И лишь в особых случаях – при высоких давлени-

ях, вблизи температуры конденсации или при расчетах высокой точности – возникает необходимость в усложненных моделях на базе реальных газов.

1.2Физическое моделирование

Вфизическом моделировании соответственные величины оригинала и модели имеют одинаковую физическую природу. Физическое моделирование сохраняет особенности проведения эксперимента в натуре, но существенно об-

легчает получение требуемых результатов, так как для модели выбираются наиболее удобные геометрические размеры в диапазоны изменения физических величин.

Для того, чтобы по данным измерения в модели судить о поведении объ-

екта в натуре, необходимо предварительно доказать, что натура и модель по-

добны, подчиняются одним и тем же физическим законам и описываются оди-

наковыми математическими зависимостями. Если это доказано в общем виде или известно как следствие более общих физических законов, которым подчи-

няется исследуемое явление, то в дальнейшем, при постановке частных задач,

т. е. исследовании конкретных объектов, можно обходиться без составления уравнений, описывающих явление, и стоить модели по правилам, основанным на теории подобия. Таким образом, можно сказать, что теория подобия является аппаратом моделирования, а критерии подобия играют при этом двоякую роль:

во-первых, на основе этих критериев определяют, какой должна быть модель,

чтобы обеспечить условия моделирования; во-вторых, значения этих критериев

иесть та количественная мера, которая переносится с модели на оригинал.

Воснове практического применения теории подобия лежат следующие теоремы.

Первая теорема подобия: при подобии систем всегда могут быть найде-

ны такие безразмерные комплексы величин, которые для сходственных точек данных систем одинаковы, т. е. подобные явления характеризуются численно

8

равными критериями подобия. Первая теорема подобия была сформулирована Ньютоном. В ней указывается, какие величины следует измерять при проведе-

нии опытов, результаты которых требуется обобщить: надо измерять те вели-

чины, которые входят в критерии подобия.

Вторая теорема подобия: решение любого дифференциального уравне-

ния, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, т.е. между критериями подобия. Вторая теорема подобия была доказана Бэкингемом, Фередманом и Афанасьевой-Эренфест. Она отвечает на вопрос, как обрабатывать результаты опытов, проведенных на моделях: их надо представлять в виде функциональной зависимости между критериями подобия.

Третья теорема подобия: подобны те явления, которые описываются од-

ной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности. Ее называют теоремой М. В. Кирпичева. В

ней формулируются необходимые и достаточные условия подобия явлений.

Подобию же условий однозначности при идентичности дифференциальных уравнений, описывающих процессы, отвечает равенство определяющих крите-

риев подобия. Значит, третья теорема подобия может быть сформулирована и так: явления подобны, если их определяющие критерии численно равны.

Часто в описании сложных тепловых процессов преобразование диффе-

ренциальных уравнений завершается получением зависимостей между боль-

шим числом критериев подобия. Надежное моделирование таких процессов на малой опытной установке с последующим распространением полученных дан-

ных на производственные условия, т. е. применение изложенных выше принци-

пов физического моделирования, практически не всегда возможно. В таких случаях исследование указанных процессов приходится проводить последова-

тельно на ряде опытных установок, постепенно приближаясь по масштабу к промышленным установкам, что сопряжено с большими затратами времени и средств.

9

Значительно более экономично и эффективно изучение характеристик сложных явлений на моделях, процессы в которых имеют иную физическую сущность, чем процессы в натуре. В данном случае используется положение,

подмеченное еще В. И. Лениным: «Единство природы обнаруживается в «пора-

зительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к раз-

ным областям явлений». Эта «поразительная аналогичность» позволяет значи-

тельно расширить возможности моделирования; понятие модели в значитель-

ной степени абстрагируется, а изучение процесса сводится к анализу его мате-

матического описания. В таком случае говорят о физической аналогии.

В основе физической аналогии лежит свойство изоморфизма дифферен-

циальных уравнений. Оно позволяет в результате решения одной задачи полу-

чить информацию о свойствах целого класса объектов, характеризующихся аналогичными математическими описаниями.

Так, например, известное уравнение Лапласа

может служить для описания, как стационарного температурного поля, так и для описания электрического, фильтрационного, электростатического и маг-

нитного полей.

Уравнение Фурье

используется для описания нестационарного процесса движения тепла, фильт-

рующей жидкости, диффузии и т. д.

Изоморфизм уравнений Лапласа и Фурье объясняется формально тем, что основной экспериментально установленный физический закон, управляющий этими явлениями, по существу один и тот же: