Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5839

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

670.25 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Здесь и ниже ξ+ и ξ− – некоторые точки, расположенные на интервалах

(x, x + h) и (x − h, x) соответственно. Подставляя разложения (4.3) в выра-

жения для r± , получаем r+ (x, h) = −

′′

f (ξ+ )h, r− (x, h) =

f (ξ− )h . Следова-

тельно,

r+ (x, h)

≤

2h,

M 2

= max

′′

f (ξ )

[x, x+h

]

′′

r− (x, h)

≤

2 h,

M 2

= max

f (ξ )

[x−h, x

]

Таким образом, формулы (4.1), (4.2) имеют первый порядок точности по h. Иначе говоря, правая и левая разностные производные аппроксимируют производную f ′(x) с первым порядком точности.

Соответствующая приближенная формула центральной разностной производной имеет вид:

f ′(x) ≈ f (x + h) − f (x − h) . 2h

Величину в правой части этой формулы часто называют центральной разностной производной.

Подставляя в выражение для погрешности

r0 (x, h) =

′

−

f (x + h) − f (x − h)

f (x)

соответствующие разложения по формуле Тейлора

′

′′

(3)

(ξ± )

f (x)

f (x ± h) = f (x) ± f (x)h +

получим r (x, h) = −

f (3) (ξ+ ) + f (3) (ξ− )

h2 .

Следовательно, справедлива

оценка погрешности

r (x, h)

≤

M 3

h2 ,

max

f (3) (ξ )

[x−h, x+h]

Таким образом, центральная разностная производная аппроксимирует производную f ′(x) со вторым порядком точности относительно h.

Вычисление второй производной. Наиболее простой и широко применяемой для приближенного вычисления второй производной является следующая формула:

′′	f (x − h) − 2 f (x) + f (x + h)	.	(4.4)

f (x) ≈	h2

Величину в правой части этого приближенного равенства часто называют второй разностной производной.

Подставляя в выражение для погрешности

′′

f (x − h) − 2 f (x) + f (x + h)

r(x, h) = f (x) −

соответствующие разложения по формуле Тейлора

′

′′

(3)

(x)

(4)

(ξ± )

f (x)

f (x ± h) = f (x) ± f (x)h

получим r(x, h) = −

f (4) (ξ+ ) + f (4) (ξ− )

h2 .

Следовательно,

r(x, h)

≤

M 4

h2 , M 4 =

max

f (4) (ξ )

[x−h, x+h]

Таким образом, формула (4.4) имеет второй порядок точности.

Использование разложения в

ряд

Тейлора

не

позволяет

развить

идею численного дифференцирования на табличные функции для целей построения производной требуемого порядка точности.

Для вычисления f ′(x) и f ′′(x) могут потребоваться формулы любо-

го порядка точности. В таких формулах с ростом порядка точности возрастает и число используемых значений функции. В качестве примера приведем формулы:

f ′(x) ≈ f (x − 2h) − 8 f (x − h) + 8 f (x + h) − f (x + 2h) ,

12h

f ′′(x) ≈ − f (x − 2h) + 16 f (x − h) − 30 f (x) + 16 f (x + h) − f (x + 2h) , 12h2

имеющие четвертый порядок точности.

Опишем другой подход. Пусть функция f (x) задана на отрезке

[a; b] таблицей значений в точках a = x0 < x1 < ... < xn = b . Можно решать два вида задач:

1)найти приближенное значение производной k − ого порядка функции f (x) в произвольной точке x [a; b];

2)найти таблично заданную функцию, являющуюся приближе-

нием к производной f (k ) на отрезке [x0* ; xm* ] [a; b].

Первая задача является основной. Вторая после определения аргу-

ментов xi* сводится к первой. Поэтому будем считать, что задача числен-

ного дифференцирования сводится к вычислению приближенного значения производной в точке x [a; b] и оценке ее погрешности. Для решения этой задачи функцию f (x) заменяют аналитическим приближением, кото-

рое имеет k − ую производную, то есть

f (x) ≈ p(x), x [a; b], f (k ) (x) ≈ p (k ) (x), x [a; b].

При дифференцировании приближенных формул может произойти существенная потеря точности, то есть погрешность формулы f (k ) (x) ≈ p (k ) (x), x [a; b] будет значительно больше погрешности исход-

ного приближения f (x) ≈ p(x), x [a; b]. Задача численного дифференци-

рования относится к числу задач, неустойчивых по исходным данным, т.е. таких, решение которых при малых погрешностях исходных данных приводит к большим погрешностям в результате.

4.1.2.Дифференцирование полинома Ньютона

Если функция задана при помощи таблицы с постоянным шагом h , а ее приближение производится первым интерполяционным полиномом

Ньютона, то для произвольной точки x

; x

] и t =

x − x0

получим:

f ′(x) ≈ Pn′ (x) =

2t − 1

3t 2

− 6t + 2

y0 +

2 y0

3 y0 +

... .

Если производная вычисляется в табличном аргументе, то

x = x0 ,

t = 0 и производная может быть найдена по формуле:

	1
′	1	y0 −
′
f (x0 ) ≈
	h

Погрешность найденного	′	(x)
Погрешность найденного	Pn	(x)
члена формулы:

2	y0		3	y	0
	y0	+		y	0	− ... .
		+				− ... .
2			3
2			3

равна производной остаточного

f (x) ≈ P (x) = y

+ t

2 − t

2 y

t 3 − 3t 2

+ 2t

3 y

+ ...

При малых h приближенное значение искомой погрешности будет

находиться по формуле:

′

n+1 y0

′

≈

(x) ,

Rn (x)

Qn+1

h n+1 (n

1)!

где Qn+1 (x) = (x − x0 )(x − x1 )...(x − xn ).

Погрешность производной, найденной в точке

x = x0 ,

можно вы-

числить по формуле:

′

(x) ≈ (− 1)

n+1 y0

h(n + 1)

′

так как при этом Qn+1 (x0 ) = (− 1)

n!h

Приведем еще один подход получения производных функции на основе полинома Ньютона. Запишем полином в виде:

P(t) = a0 + a1 (t − t0 ) + a2 (t − t0 )(t − t1 ),

где a0 = f (t0 ), a1 = ( f (t1 ) − f (t0 )) /(t1 − t0 ) , и

f (t2 ) − f (t1 )

−

f (t1 ) − f (t0 )

t2 − t1

t1 − t0

(t2

− t0 )

Производная P(t) равна

′

= a1 + a2 ((t

− t0 ) + (t − t1 )) ,

(4.5)

P (t)

и если ее вычислить в точке t = t0 , то в результате можно получить

P′(t0 ) = a1 + a2 (t0 − t1 ) ≈ f ′(t0 ) .

(4.6)

Рассмотрим разные варианты.

Если t0 = x, t1 = x + h и t2 = x + 2h , то

a =

f (x + h) − f (x)

f (x) − 2 f (x + h) + f (x + 2h)

2h2

Затем подставив эти значения в (3.6), получим:

′		f (x + h) − f (x)					− f (x) + 2 f (x + h) − f (x + 2h)
P (x) =						+		2h			.
P (x) =			h			+					.
			h
Упростим выражение и получим
		′	=	− 3 f (x) + 4 f (x + h) − f (x + 2h)					≈	′	(4.7)
		P (x)	=				2h		≈	f (x).	(4.7)
							2h
Это и есть формула правой разности второго порядка для										′
Это и есть формула правой разности второго порядка для										f (x) .
Если t0	= x, t1 = x + h и t2					= x − h , то
		a =			f (x + h) − f (x)			,
		a =						,
		1				h
						h

a2	=	f (x + h) − 2 f (x) + f (x − h)	.

		2h2

Затем подставим эти значения в (4.6) и получим:

′

f (x + h) − f (x)

− f (x + h) + 2 f (x) − f (x − h)

P (x) =

Упростив это выражение, получим:

′

f (x + h) − f (x − h)

′

P (x) =

≈ f (x),

′

формулу центрированной разности второго порядка для f (x) .

Если t0 = x, t1 = x − h и t2 = x − 2h , то

a =

f (x) − f (x − h)

f (x) − 2 f (x − h) + f (x − 2h)

2h2

Подставим эти значения в (4.7) и упростим, тогда получим

′

3 f (x) − 4 f (x − h) + f (x − 2h)

′

P (x) =

≈

f (x),

формулу левой разности второго порядка для

′

f (x) .

4.1.3.Дифференцирование полинома Лагранжа

Для вычисления значения функции в абсциссе, которая лежит с одной стороны от точки x0 , нельзя использовать формулу центрированной разности. Формулы для равноотстоящих абсцисс, которые лежат справа (или слева) от точки x0 , называют формулами для правых (или левых) раз-

ностей. Эти формулы можно получить дифференцированием интерполяционного полинома Лагранжа. Ниже приведены некоторые общие формулы для правых и левых разностей.

f	′	− 3 f0		+ 4 f1		− f2	(правая разность),
f	(x0 ) ≈			2h			(правая разность),
				2h
	′	3 f0	+ 4 f−1		− f−2
f	(x0 ) ≈						(левая разность),
f	(x0 ) ≈			2h			(левая разность),
				2h

						66
f	′′	2 f0	− 5 f1 + 4 f2	− f3		(правая разность),
	′′
	(x0 ) ≈		h2
			h2
f	′′	2 f0	− 5 f−1 + 4 f−2		− f−3	(левая разность).
	′′
	(x0 ) ≈		h2
			h2

В качестве примера опишем способ построения следующей форму-

лы:

f ′′(x0 ) ≈ 2 f0 − 5 f1 + 4 f2 − f3 . h2

Начнем с интерполяционного полинома Лагранжа для f (t) , постро-

енного по точкам x0 , x1 , x2 , x3 :

f (t) ≈ f				0			(t − x1)(t − x2 )(t − x3 )														+	f1		(t − x0 )(t − x2 )(t − x3 )											+
					(x	0		− x )(x			0	− x		2	)(x	0	− x		3	)				(x − x			0	)(x − x		2	)(x − x )
									1														1					1			1		3
+	f2		(t − x0 )(t − x1)(t − x3 )															+ f3				(t − x0 )(t − x1)(t − x2 )												.
		(x	2	− x			0	)(x	2	− x )(x			2		− x )						(x	3	− x		0	)(x	3	− x )(x − x				2	)
											1					3												1	3

Продифференцируем дважды произведения в числителях и получим:

′′

≈ f0

2((t − x1 ) + (t − x2 ) + (t − x3 ))

+ f1

2((t − x0 ) + (t − x2 ) + (t − x3 ))

f (t)

(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 )

(x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 )

+ f2

2((t − x0 ) + (t − x1 ) + (t − x3 ))

+ f

2((t − x0 ) + (t − x1 ) + (t − x2 ))

(x2

− x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 )

(x3

− x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 )

Затем подстановка t = x0 и тот факт, что xi

− x j

= (i − j)h , дадут

′′

2((x0 − x1) + (x0 − x2 ) + (x0 − x3 ))

(x0 ) ≈ f0

(x0 − x1)(x0 − x2 )(x0 − x3 )

2((x0 − x0 ) + (x0 − x2 ) + (x0 − x3 ))

2((x0

− x0 ) + (x0 − x1) + (x0

− x3 ))

(x1

− x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 )

(x2 − x0 )(x2 − x1)(x2 − x3 )

2((x0 − x0 ) + (x0 − x1) + (x0 − x2 ))

(x3

− x0 )(x3 − x1)(x3 − x2 )

= f

2((−h) + (−2h) + (−3h))

+ f

2((0) + (−2h) + (−3h))

(−h)(−2h)(−3h)

(h)(−h)(−2h)

+ f2

2((0) + (−h) + (−3h))

+ f3

2((0) + (−h) + (−2h))

(2h)(h)(−h)

(3h)(2h)(h)

= f

− 12h

+ f − 10h

+ f

− 8h

+ f

− 6h =

2 f0 − 5 f1 + 4 f2 − f3

2 − 2h3

0 − 6h3

1 2h3

3 6h3

Пример. Дана сеточная функция (табл. 3), являющаяся сеточным

представлением функции y(x) =

Таблица 3

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

1,000000

0,83333333

0,7142857

0,6250000

0,5555555

0,500000

Заданы также порядок t = 2

относительно шага h, который необхо-

димо обеспечить при решении задачи, и точка x j

= 1,4 .

Требуется вычислить значение первой производной f

′

(1,4) и вто-

рой производной

′′

с помощью различных узлов и соответствующих

f (1,4)

формул.

Так

как

шаг

задания

сеточной

функции

постоянный

h = xi+1 − xi

= 0,2 , точка x j = 1,4 находится внутри сетки Ω n , то для вычис-

ления производной в этой точке выбирается формула центральной разностной производной, имеющая второй порядок аппроксимации относитель-

но	шага h. При	этом центральная точка шаблона совпадает с точкой
x j	= 1,4 .
	Выберем следующие узлы:
	xi	= 1,4 (i = 2); xi−1 = 1,2 (i − 1 = 1); xi+1 = 1,6 (i + 1 = 3) .

Подсчитаем искомое значение производной по формуле:

ˆ		fi+1	− fi−1		0,6250000 - 0,8333333
fi¢,c	=			=		.
			2h		2 × 0,2

Прежде чем выполнить вычисление, необходимо определить количество знаков, которое сохраняется при этом. Ошибка метода определяется

по формуле h M 3,i . Для ее вычисления необходимо сначала определить

M 3,i =	max		′′′	.	Поэтому воспользуемся интерполяционным много-
			′′′
			f (x)
	[xi −1 , xi +1	]
	[xi −1 , xi +1	]
членом Ньютона с конечными разностями:

f	¢¢¢» N ¢¢¢(x ) =		D3 f	,
f	¢¢¢» N ¢¢¢(x ) =			,
i	3	i	h3
			h3

где 3 f – конечная разность третьего порядка. Эта разность может быть вычислена по значениям функции fi в четырех точках. Возьмем точки x2 , x3 , x4 , x5 . При этом будем считать, что M 3,i ≈ f ′′′(xi ) .

Вычисление дает f ¢¢¢(xi ) » - 0,005935 = -0,74405 . Тогда остаточное

0,008

слагаемое по модулю будет равно 0,04 × 0,74405 » 0,0049 < 0,01.

На основе полученного приближенного значения остаточного слагаемого можно заключить, что в вычислениях ожидается одна верная цифра после запятой. Обычно в расчетах оставляют еще одну или две дополнительные цифры (в нашем примере это составляет всего 3 цифры). Остав-

ˆ ′

x=1,4

= −0,521.

ляя три цифры после запятой, получаем результат: f (x)

Фактическая абсолютная погрешность составляет:

- 0,521 + 0,5102

= 0,0108

- 0,521 +

1,42

т.е. относительная погрешность равна 0,0108 ×100% = 2,1% . Если эта по-

0,5102

грешность не устраивает вычислителя, необходимо повышать порядок точности относительно h, например, до t = 3.

4.1.4.Выбор оптимального шага численного дифференцирования

Общая погрешность вычисления производной может рассматриваться как сумма погрешности метода и погрешности округления. С уменьшением шага h погрешность метода убывает, а погрешность округления возрастает. Можно найти оптимальный шаг как компромисс этих двух процессов. Так для центрально-разностной производной первого порядка погрешность метода не превосходит следующей величины:

	h2	M 3	=	h2	max	f ¢¢¢(x)	.


6				6 ( x−1 , x1 )
Погрешность округления для			такой формулы оценивается величиной

2ε = ε , где ε – абсолютная погрешность исходных значений функции.

2h h

Суммарная погрешность ε Σ следующая:

ε Σ (h) = h2 M 3 + ε . 6 h

Величина ε Σ достигает наименьшего значения при условии:

′	h2			ε ′		h		ε

			M 3 +		= M		3 −		2 = 0 .
ε Σ (h) =		6						h
				h	3

Это условие дает значение h, которое называют оптимальным шагом:

h = 3 3ε .

M 3

Для каждой формулы численного дифференцирования свой оптимальный шаг.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023669.9 Кб05834.pdf
#
21.11.2023669.92 Кб05835.pdf
#
21.11.2023670.13 Кб05836.pdf
#
21.11.2023670.17 Кб05837.pdf
#
21.11.2023670.19 Кб05838.pdf
#
21.11.2023670.25 Кб05839.pdf
#
21.11.2023133.15 Кб0584.pdf
#
21.11.2023670.25 Кб15840.pdf
#
21.11.2023670.35 Кб05841.pdf
#
21.11.2023670.42 Кб05842.pdf
#
21.11.2023670.42 Кб05843.pdf