5818

Пусть

функция y = f (x) дифференцируема в интервале (a; b) и

x0 (a;b).

Точку (x0 ; f (x0 )) графика функции y = f (x) называют точкой

a x0 −ε 0 x0 x0 +ε b

x

Рис. 5

y = f (x)

непрерывна в ε – окрестности точки

x0 , имеет

в

точке

x0

конечную

или бесконечную определенного знака производную

f

′′

а

(x0 ),

функция

f

′′

x0 , кроме,

быть может

(x) определена в ε – окрестности точки

самой точки x0 , и меняет знак при переходе через эту точку, то

x0

– точка

перегиба функции

y =

9 × 3

х11

-

9 × 3 х5

.

88

10

Решение. Область определения D данной функции есть множество

всех действительных чисел R , то есть D = R .

Находим:

8

2

y'=

9

×

11

× x

-

9

×

5

× x

;

3

3

10

88

3

3

= 3

− 1 =

− 1 .

y′′ = (y′)′ = x 3

− x

3

x5

x

5

−

1

2

3 x

3 x

y '

+

–

+

-

y

-1

0

1

x

Так как x = 0 D и при переходе через эту точку

y′′ меняет знак, то

x = 0 – точка перегиба данной функции. Аналогично,

точки x = ±1 тоже

являются точками перегиба графика функции.

y'=1×

+ х×

- 2х

=

4

- 2х2

4 - х2

4 - х2 ;

2 4 - х2

- 2х

- 4х×

4 - х

2

- (4 - 2

х

2

) ×

2х× (х2 - 6)

y¢¢ = (y¢)¢ =

2

=

4 - х2

4 - х2

(4 - х2 )3

y¢¢ = 0 Û 2х(x2 - 6) = 0 , откуда x = 0 D , x = ±

Ï D

6

y′′ не существует, если

= 0 x = ±2 Î D .

(4 - х2 )3

Используем достаточные условия перегиба:

Отметим точки x = ±2, x = 0 на области

D и определим знаки y′′

слева и справа от каждой точки.

y′′

-2

0

2

x

y

если хотя бы один из односторонних пределов функции

y = f (x) в точке

x = х равен бесконечности, то есть

lim f (x) = ±∞ или

lim f (x) = ±∞ .

0

x→х0 −0

x→х0 +0

Как правило, точки х0 находятся среди точек разрыва второго рода.

Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f (x),

если одновременно существуют конечные пределы:

k = lim

f (x)

b = lim ( f (x)− kx)

.

и

x→±∞

x

x→±∞

x3

− 1

lim

=

= −∞ , то прямая x = −1

есть вертикальная

2

x→−1−0 2(x + 1)

+ 0

f (x)

x3

∞

x3

k = lim

=

lim

=

= lim

=

x

2

1

2

x→±∞

x→±∞ 2(x + 1)

x

∞

x→±∞

3

+

2х

1

х

= lim

1

= 1

1

2

x → ±∞

+

2

2 1

х

b = lim ( f (x)- kx) =

x

3

- 1

lim - 2x

2

- x = -1

lim

× x =

.

x→±∞

x→±∞ 2(x +1)2

2

x→±∞ 2(x +1)2

Следовательно, существует наклонная асимптота

y =

1

x − 1

. Таким образом,

2

кривая y =

x3

имеет одну вертикальную асимптоту

x = −1 и одну

2(x + 1)2

наклонную

y =

1

x − 1

(см. рис. 7).

2

Рис. 7

Пример 2. Найти асимптоты кривой y = x × arctgx .

Решение. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой

прямой, следовательно, вертикальных асимптот эта кривая не имеет.

Найдем наклонные асимптоты этой кривой:

k1

= lim

f (x)

= lim

x × arctgx

= lim arctgx = π ,

x→+∞ x

x→+∞

x

x→+∞

2

b1

= lim

( f (x)

× arctgx -

π

= lim x ×

π

- kx) = lim x

× x

arctgx -

2

= [¥ × 0]=

x→+∞

x→+∞

2

x→+∞

arctgx −

π

(arctgx −

π

1

x2

+1

= lim

2

=

0

= lim

2 )'

= lim

=

x→+∞

x→+∞

x→+∞

1

1

0

(

1 )'

−

x2

x

(−x2 )'

x

=

lim

− x2

=

∞

=

lim

=

lim

− 2x

= −1,

+ x

2

)'

+ x

2

x→+∞ 1

∞

x

→+∞ (1

x→+∞

2x

следовательно,

y = π

× x -1 наклонная

асимптота кривой

y = x × arctgx

2

k2

= lim

f (x)

= lim

x × arctgx

= lim arctgx = - π ,

x→−∞

x

x→−∞

x

x→−∞

2

b2

= lim

( f (x) - kx) =

× arctgx

+

π

+

π

= [¥ × 0] =

lim x

2

× x = lim x ×

arctgx

2

x→−∞

x→−∞

x→−∞

π

π

1

arctgx + 2

(arctgx +

2 )'

=

= lim

=

0

= lim

= lim

x2 + 1

x→−∞

1

x→−∞

1

x→−∞

1

0

(

)'

−

x2

x

x

− x2

∞

(−x2 )'

=

− 2x = −1,

=

lim

=

=

lim

lim

2

+ x

2

x→−∞ 1

∞

x→−∞ (1 + x

)'

x→−∞

2x

следовательно, y = - π × x -1 наклонная асимптота кривой

y = x × arctgx

при

2

x → −∞ .

Таким

образом,

график

функции

y = x × arctgx

имеет

только

две

наклонные

асимптоты

y = π × x -1

при

x ® +¥ и

y = - π × x -1

при

2

2

Пример 1. Провести

y =

x 3

полное

исследование функции

и

x 2

− 3

построить её график.

Исследование

1. Областью определения D данной функции y является вся числовая

ось R , кроме точек x1 =

и x2 = −

(в которых знаменатель обращается

3

3

получаем, что x = 0.

Находим интервалы

знакопостоянства функции

x3

f (x) > 0

> 0 − 3 < x < 0, x > 3.

x2 −3

f (x) < 0

x < −

Аналогично

3, 0 < x <

3 .

определения y(−x) =

(−x)3

=

−x3

= −y(x). Следовательно, график ее

(−x)2 −3

x2 −3

x3

x3

lim

= −∞,

lim

= +∞,

x→−

−0 x2

− 3

x→−

+0 x2 − 3

3

3

x3

x3

lim

= −∞,

lim

= +∞,

− 3

x→ 3 −0 x2

x→ 3 +0 x2

− 3

x3

x2

y

= lim

= lim

k = lim

x2 − 3

= 1 ( k = 1 при x → + ∞ и при x → − ∞ ),

x→∞ x x→∞

x

x→∞ x2 − 3

b = lim ( y − kx) = lim (

x3

− x) = lim

3x

= 0.

x→∞

x→∞

x2 − 3

x→∞ x2 − 3

Значит, прямая y = x

является наклонной асимптотой и при x → + ∞ и при

/

x3

/

3x2 (x2 - 3) - 2x × x3

x2 (x2 - 9)

=

=

2

2

2

2

2 .

y =

- 3

(x

- 3)

(x

- 3)

x

x1 = −

Первая производная не существует в точках

3, x2 = 3 (т.е. в

интервалах (−∞, − 3), (3, + ∞) первая

производная

положительна и данная

функция возрастает. При переходе через точку

x = −3

первая производная

меняет свой знак с плюса на минус, поэтому

x = −3 является точкой

максимума, а при переходе через точку

x = 3

первая производная меняет

свой знак с минуса на плюс, поэтому

x = 3 –

точка минимума.

Вычислим

значения функции в этих точках: y(3) =

33

=

9

,

y(−3) =

(−3)3

= −

9

.

(−3)2 − 3

32 − 3 2

2

′′

x2 (x2 −9)

′

(4x3 −18x)(x2 −3)2 − x2 (x2 −9)2(x2 −3)2x

6x(x2

−3)(x2 +9)

6x(x2 +9)

=

=

=

=

2

2

2

4

2

4

2

3 .

y

(x

−3)

(x

−3)

(x

−3)

(x

−3)

x1 = −

x2 =

(как и

Вторая

производная не существует в точках

3,

3

сама

функция)

и обращается в

нуль при x = 0. Получившиеся

точки