Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5815

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

669.28 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Е.А.Бондарь, Т.А.Пушкова, П.В. Столбов

Приложения дифференциального исчисления

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине

«Математика» для обучающихся по направлению подготовки

05.03.06_Экология и природопользование, профиль Природопользование

Нижний Новгород

2016

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Е.А.Бондарь, Т.А.Пушкова, П.В. Столбов

Приложения дифференциального исчисления

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине

«Математика» для обучающихся по направлению подготовки

05.03.06_Экология и природопользование, профиль Природопользование

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

УДК 517.9

Бондарь Е.А. Приложения дифференциального исчисления [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Е.А.Бондарь, Т.А.Пушкова, П.В. Столбов; Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2016.- 58с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

Пособие содержит краткий теоретический материал, сопровождающийся многочисленными примерами и задачами разного уровня сложности, а также большое количество заданий для самостоятельной работы, которые могут быть использованы для расчетно-графической работы обучающихся по разделу «Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной».

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 05.03.06_Экология и природопользование, профиль Природопользование.

Введение

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов первого курса очной формы, обучающихся по направлению подготовки «Экология и природопользование».

Учебное пособие посвящено приложениям дифференциального исчисления – одному из разделов математики, который имеет широкое применение в различных областях знаний.

Цель данного учебного пособия состоит в том, чтобы способствовать лучшему усвоению теории, развитию математического и логического мышления у обучающихся, привитию им навыков решения задач, пониманию их физической сущности.

Впервой части пособия рассматривается применение дифференциального исчисления к приближенным вычислениям значений функции в точке, во второй – правило Лопиталя для раскрытия различных типов неопределенностей, в третьей – применение дифференциального исчисления к исследованию функций одного переменного и построению их графиков, в четвертой – нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке.

Вкаждой части кратко приводится теоретический материал, который иллюстрируется разнообразными примерами и задачами разного уровня сложности, а также в каждом из четырех разделов предложены по тридцать вариантов заданий для выполнения расчетно-графической работы обучающимися.

При создании пособия авторы использовали некоторые методические приемы и задачи из литературы, список которой приведен в конце пособия.

Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по адресу электронной почты k_vm@nngasu.ru.

Применение производной к вычислению

приближенного значения функции в точке

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x = x0 , то есть имеет

конечную производную в этой точке

f '(x0 ) = lim

Dx .

х→0

Тогда приращение Dy в этой точке можно представить в виде

Dy = f '(x0 ) × Dx +α × Dx , где α ® 0 при Dx ® 0 .

Если

f '(x0 ) ¹ 0,

то

α × Dx

является бесконечно малой более высокого

порядка,

чем f '(x0 ) × Dх.

Поэтому

первое

слагаемое

f '(x0 ) × Dх

называют

главной частью приращения функции

или дифференциалом функции.

Отбрасывая бесконечно малую α × Dx более высокого порядка, чем

f '(x0 ) × Dх. ,

получаем приближенное равенство

Dy » f '(x0 ) × Dx ,

причем

это

равенство

тем

точнее, чем

меньше

Dx .

Учитывая, что

Dy = f (x0 + Dx) - f (x0 ) ,

получаем формулу

для вычисления

приближенного

значения функции

f (x0 + Dx) » f (x0 ) + f '(x0 ) × Dx .

(1)

Пример 1. Вычислить приближенное значение выражения 3

8,24

Решение.

Требуется вычислить приближенное значение функции

f (x) = 3

при х = 8,24 . Тогда х0

= 8 и Dx = х - х0 = 8,24 - 8 = 0,24 . Чтобы воспользоваться

формулой (1), вычислим

f (x0 )

и f '(x0 ) :

f (x0 ) = 3

= 2,

f '(x) =

f '(x0 ) =

3 × 3 х2

× 3 82

Отсюда по формуле (1) получаем

» 2 +

× 0,24 = 2,02 .

8,24

Результат вычисления на калькуляторе 3 8,24 ≈ 2,019803.

Пример 2. Вычислить приближенное значение выражения ln 3,03 .

2,97

Решение.

Требуется

вычислить

приближенное

значение

функции

f (x) = ln

3 + x

при х = 0,03.

Тогда

х0

= 0

Dx = х - х0

= 0,03 - 0 = 0,03.

Чтобы

3 - x

воспользоваться формулой (1), вычислим

f (x0 ) и

f '(x0 ) :

f (x0 ) = ln

= ln1 = 0,

f '(x) =

3 - x

1× (3 - x) - (-1) × (3 + x)

f '(x0 ) =

- x)(3 + x)

3 + x

(3 - x)2

3 ×

Отсюда по формуле (1) получаем ln

3,03

» 0 +

× 0,03 = 0,02 .

2,97

Результат вычисления на калькуляторе

3,03

» 0,020001.

2,97

Пример 3. Вычислить приближенное значение выражения

cos59

Решение.

Найдем

приближенное значение функции

f (x) =

при

cos x

х = 59O

= 60O -1O = π -

Тогда

х0 = π

Dx = х - х0

= -

Чтобы

180

воспользоваться формулой (1), вычислим

f (x0 ) и

f '(x0 ) :

f (x0 ) =

= 2 ,

cos

0,5

× (-sin π ) =

f '(x) = -

× (-sin x) f '(x0 ) = -

= 2

. Отсюда по

cos2

2 π

0,52

cos

формуле (1) получаем

» 2 + 2

» 1,94 , где π ≈ 3,14 ,

3 » 1,73 .

cos59

180

Результат вычисления на калькуляторе

» 1,941604.

cos59O

Пример 4. Шар радиуса 20 см был нагрет, отчего его радиус увеличился на

0,01см. На сколько приближенно увеличится объем шара?

Решение.

Объем

шара вычисляется по

формуле

V (r) =

×π × r 3 ,

тогда

изменение

объема

шара

можно

будет

вычислить

помощью

формулы

DV (r0 ) »V '(r0 ) ×Dr .

Здесь

r0 = 20см,

r = 0,01см.

Тогда

V '(r) = 4πr

2 V '(r ) = 4π ×202 =1600π ,

значит,

объем

шара

увеличится на

DV (r0 ) »1600π ×0,01 =16π см3 .

Пример 5. Автомобиль, проходящий поворот, занимает на проезжей части большую ширину, чем на прямолинейном участке дороги. Найдите необходимое уширение однополосной дороги на повороте радиуса r

( r - радиус внешнего края дороги) для автомобиля, продольная база

(расстояние между осями) которого равна l .

Решение. На повороте все четыре колеса автомобиля катятся по дугам концентрических окружностей (см. рисунок), причем заднее внутреннее колесо D описывает окружность наименьшего, а переднее наружное B –

наибольшего радиусов. Поэтому ширина дорожной полосы на повороте h = OB − OD , а искомое уширение


l		2
h = h − CD = OB − OC = r − r 1 −	.

r

	l		r . Поэтому для вычисления
Величина		довольно мала при больших
	r
6

можно воспользоваться формулой (1), где f (x) = x, x0 = 1,

значения

1−

l 2

x = −

;

1 −

≈ 1 −

Получили формулу

h =

l 2

, которая используется на практике.

Задание № 1

С помощью дифференциала вычислить приближенно значение числового

выражения	(π ≈ 3,14 ).

вариант							вариант

1.				cos46O			16.			sin 44O

				sin 44O						sin 46O
				sin 44O						sin 46O

								arctg(1− cos89O )
2.	arctg 0,97						17.	arctg(1− cos89O )

3.	ln(e2 + 0,2)						18.	arctg(0,96)9

			ln tg46					(						)
4.						O	19.	(			35,9			)
								ln 7 −			35,9


			7 + 1,022
5.	3		7 + 1,022				20.		24 + e0,03

6.	arctg(1,03)2						21.	ln(1+ cos88O )

				3,02
				3,02							1
7.		ln					22.	ln
7.		ln					22.	ln			0,98
				2,98							0,98

8.	arctg				4,01		23.				1
8.	arctg						23.			ln 0,99
	3,99									ln 0,99

	5							ln(e − 0,032 )
9.	5	cos89O + 32					24.	ln(e − 0,032 )

10.	(1− ln 0,98)2						25.	(5 −					)2
10.	(1− ln 0,98)2						25.	(5 −				1,02	)2
							7

		e2−				esin 2O
11.		e2−	3,98	26.		esin 2O
		arctge0,01
12.		arctge0,01		27.		3 tg 44O

					arcsin(2,5 − 3					)
13.				28.				8,03
13.		3 cos1O		28.				8,03

					arctg(3 −				)
14.	arcctg3 1,02			29.	arctg(3 −		4,02		)

15.	1			30.	1

		ln(e − 0,01)				4 − 4 15,97
		ln(e − 0,01)				4 − 4 15,97

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

							0		∞
	Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида							или		,
							0			∞
который основан на применении производных.
	Теорема (Правило Лопиталя). Пусть в некоторой окрестности точки
х0	(кроме, быть может, самой		точки			х0 ) функции f (x)		и	ϕ (х)
дифференцируемы и		ϕ '(х) ¹ 0 .		Если		lim f (x) = limϕ (x) = 0			или
						x→x0	x→x0
lim f (x) = limϕ(x) = ∞ ,		т. е. частное		f ( x)			х0 представляет
					в точке				собой
					в точке				собой
x→x0	x→x0			ϕ (x)

неопределенности вида 0

или ∞	, то lim	f (x)	= lim	f '(x)
					, если передел в
		ϕ (x)		ϕ '(x)
∞	x→ x0		x→ x0

правой части этого равенства существует.

1. Если

f '(x)

х0 также

Замечание

частное

в точке

есть

ϕ '(x)

неопределённость

вида

или

∞

и производные

f '(х) и

ϕ '(х)

∞

удовлетворяют соответствующим условиям теоремы, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.

Замечание 2. Правило Лопиталя справедливо и в том случае, когда

х → ∞ .

Замечание 3. В случае неопределенности вида [0 ×¥] или [∞ − ∞]

следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести

ее к неопределенности вида	0		или ∞		и далее воспользоваться правилом
0			∞

Лопиталя. Если же имеем неопределенности вида [00 ] или [∞ 0 ] или [1∞ ], то

следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Пример 1. Найти предел lim

ех - х - 1 .

x→0

sin 2 3x

Решение.

Так

как

lim (ех

- х -1) = 0 и lim sin 2 3x = 0 и

функции

x→0

f (x)= ех

− х − 1 и ϕ ( х) = sin 2 3x

дифференцируемы, то можно применить

правило Лопиталя

ех - х -1

(e x - x - 1)'

e x -1

e x −1

lim

= lim

sin

(sin

3x)'

2sin 3x ×cos 3x ×3

3sin 6x

x→0

= lim

(e x - 1)'

= lim

e x

(3 sin 6x)'

x→0

x→0 18 cos 6x

ln( х -

π )

Пример 2. Найти предел lim

tgx

x→π

Решение. Так как limln(x - π ) = ¥ и lim tgx = ∞ , имеем неопределенность
		x→π		2	x→	π
		x→π		2	x→	2
		2
вида ∞		. Функции	f (x)= ln(x − π )		и	ϕ (х) = tgx дифференцируемы в
				2
	∞			2
окрестности точки х0			= π	(кроме самой этой точки), следовательно, можно
			2

применить правило Лопиталя

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023669.14 Кб05810.pdf
#
21.11.2023669.19 Кб05811.pdf
#
21.11.2023669.19 Кб05812.pdf
#
21.11.2023669.22 Кб125813.pdf
#
21.11.2023669.28 Кб75814.pdf
#
21.11.2023669.28 Кб05815.pdf
#
21.11.2023669.33 Кб05816.pdf
#
21.11.2023669.35 Кб05817.pdf
#
21.11.2023669.38 Кб05818.pdf
#
21.11.2023669.39 Кб05819.pdf
#
21.11.2023133.07 Кб0582.pdf