5797
.pdfИмеем: на интервалах (−∞, − 3), (0, 3) вторая производная отрицательна,
следовательно, здесь функция выпукла вверх, а на (− 3, 0), (3, + ∞) вторая
производная положительна и данная функция выпукла вниз. При переходе
через точку x = 0 вторая производная меняет |
свой знак, |
поэтому x = 0 |
||||||||
является абсциссой точки перегиба. Так как |
|
y(0) = 0 , то |
точка O(0,0) |
|||||||
является точкой перегиба графика функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
12 |
|
|
||
8. |
Возьмем дополнительные точки 1, − |
|
|
; |
( |
2, 8) 4, 4 |
|
|
. |
|
2 |
13 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Построим график исследуемой функции. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
Рис. 9 |
Пример 2. Провести полное исследование функции y = (x −1)e1− x и
построить её график.
Исследование
1. Областью определения D данной функции y является вся числовая
ось R .
2. Функция непрерывна для всех x.
30
3. Найдем точки пересечения графика с осями координат. Решая
уравнение (x −1)e1−x = 0, находим точку пересечения кривой с осью |
Ox : |
|||
x = 1. |
С осью Oy график пересекается при x = 0, откуда y = f (0) = -e, |
т.е. |
||
(0, − e) |
– |
точка пересечения с осью Oy . |
|
|
4. |
Функция y = (x −1)e1− x не является |
периодической. Исследуем |
||
вопрос о четности. Имеем: y(−x) = (−x −1)e1−(−x) |
= −(x +1)e1+x. Мы заключаем, |
|||
что, y(-x) ¹ ±у(х) , т.е. данная функция общего вида. |
|
5.Асимптоты
a)Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна при всех действительных значениях x.
b)Найдем наклонные и горизонтальные асимптоты:
k1 = |
|
y |
|
(x -1)e1− x |
|
|
1 |
1− x |
|
k1 = 0, |
|
lim |
|
= lim |
|
= lim 1 |
- |
|
e |
=1×0 = 0 |
|||
|
x |
|
|||||||||
|
x→+∞ x |
x→+∞ |
x→+∞ |
|
x |
|
|
|
b = lim ( y - k x) = lim (x -1)e1− x = lim |
x −1 |
|
= lim |
(x −1)′ |
= lim |
1 |
= 0. |
|||
|
|
|
||||||||
x→+∞ |
1 |
x→+∞ |
x→+∞ ex−1 |
x→+∞ (ex−1 )¢ |
x→+∞ ex−1 |
|||||
|
Следовательно, прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции при x → + ∞ .
|
|
y |
|
(x -1)e1− x |
|
1 1− x |
|
|
k2 = |
lim |
|
= lim |
|
= lim 1- |
|
e |
=1×(+¥) = +¥, |
|
x |
|
||||||
|
x→−∞ x |
x→+∞ |
x→−∞ |
x |
|
|||
значит, при x → − ∞ горизонтальных асимптот нет. |
||||||||
|
6. Исследуем функцию на экстремум и промежутки монотонности. |
y′ = ((x −1)e1− x )′ = e1− x − (x −1)e1− x = (2 − x)e1− x .
Определим критические точки функции: решаем уравнение y′ = 0, т.е.
(2 − x)e1−x = 0 (2 − x) = 0 x = 2. Таким образом, имеется одна
критическая точка x = 2 . Получившаяся точка делит область определения функции на промежутки (−∞, 2), (2, + ∞). Определяем знак первой производной на каждом из получившихся интервалов:
31
Отсюда видно, что при x < 2 функция возрастает, а при x > 2 убывает.
Функция имеет максимум в точке x = 2 , значение функции в этой точке
равно y(2) = 1×e−1 = 1 » 0, 37. e
7. Исследуем функцию на выпуклость. Находим y ′′
y′′ = ((2 − x)e1− x )′ = −e1− x − (2 − x)e1− x = (x − 3)e1− x .
Приравниваем y′′ к нулю: (x − 3)e1− x = 0 (x − 3) = 0 x = 3. Вычисляем знак второй производной на получившихся интервалах(−∞, 3), (3, + ∞).
Имеем: y′′ > 0 на (3, + ∞), следовательно данная функция выпукла вниз на
этом интервале; |
y′′ < 0 на (−∞,3), поэтому функция выпукла вверх на этом |
||
интервале. При |
x = 3 получаем точку перегиба, ордината которой |
||
y(3) = |
2 |
≈ 0, 27. |
|
|
|
||
|
e2 |
|
8.Учитывая накопленную информацию, строим график исследуемой
функции.
2 y
1
x
0
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
-1
-2
-3
-4
Рис. 10
-5
32
Пример 3. Провести полное исследование функции y = 36x2 − x3 и
построить её график.
Исследование
1. |
Областью определения D данной функции y является вся числовая |
|||
ось R . |
|
|
|
|
2. |
Функция непрерывна на всей области определения. |
|||
3. |
Для нахождения точек пересечения с осью Ox возьмем y = 0 , тогда |
|||
|
|
3 |
|
= 0; 6x2 − x3 = 0; x2 (6 − x) = 0. |
|
|
6x2 − x3 |
||
Отсюда |
x1,2 = 0, |
x3 = 6, значит кривая пересекает ось Ox в точках O(0,0) и |
||
A(6, 0). |
Чтобы определить точки пересечения графика с осью Oy полагаем |
|||
x = 0, тогда y = 0, |
т.е. O(0, 0) является также точкой пересечения с осью Oy . |
|||
Функция положительна при x < 6 и отрицательна при x > 6. |
||||
4. |
Функция не является периодической. Определим, нельзя ли отнести |
|||
данную |
функцию к классу четных или нечетных функций. Поскольку |
y(-x) ¹ y(x) и y(-x) ¹-y(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.
5.Асимптоты
a)Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.
b)Исследуем график на наличие наклонных и горизонтальных асимптот:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = lim |
y |
= lim |
3 6x2 − x3 |
|
|
= lim 3 |
6 |
−1 = −1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→± ∞ x x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
x→± ∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
b = lim |
( y − kx ) = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( 3 |
|
|
6 x 2 − x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x → ± ∞ |
|
|
|
|
|
|
x → ± ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(3 |
|
|
|
+ x)(3 |
|
|
|
− x 3 |
|
|
+ x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6x2 − x3 |
(6x2 − x3 )2 |
6x2 − x3 |
|
|
6x2 |
− x3 + x3 |
|||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→± ∞ |
|
|
3 (6x2 − x3 )2 |
− x 3 6x2 − x3 + x2 |
x→±∞ 3 (6x2 − x3 )2 |
− x 3 6x2 − x3 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||
Следовательно, прямая |
y = − x + 2 |
является наклонной асимптотой кривой |
|||||||||||||||||||||||||||||
y = 3 |
|
. Горизонтальных асимптот график не имеет. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6x2 − x3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Теперь определим интервалы возрастания и убывания функции и её
экстремумы.
y′ = |
12x − 3x2 |
|
= |
|
4 − x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
33 (6x2 |
− x3 )2 |
|
|
3 x(6 |
− x)2 |
Приравнивая к нулю производную, находим стационарную точку x1 = 4. В
точках x2 = 0 и x3 = 6 производная не существует (заметим, что сама функция y = 36x2 − x3 в этих точках существует).
Из рисунка видим, что при x < 0 и x > 4 функция убывает, а при
0 < x < 4 возрастает. Точка x = 0 является точкой минимума с «острием» (так
как производная в этой точке не существует), а точка |
|
x = 4 есть «обычная» |
||||||||||||||||||
точка максимума. |
Найдем ординаты |
точек |
|
|
максимума |
|
|
и |
минимума: |
|||||||||||
y(0) = 0, |
y(4) = 2 3 |
|
|
|
|
|
x = 6 |
|
|
|||||||||||
4. |
При переходе через точку |
первая производная не |
||||||||||||||||||
меняет свой знак, следовательно, |
в точке x = 6 экстремума нет. |
|
|
|||||||||||||||||
7. |
Определим |
точки перегиба |
и |
области |
выпуклости |
и |
вогнутости |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − x |
|
|
′ |
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
кривой. |
Вторая производная |
y′′ = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
в |
нуль не |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
x(6 − x) |
2 |
|
|
3 |
x |
4 |
(6 − x) |
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обращается ни в одной точке; в точках x = 0 и x = 6 она не определена (сама функция в этих точках определена). Исследуем знак второй производной вблизи этих точек.
Так как |
y ′′ < 0 |
слева и справа от |
x = 0 , то кривая выпукла вверх слева и |
|||
справа от точки с абсциссой x = 0, |
и, следовательно, точка |
O(0, 0) не является |
||||
точкой перегиба. Поскольку слева от |
x = 6 |
имеем y ′′ < 0 , |
т.е. здесь кривая |
|||
выпукла |
вверх, |
а при x > 6 имеем |
y′′ > 0, |
т.е. здесь она выпукла вниз; |
||
|
|
|
34 |
|
|
поэтому точка A(6,0) является точкой перегиба.
Строим график функции.
Рис. 11 |
Пример 4. Провести полное исследование функции y = x2 ln x и
построить её график.
Исследование
1.Областью определения данной функции y является D = (0, +∞).
2.Функция непрерывна при x > 0.
3.Ось ординат график функции не пересекает, так как функция
определена при x > 0 . С осью абсцисс график пересекается при y = 0, откуда
x2 ln x = 0 ln x = 0 x = 1, т.е. (1, 0) – точка |
пересечения |
с осью Ox . |
Находим интервалы знакопостоянства функции. Поскольку x2 |
> 0, при любом |
|
действительном x , то y > 0 ln x > 0 x > 1; |
y < 0 ln x < 0 x <1. |
4. Функция не является периодической. Поскольку область ее определения несимметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.
35
5. Асимптоты
a) Так как lim |
x2 ln x = lim |
|
ln x |
= lim |
(ln x)′ |
= lim |
1/ x |
= lim |
−x2 |
= 0, |
|||||
|
|
|
|
|
−2 / x3 |
2 |
|||||||||
x→0+0 |
|
|
x→0+0 1/ x2 |
x→0+0 (1/ x2 )′ |
x→0+0 |
x→0+0 |
|
||||||||
следовательно, |
вертикальных асимптот нет. |
|
|
|
|
|
|||||||||
b) Поскольку k = lim |
y |
= lim |
|
x2 ln x |
= lim x ln x = +∞, то график не имеет ни |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
x→+∞ x x→+∞ x |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
горизонтальной, ни наклонной асимптоты.
6. Чтобы найти точки экстремума, вычислим первую производную
y′ = 2x ln x + x.
y'= 0 2x ln x + x = 0 x = 0 D, |
x |
|
= |
1 |
|
≈ 0,6 D |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x < |
1 |
|
|
|
|
f ′( x) < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
При |
|
|
|
|
имеем |
значит |
функция на промежутке |
0, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
||||
убывает, |
а при |
x > |
1 |
имеем |
f ′(x) > 0, |
поэтому на |
интервале ( |
1 |
|
, + ∞) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
e |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция возрастает. Следовательно, |
x = e− |
|
– |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
точка |
минимума |
нашей |
|||||||||||||||||||||||||||
функции. В этой точке y = − |
1 |
≈ −0,18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
Интервалы |
выпуклости |
и |
точки |
перегиба. Мы |
|
имеем |
||||||||||||||||||||
y′′ = (2x ln x + x)′ = 2 ln x + 3. Решая уравнение |
2 ln x + 3 = 0, находим корень |
|||||||||||||||||||||||||||||
x = |
|
1 |
|
|
≈ 0,23 D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видим, что y′′(x) < 0 при 0 < x < |
|
1 |
и |
y′′(x) > 0 при x > |
1 |
|
, то график |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
e3 |
|
|
e3 |
|||
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
функции будет выпуклым вверх на интервале |
|
0, |
|
|
|
|
и выпуклым вниз на |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
e3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
интервале |
1 |
, + ∞ . Точка |
x = |
1 |
|
является |
|
точкой перегиба, значение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
e3 |
|
||||||||||||
|
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции в этой точке y = − 3 ≈ −0, 07. 2e4
8. Строим график исследуемой функции.
y |
x |
Рис. 12 |
Рассмотрим более сложные примеры.
Пример 5. Провести полное исследование функции y = |
1 |
|
1 |
|
|
e1−x |
2 |
|
|||
|
|
и |
|||
1+ x2 |
построить её график.
Исследование
1. |
Область определения D функции – |
вся числовая ось, за исключением |
|
точек x = −1 и x = 1, т.е. D = R \ {± 1}. |
|
|
|
2. |
Данная функция непрерывна всюду, кроме точек x = −1 и x = 1 . |
||
3. |
Найдем точки пересечения графика с осями координат. Так как y > 0 |
||
при всех x, следовательно график расположен выше оси |
Ox . С осью Oy |
||
график |
пересекается при x = 0, откуда |
y = f (0) = e, |
т.е. (0, e) – точка |
пересечения с осью Oy . |
|
|
|
|
37 |
|
|
4. Функция не является периодической. Область ее определения
симметрична относительно начала координат и |
|
для любого х |
из области |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(−x) = |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
= |
|
1 |
1 |
= y(x). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−(− x)2 |
|
e |
|
||||||||
определения |
выполняется: |
|
|
|
|
|
e |
|
1− x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ (−x)2 |
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
||||||||
Поэтому функция y(x) |
четная и ее график симметричен относительно оси |
||||||||||||||||||||||
ординат, а исследование достаточно провести только для x ³ 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. Асимптоты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
1 |
= +∞, |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
= 0, |
|
|
прямая x =1 |
|||||
a) Поскольку |
lim |
|
|
e |
1− x2 |
lim |
|
|
e |
1− x2 |
то |
||||||||||||
|
+ x2 |
|
+ x2 |
||||||||||||||||||||
|
x→1−0 1 |
|
|
|
x→1+0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
является вертикальной асимптотой. Отсюда, |
в силу симметрии, следует, что |
||||||||||||||||||||||
прямая x =-1 |
также является вертикальной асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
b) Найдем наклонные и горизонтальные асимптоты:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
e |
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
k = lim |
|
= lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
e |
1− x2 |
|
= 0 ×1 = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
→+∞ x |
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ x(1 |
+ x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = lim ( y − kx) = lim |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ 1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Следовательно, прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой графика |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции при x → + ∞ (тоже и при x → − ∞ ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. Исследуем функцию на экстремум и промежутки монотонности. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
′ |
|
|
−2x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2x3 (3 − x2 ) |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
y′ = |
|
|
|
e1− x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
e1− x |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1− x |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1− x |
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
+ x |
|
|
|
(1+ x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1− x |
) |
(1+ x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1− x |
) |
(1+ x |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2x3 |
(3 − x2 ) |
|
1 |
|
= 0 2x3 (3 − x2 ) = 0 x = 0, x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e |
1− x2 |
3, x = − 3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(1− x2 )2 (1+ x2 )2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Кроме того, первая производная не существует в точках |
|
x1 = − 1, |
|
x2 = 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим часть области определения при x ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
Отсюда видно, что |
на интервалах (0,1), (1, |
3) |
функция возрастает, а на |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
максимум в точке x = |
|
, |
||||||||
интервале ( |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||
3, + ∞) |
убывает. Функция |
имеет |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
значение функции в этой точке равно y( |
3) = |
= |
≈ 0,15. |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
e 2 |
|
||||||||||||||
4 |
4e |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как функция четная, то при x < 0 имеем:
Значит, |
x = 0 – |
точка минимума, |
ymin |
= y(0) = e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
7. Исследуем функцию на выпуклость. Находим y′′ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2x3 |
(3 − x2 ) |
|
|
1 |
|
′ |
1 |
|
|
1 |
|
2x4 (3 − x2 )2 + (1− x2 )(9 + x2 + 7x4 − x6 ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
y′′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1− x |
|
= 2x2 |
|
|
e1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
2 |
|||||||
|
(1 |
− x |
) |
(1 |
+ x |
) |
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
(1− x |
) |
(1+ x |
) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечаем, |
|
что знак |
второй |
производной зависит |
от |
знака многочлена |
||||||||||||||||||||
h(x) = 2x4 (3 − x2 )2 + (1− x2 )(9 + x2 + 7x4 − x6 ). |
Убеждаемся, |
что |
h(x) > 0 |
|
при |
|||||||||||||||||||||
−1 < x < 1, |
а значит и y′′ > 0, |
следовательно, |
данная функция выпукла вниз на |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(−1, 1). |
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
. Имеем: |
||||||||||
интервале |
|
|
рассмотрим |
промежуток |
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(1) = 18 > 0, |
h( |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|||||||||||||
3) = −96 < 0, |
значит функция h(x) |
|
||||||||||||||||||||||||
на концах отрезка |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимает значения разных знаков, поэтому h(x) , следовательно, и |
|
′′ |
||||||||||||||||||||||||
y (x) , |
||||||||||||||||||||||||||
хотя бы в одной точке из интервала (1, |
|
|
) |
обращается в нуль, а функция y(x) |
||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||
имеет точку перегиба. Так |
|
|
|
′′ |
|
|
x → +∞, |
значит |
|
для |
||||||||||||||||
как y (x) → +∞ при |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x, |
( x > |
|
) |
|
y′′(x) > 0 и |
|
||||||||||||||||
достаточно |
большого |
3 |
выполняется |
на интервале |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( 3, + ∞) |
|
|
имеет хотя бы один нуль, |
а график функции имеет |
||||||||||||||||||||||
y (x) также |
точку перегиба.
8.Учитывая накопленную информацию, строим график исследуемой функции при x ³ 0 , а затем симметрично отражаем его относительно оси
Oy .
39