5794
.pdf
|
ln(х - |
π ) |
|
¥ |
|
|
|
(ln(x - π ))' |
|
|
cos |
2 x |
|
|
0 |
|
(cos |
2 |
x)' |
|
||||
lim |
|
2 |
|
= |
= lim |
2 |
|
= lim |
= |
= lim |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
tgx |
|
|
(tgx)' |
|
π |
|
π |
|
|
|||||||||||||||
π |
|
|
|
¥ |
|
π |
|
x→ |
π |
x - |
|
|
0 |
π |
(x - |
)' |
|
|||||||
x→ 2 |
|
|
|
|
|
|
x→ 2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
x→ 2 |
|
2 |
|
|||||
= lim - 2 cos x × sin x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→π |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти предел lim (tgx × ln x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Так |
как |
lim tgx = 0 и |
lim ln x = -¥ , |
|
следовательно, имеем |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность вида [0 ×¥]. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
lim (tgx × ln x) = lim |
ln x |
= lim |
ln x |
= |
|
¥ |
= lim |
(ln x)' |
= lim |
- 2 sin 2 x |
= |
0 |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
ctgx |
(ctgx)' |
x |
||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
|
x→0 |
|
|
¥ |
x→0 |
x→0 |
|
0 |
|
|
|||||||
|
(−2sin 2 x)' |
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
− 2 sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= lim |
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x' |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→0 |
0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти предел lim (ctgx)sin x .
x→0
Решение. В данном случае имеем неопределенность вида [∞ 0 ].
Прологарифмируем заданную функцию: y = (ctgx)sin x
ln y = ln(ctgx)sin x = sin x × ln ctgx
Далее рассмотрим предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim ln y = lim (sin x × ln ctgx) = [0 × ¥] = lim |
ln ctgx |
= |
¥ |
|
= lim |
(ln ctgx)' |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
¥ |
|
x→0 ( 1 |
sin x |
)' |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
ctgx |
sin 2 x |
= lim |
1 |
|
|
= lim |
|
sin x |
= 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
-1 |
|
|
|
ctgx × cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
× cos x |
x→0 |
x→0 cos 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, lim ln y = 0 , то есть |
|
|
= 0 , тогда lim y |
= lim (ctgx)sin x = 1 . |
|
|||||||||||||||||||||
ln lim y |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
10
Применение правила Лопиталя при вычислении предела часто приводит к громоздким выражениям. В этом случае целесообразно представить предел в виде произведения нескольких пределов.
|
tgx − |
x |
|
|
|
|
|
||
Пример 5. Найти предел lim |
cos x |
|
. |
|
|
||||
e x |
2 |
− e− x |
2 |
|
|
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. В данном случае имеем неопределенность вида |
0 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
tgx - |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
sin x |
- |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x - x |
|
|
|||||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
= lim |
|
cos x |
|
= lim |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
− x2 |
|
|
|
− x2 |
|
2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x2 |
2 x2 |
|
|||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
e - e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
e × (e |
-1) |
|
|
x→0 |
|
cos x × e × (e |
-1) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
× lim |
sin x - x |
= 1 |
× lim |
sin x − x |
= |
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
cos x × e |
− x2 |
|
|
|
e |
2 x2 |
-1 |
|
e |
2 x2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= lim |
(sin x - x)' |
= lim |
cos x -1 |
= lim |
|
1 |
|
|
× lim |
cos x -1 |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(e |
2 x2 |
- 1)' |
|
e |
2 x2 |
× 4x |
|
4e |
2 x2 |
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
cos x -1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(cos x - 1)' |
= 1 |
|
|
|
|
- sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
4 |
× lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
× lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× lim |
= 0 . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x' |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x→0 |
1 |
|
|
|
|
Задание №2
Вычислить предел, используя правило Лопиталя.
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ln(cos2x ) |
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
б) lim |
|
|||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ln(cos5x ) |
||||||||
|
а) lim |
|
|
arccosx x |
|
x→0 |
|
|||||
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
а) lim |
(1 - x) × tg |
πx |
|
б) lim |
ctg(x -1) |
|
|||||
2 |
|
|
ln(1- x) |
|||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× ln(x2 - 5x + 6) |
|
|
|
|
|
|
1− x + lnx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
а) |
lim |
5 |
|
|
|
x - 3 |
б) lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→3+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 1- 2x - x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
- |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ex - e− x - 2x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - sinx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1 |
ln x |
|
|
|
x -1 |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
- |
1 |
|
|
|
|
sinx − xcosx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
sin x |
|
|
|
|
x |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
- |
|
|
1 |
|
|
|
|
x − arctgx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1 |
x -1 |
|
|
|
|
ln x |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
а) lim |
(1 - x )×ln(1 - x) |
б) |
lim |
|
|
etgx -1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 tgx - x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π − arctgx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x → |
π |
|
|
|
|
|
|
|
x - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ln |
|
x + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex − esinx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9 |
а) |
lim |
|
|
|
|
− ctgx |
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10 |
а) lim (π − 2x)cos x |
б) |
lim |
|
|
|
1 − cos x 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2sin x 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) lim lnx ×ln(x -1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
б) lim |
|
|
1+ xsinx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
lim (tgx )tg 2x |
б) |
lim |
|
|
ln(2 - x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x → π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2−0 |
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) lim x ×(ln(2+ x)- ln(x +1)) |
б) |
lim |
1 - sinx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
tg |
2 |
2x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
б) |
lim |
|
|
|
1 - cos7x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
14 |
а) |
lim |
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xsin7x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x − e − x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
15 |
а) |
lim |
sin |
|
|
|
|
|
+ cos |
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x→0 ln(e − x )+ x − 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - cos2x + tg 2 x |
||||||||||||||||||||||
|
|
lim x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
а) |
4 + ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x × sinx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
17 |
а) |
lim |
(1 − e x )x |
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x →+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x( 1+ x − 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
18 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
1 − cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||||||||||||||||||
|
а) |
lim (π − 2x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln tg |
|
|
|
+ x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x → 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ xsin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
20 |
а) |
lim |
ctgx − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x 2 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3x − 3xe x + 3x 2 |
||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
2 − |
|
|
tg 4 |
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx − sin x − 6 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
xπ− 2arctgx |
|
|
|
|
б) |
|
1+ 5x - e5x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) lim (cos5x2 ) |
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
23 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tgx - sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(e |
+ 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
24 |
|
|
|
3x |
+ 2 |
lnx |
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
1 − 2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
25 |
а) lim (1+ x )lnx |
|
|
|
|
б) lim |
x(ex +1)- 2(ex -1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
|
|
tgx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ×ctgx -1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
26 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) |
lim |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) lim (1+ 3tg2 x)ctg2 x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
27 |
б) |
lim |
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2arctgx |
2 |
− π |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln(e |
3 |
|
|
|
|
x |
) |
|
|
||||||
28 |
а) lim |
( |
|
|
|
x ) |
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
- e |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(3 - x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
29 |
а) |
lim |
(ex + x) |
|
|
|
б) lim |
1 − |
cos3x |
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
ex2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnsin |
πx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
30 |
а) lim |
x ln(e |
x |
-1) |
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin 2 (x -1) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
Применение производной к исследованию функций и
построению их графиков
Производная – мощный инструмент для исследования числовых функций. С помощью производных первого и второго порядка изучаются общие свойства функций. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить ясное представление о характере функции и построить ее график.
1) Точки экстремума и участки монотонности функции
Функция y = f (x) |
называется возрастающей |
(убывающей) на |
|
интервале (a; b), если для любых точек |
x1 , x2 (a;b) |
таких, что x1 < x2 , |
|
имеет место неравенство: |
f (x1 ) < f (x2 ) |
( f (x1 ) > f (x2 )). |
14
Теорема. |
Если функция y = f (x) дифференцируема |
на |
интервале |
||||
(a; b) и |
для |
любого x (a;b): |
′ |
( f |
′ |
то |
функция |
f (x) > 0 |
(x) < 0), |
||||||
y = f (x) возрастает (убывает) на интервале (a; b). |
|
|
|
||||
Точка |
x0 |
называется точкой |
максимума |
(минимума) |
функции |
y= f (x), если:
1)функция y = f (x) определена в некоторой ε - окрестности точки x0 ;
2)для любого х ¹ x0 из ε - окрестности точки x0 справедливо
неравенство: f (x) < f (x0 ) ( f (x) > f (x0 )) (см. рис. 1 и 2).
f (x0 )
f (x)
x −ε x |
x 0 |
x +ε |
x |
0 |
0 |
0 |
|
|
т. max |
|
|
Рис. 1
y
f (x) f (x0 )
x0 −ε 0 |
x0 |
x x0 +ε |
x |
|
т. min |
|
|
Рис.2
15
|
|
Точки максимума и минимума функции называются точками |
|||||||||||||||||||||||||||
экстремума функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Теорема. |
(Необходимое условие |
|
экстремума). |
Если |
|
x0 |
– |
точка |
|||||||||||||||||||
экстремума функции |
y = f (x), |
то |
в |
этой точке либо |
f |
′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
(x0 ) = 0 , либо |
||||||||||||||||||||||||||||
производная не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Точки, |
в |
которых |
производная |
равна |
нулю |
либо |
не |
существует, |
|||||||||||||||||||
называются критическими. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Теорема. (Достаточные условия экстремума). Если непрерывная |
|||||||||||||||||||||||||||
функция |
|
y = f (x) |
дифференцируема слева и справа от критической точки |
||||||||||||||||||||||||||
x0 , |
и при этом ее первая производная меняет знак |
с минуса |
на плюс |
||||||||||||||||||||||||||
(с плюса на минус) при переходе через точку |
x0 , то |
x0 |
|
– точка минимума |
|||||||||||||||||||||||||
(максимума) функции y = f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Теорема. |
(Достаточные условия экстремума). |
|
Если |
в |
точке x0 |
||||||||||||||||||||||
первая производная функции y = f (x) равна нулю ( f '(x0 ) = 0 ), |
а вторая |
||||||||||||||||||||||||||||
производная в точке x0 |
существует и отлична от нуля ( |
f ''(x0 ) ¹ 0 ), |
то при |
||||||||||||||||||||||||||
f ''(x0 ) < 0 |
в точке |
|
|
x функция имеет максимум, а при |
f '(x |
0 |
) |
> 0 |
функция |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Пример 1. Найти интервалы монотонности и точки экстремума |
|||||||||||||||||||||||||||
функции y = |
|
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение. |
Областью определения |
D данной функции |
y |
|
является вся |
||||||||||||||||||||||
числовая ось R , кроме точки x = 1, то есть D = R \ {1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Находим первую производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
′ |
|
|
(x |
2 |
′ |
(x |
-1) - x |
2 |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y¢ |
|
|
|
|
= |
|
|
) × |
|
× (x -1) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= x - |
1 |
|
|
|
|
|
(x -1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x × (x -1)- x2 ×1 |
|
2x2 - 2x - x2 |
|
x2 - 2x |
|
||||||
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
. |
|
||
(x -1)2 |
(x -1)2 |
|
(x -1)2 |
|
||||||||
|
Используя необходимые условия экстремума, находим критические |
|||||||||||
точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 0 x2 |
− 2x = 0 |
или x(x − 2) = 0 , откуда x1 |
= 0 или x2 = 2 . |
|||||||||
y′ не существует Û (x -1)2 |
= 0 , откуда x3 = 1. |
|
||||||||||
|
Используем достаточные условия экстремума. Наносим три |
|||||||||||
критические |
точки |
x1 = 0 ; |
x2 |
= 2 ; |
|
x3 = 1 на |
область определения D |
|||||
функции y . |
Они разбивают область |
D на четыре интервала. Определяем |
знак функции y′ в каждом интервале.
y′ |
– |
– |
+ |
+ |
y |
0 |
1 |
2 |
x |
|
Так как x1 = 0 D и при переходе через эту точку y′ меняет знак плюс на минус, то x1 = 0 – точка максимума функции y .
Так как x2 = 2 D и при переходе через эту точку y′ меняет знак минус на плюс, то x2 = 2 – точка минимума функции y .
Так как при любом x (− ∞;0) или x (2;+∞) y′ > 0 , то в интервалах
(− ∞;0) и (2;+∞) функция y монотонно возрастает.
Так как при любом x (0;1) или x (1; 2) y′ < 0 , то в интервалах
(0;1) и (1; 2) функция y монотонно убывает.
17
Пример 2. Найти интервалы монотонности и точки экстремума
функции y = (х -1) × 3 х2 .
Решение. Областью определения D данной функции y является вся
числовая ось R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Находим первую производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y¢ = ((х -1) × 3 |
|
)′ = 1× 3 |
|
|
|
+ (х -1) × |
2 |
|
|
|
= |
3х + 2х |
- 2 |
= |
5х - 2 |
|
|||||
х2 |
х2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 × 3 х |
|
3 × 3 х |
|
|
3 × 3 х |
|||||||||
Находим критические точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y ′ = 0 5 x − 2 = 0 , откуда x1 = 0,4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y′ не существует Û 3 |
|
= 0 , откуда x2 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Наносим критические точки |
x1 = 0,4 ; x2 = 0 |
на область определения |
|||||||||||||||||||
D функции y . Они разбивают область |
D на три интервала. Определяем |
||||||||||||||||||||
знак функции y′ в каждом интервале. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′
y
+ |
– |
+ |
|
0 |
0,4 |
x
Так как x1 = 0 D и при переходе через эту точку y′ меняет знак плюс на минус, то x1 = 0 – точка максимума функции y .
Так как x2 = 0,4 Î D и при переходе через эту точку y′ меняет знак
минус на плюс, то x2 = 0,4 – точка минимума функции y .
Так как при любом x (− ∞;0) или x Î(0,4;+¥) имеет место y′ > 0 , то в интервалах (− ∞;0) и (0,4;+∞) функция y монотонно возрастает.
Так как при любом x Î (0; 0,4) выполняется y′ < 0 , то в интервале
(0; 0,4) функция y монотонно убывает.
18
2) Точки перегиба и участки выпуклости графика функции
График дифференцируемой на (a; b) функции y = f (x) называется
выпуклым вверх в интервале (a; b), если он расположен ниже касательной,
проведенной в любой точке x этого интервала (см. рис. 3).
y
a |
x 0 |
b |
x |
|
|
|
Рис. 3 |
График дифференцируемой на |
(a; b) |
функции y = f (x) называется |
выпуклым вниз в интервале (a; b), если он расположен выше касательной,
проведенной в любой точке x этого интервала (cм. рис. 4).
y
a 0 |
x |
b |
x |
Рис. 4
Теорема. (Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика
функции) Если f ′′(x) < 0 в интервале (a; b), то график функции y = f (x)
является выпуклым вверх в этом интервале; если же f ′′(x) > 0 , то в
интервале (a; b) график функции y = f (x) – выпуклый вниз.
19