5609

10

Для построения зависимостей в двумерном случае рассмотрим сначала изотропный материал. На рис. 3.4 (а) изображено, как прикладываемое к образцу напряжение σx в направление оси x вызывает деформацию образца в обоих направлениях x и y

Рис. 3.4

Вдоль оси x деформация равна по закону Гука σx/E. Образец сжимается и в направлении оси у, деформация в этом направлении определяется на основе коэффициента Пуассона µσx/E.

Аналогично наличие напряжения σy вызывает деформации в направлении осей x и y, равные соответственно µσy/E и σy/E (как показано на рис. 3.4 (б)).

От совместного действия сил по оси Х и Y деформации определим на основе суперпозиции деформаций (без учета температурных деформаций):

ε x = σ x − μσ y ,

E E

ε y = σ y − μσ x .

E E

На значения относительных удлинений вдоль осей x и y не влияет наличие деформации сдвига, изображенной на рис. 12 (в), которая связана со сдвиговым напряжением соотношением

(σ = [σ xσ yτ xy ]T , ε = [ε xε yτ xy ]T ) получим:

Матрица [D] называется матрицей упругости, а [D]-1 – матрицей податливости материала.

Обобщая для трехмерного случая, можно подобным образом вывести следующие шесть уравнений

11

,

Далее можно непосредственно обобщить вышеприведенные соотношения на случай наличия начальных деформаций

ε init = [ε init ε initτ init ]T x y xy ,

что приводит к соотношению

ε = [D]−1σ + ε init (3.22)

Начальные деформации представляют наибольший интерес в задачах термоупругости, где в плоской задаче:

ε xinit = ε inity = αT , γ xyinit = 0,

для изотропного тела с коэффициентом линейного расширения α и отклонением температуры от температуры напряженного состояния на T.

Наиболее часто в методе конечных элементов требуется выразить напряжения че-

рез деформации. Поэтому, обращая уравнение 3.22, получим

σ = [D]ε − [D]εinit. (3.23)

В том случае, когда мы имеем ортотропные материалы, имеющие три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, или полностью анизотропные материалы, то соотношение 3.23 остается справедливым, но переопределяются коэффициенты матрицы упругости [D].

12

Важным свойством всех матриц упругости и податливости является их симметричность (см. соотношения 3.20, 3.21).

Следует отметить, что метод конечных элементов особенно хорош при решении задач со сложными свойствами материала, включая слоистые и другие композитные материалы.

Здесь приведен вывод трех уравнений равновесия, шести геометрических уравнений и шести физических уравнений. Всего 15 уравнений. Как говорилось ранее, при решении задачи напряженно-деформированного состояния мы имеем 15 неизвестных (три перемещения, шесть компонент тензора деформаций, шесть компонент тензора напряжений). Таким образом, использование системы из 15-ти приведенных уравнений достаточно для решения поставленной задачи.

РАЗДЕЛ 2, 3 ГУСТОТА РАЗБИВКИ КЭМ. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

Для стержневых КЭ местная система координат имеет следующую ориентацию: ось Χ1направлена от начала стержня (первый узел) к концу (второй узел). ОсиΥ1и Ζ1это главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня и вместе с осьюΧ1образуют правую тройку. При этом осьΖ1направлена всегда в верхнее полупространство, а ось Υ1параллельна плоскостиΧΟΥ.

Однако для построения местной системы координат для стержня в общем случае этого недостаточно. Если одна из осей сечения стержня в реальной конструкции не параллельна плоскости Χ0Υ, то необходимо задавать угол чистого вращения - угол поворота главных осей инерции относительно положения, принятого по умолчанию.

Для всех плоскостных КЭ ось Χ1направлена от первого узла ко второму. Для прямоугольных элементов плиты и оболочки ось Υ1направлена от первого узла к третьему. Для плосконапряженных элементов от первого узла к третьему направлена ось Ζ1. Для треугольных элементов плиты и оболочки осьΥ1ортогональна осиΧ1и расположена в плоскости элемента. Для плосконапряженных треугольных элементов осьΖ1ортогональна осиΧ1и расположена в плоскости элемента.

Для объёмных конечных элементов ось Χ1направлена от первого узла ко второму,

осьΥ1располагается в плоскости нижней грани и ортогональна осиΧ1. ОсиΧ1,Υ1,Ζ1образуют правую тройку.

Каждый узел схемы имеет свою локальную систему координат - Χ2,Υ2,Ζ2, которая является правой декартовой. По умолчанию локальная система координат узла совпадает с глобальной. Локальная система координат узла позволяет задавать нагрузки и заданные смещения в направлении, не совпадающем с глобальными осями.

Каждый узел схемы в общем случае имеет 6 степеней свободы: три линейных перемещения вдоль осей ΧилиΧ2;ΥилиΥ2;ΖилиΖ2 и три поворота вокругΧилиΧ2,ΥилиΥ2,ΖилиΖ2.

Для расчетных схем, в которых количество степеней свободы в узле заведомо меньше 6 (плоские фермы, плоские рамы и т.п.), применяется так называемый признак схемы. В ПК SCAD задействованы пять признаков схемы:

Признак 1– схемы, располагаемые в плоскостиXOZ; каждый узел имеет 2 степени свободы - линейные перемещения вдоль осейX,ZилиX2,Z2. В этом признаке схемы рассчитываются плоские фермы и балки-стенки.

Признак 2– схемы, располагаемые в плоскостиXOZ; каждый узел имеет 3 степени свободы - линейные перемещения вдоль осейX,ZилиX2,Z2 и поворот вокруг осиYилиY2. В этом признаке схемы рассчитываются плоские рамы и допускается включение элементов ферм и балок-стенок.

Признак 3– схемы, располагаемые в плоскостиXOY; каждый узел имеет 3 степени свободы - линейное перемещение вдоль оси,ZилиZ2 и повороты вокруг

13

осейX,YилиX2,Y2. В этом признаке рассчитываются балочные ростверки и плиты; допускается учет упругого основания.

Признак 4– пространственные схемы, каждый узел которых имеет 3 степени свободы - линейные перемещения вдоль осейX,Y,ZилиX2,Y2,Z2. В этом признаке рассчитываются пространственные фермы и объемные тела.

Признак 5– пространственные схемы общего вида с 6 степенями свободы в узле. В этом признаке схемы рассчитываются пространственные каркасы, оболочки и допускается включение объемных тел, учет упругого основания и т.п.

Граничные условия в расчетной схеме могут быть заданы непосредственно на узел, а также смоделированы при помощи связей конечной жёсткости. Последнее особенно эффективно, если в налагаемых связях необходимо определить реакции. При этом следует иметь в виду, что введение связей, жесткости которых значительно превосходят жесткость элементов системы, может снизить точность счета. Если же жесткость вводимых связей невелика, могут быть некоторые искажения истинного решения для внешне статически определимых систем. Рекомендуется, чтобы величина жесткости вводимых связей была на порядок - два больше самой большой погонной жесткостной характеристики из всех элементов системы. Но в каждом отдельном случае нужна индивидуальная оценка.

Статистические воздействия задаются в виде сосредоточенных сил и моментов как в узлы схемы (узловая нагрузка) по направлениям осей глобальной и локальной систем координат, так и на элементы (местная нагрузка) по направлениям местной или глобальной систем координат.

Динамические воздействия задаются в виде узловых нагрузок, действующих вдоль осей глобальной или локальной систем координат. Веса масс сооружения задаются как собственный вес конструкций, оборудования и т. п.; при этом допускается использование как местных, так и узловых нагрузок.

Действие одной нагрузки или группы нагрузок может быть объявлено как отдельное загружение - статическое или динамическое. При наличии нескольких загружений может быть произведен выбор наиболее опасных их сочетаний, которые формируют так называемые расчетные сочетания усилий (РСУ), необходимые при конструировании элементов схемы.

Реализована возможность формирования весов масс для динамического воздействия непосредственно из какого-либо статического загружения.

Представляя расчетную схему сооружения в виде конечно-элементной модели, пользователь всегда стремится достичь компромисса между двумя противоречивыми желаниями: получить как можно более точное решение задачи и обусловить приемлемое время счета. Желательно также получить обозримый объем результатов. Для достижения такого компромисса необходимо уметь оценивать оба указанных фактора. Так, время решения задачи легко прогнозируется по количеству узлов, элементов, загружений, а также быстродействию компьютера. ПК ЛИРА автоматически дает прогноз времени решения задачи для всех этапов расчета. Однако оценка точности решения задачи является вопросом очень сложным, так как зависит от многих слабо формулируемых факторов:

∙густота сетки – с одной стороны, сгущение сетки повышает точность, с другой стороны, неограниченное сгущение может повлечь слабую обусловленность матрицы канонических уравнений и потерю точности;

∙физико-механические свойства расчетной модели – расчетная схема может быть близка к геометрически изменяемой, содержать элементы с сильно различающимися жесткостями, что также влечет потерю точности;

∙геометрия конечных элементов – если стороны элементов сильно различаются по длине, то это приведет к плохой обусловленности матрицы накопленных уравнений и также к потере точности;

14

∙ свойство конечных элементов – использование высокоточных элементов часто приводит к более точному решению, чем использование простых элементов на значительно более густой сетке.

Назначение сетки надо проводить на основе многих факторов. Так, например, густоту сетки предпочтительно увеличивать только в местах предполагаемого большого градиента напряжений (входящие узлы, места сосредоточенных нагрузок и т.п.). Кроме того, знание свойств конечных элементов также часто помогает рационально построить конечную модель. Так, например, на рис 1.1.а конечно-элементная модель более рациональна, чем на рис 1.1.б. Дело в том, что при моделировании перемычки, работа которой близка к балочной схеме, более предпочтительно производить ее разбивку по длине, т.к. прямоугольный конечный элемент балки-стенки имеет полилинейный закон аппроксимации функций, что автоматически моделирует закон плоских сечений, даже если по высоте балки расположен только один элемент.

Рис.1.1

Особенно тщательно необходимо подходить к построению конечно-элементной модели в том случае, если схема рассчитываемого сооружения обладает свойствами, провоцирующими неустойчивый счет. Это относится к пологим мембранам, к конструкциям с гибкими включениями, с элементами, имеющими малые размеры, но большую жесткость.

Рекомендуется стремиться к сокращению размерности решаемой задачи. В какойто степени может помочь применение суперэлементов. В этом случае пользователь, объявляя суперэлементом небольшой фрагмент, включающий неблагополучные элементы, может несколько сгладить их негативное влияние.

Геометрия конечных элементов также оказывает существенное влияние на точность решения задачи. Рекомендуется стремиться к тому, чтобы элементы были близки к равносторонним.

Приведенные выше рассуждения целесообразно проводить при решении сложных исследовательских задач. Для достаточно простых задач, когда количество узлов не превышает нескольких тысяч, методы, реализованные в ПК ЛИРА, позволяют получать вполне приемлемую точность на произвольных сетках, в том числе и полученных на основе автоматической разбивки.

Иногда приходится решать большие задачи, в которых густая сетка недопустима из-за ограниченных ресурсов компьютера, а укрупненная разбивка не дает достаточно полной картины напряженно-деформированного состояния конструкции.

В этом случае предлагается совместить укрупненную и густую сетку.

Так, для многоэтажного здания (рис. 1.2а) самой важной информацией является картина напряженно-деформированного состояния первых трех этажей. Здесь можно выполнить густую разбивку только первых трех этажей. Разбивка остальных этажей может быть очень грубой. Результаты решения по третьему этажу можно игнорировать, так как верхние 2-3 слоя конечных элементов в ней будут нести искаженную информацию. Грубая информация для вышележащих этажей игнорируется или может служить лишь оценочной проверкой правильности решения всей системы.

15

а) б)

Рис. 1.2

Если требуется получить более точное решение и для вышележащих этажей, то можно произвести очередную разбивку на конечные элементы, например, по рис. 1.2.б.

Решая задачу несколько раз, можно использовать расчет укрупненной схемы с последующей фрагментацией ее частей.

Фрагментация заключается в последовательном вырезании, уменьшении и детальном расчете некой области конструкции. Такой подход применяется при исследовании областей концентрации напряжений - вокруг отверстий, в местах резкого изменения сечений элементов и т.д. Этот подход применим также при решении больших задач. Первоначально рассчитывается схема из укрупненных конечных элементов. Затем вырезаются отдельные фрагменты этой схемы и дробятся более мелко. Расчет фрагмента производится на воздействия, полученные в результате расчета крупной схемы.

На рис.1.3 приведена часть рассчитанной конструкции. Для простейшего случая, когда фрагмент связан с остальной конструкцией лишь в точках, указанных на рис.1.3.а, вполне оправдано сгущение сетки (эту сетку можно сгустить еще вдвое, вчетверо и т.д.). Если связь непрерывна по всему внешнему контуру, то при разбивке (рис.1.3.б) результаты решения для двух внешних рядов конечных элементов следует принимать как оценочные (либо подбирать податливости связей в промежуточных узлах, расположенных по контуру). При разбивке по рис.1.3.в результаты будут оценочными лишь для одного внешнего ряда (состоящего из треугольных элементов). На рис.1.3.г показан один из способов дальнейшего сгущения сетки конечных элементов.

16

Рис. 1.3

Воздействия на узлы фрагмента от отброшенной части конструкции нужно задавать в виде заданных перемещений, полученных в результате расчета по укрупненной схеме.

Приемы фрагментации несколько перекликаются с применением суперэлементов, однако, и те и другие имеют самостоятельное значение.

Замена пространственной схемы плоской системой

Этот прием можно продемонстрировать на примере расчета пространственного каркасного здания. Если центр масс и центр жесткости этажа совпадают, то отсутствует эффект закручивания здания от горизонтальных нагрузок, и расчетную схему такого сооружения можно представить в виде ряда плоских рам.

На рис.1.4.а изображен схематичный план конструкции этажа каркасного здания до оси симметрии. Жирными линиями наведены поперечные диафрагмы жесткости. Нужно составить расчетную схему для расчета каркаса здания с учетом сейсмических воздействий в поперечном направлении.

Здесь может быть применен такой прием: выставить поперечные рамы вместе с диафрагмами жесткости в одну линию (рис.1.4.б), объединить горизонтальные перемещения всех узлов этажа (узлы с 11 по 20, с 21 по 30, с 31 по 40). Здесь перемещения узлов 1- 10 объединять не нужно, так как в защемлении они отсутствуют. Диафрагмы жесткости моделируются либо стержнями (как это показано на рис.1.4.б), либо разбиваются на конечные элементы, например, типа балки-стенки. При объединении перемещений инерционные массы помещаются в любой узел перекрытия этажа. Величина массы равна половине величины инерционной массы всего этажа. На рис.1.4.б массы сосредоточены в узлах диафрагмы.

17

Рис.1.4

Замена диафрагм жесткости стержневой системой

Если диафрагма жесткости имеет отношение H/a>6, то ее целесообразно заменить стержнем эквивалентной жесткости, а для включения этого стержня использовать абсолютно жесткие вставки. На рис 1.5 показано применение этого приема для фрагмента рамно-связевой системы в случае, если диафрагма не имеет проемов, а на рис. 1.6 - показан этот же прием, если диафрагма имеет проемы.

Рис. 1.5