5578

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Прокопенко Н.Ю.

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям, практическим занятиям

(включая рекомендации по организации самостоятельной работы),

по выполнению контрольной работы

для обучающихся по дисциплине «Дискретная математика» по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика направленность (профиль) Прикладная информатика в экономике

Нижний Новгород

2022

УДК 004.9

Прокопенко Н.Ю. / Дискретная математика: учебно-методическое пособие / Н.Ю. Прокопенко; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет – Нижний Новгород: ННГАСУ, 2022. – 15 с.– Текст: электронный.

В настоящем учебно-методическом пособии по дисциплине «Дискретная математика» даются конкретные рекомендации учащимся для освоения как основного, так и дополнительного материала дисциплины и тем самым способствующие достижению целей, обозначенных в учебной программе дисциплины. Цель учебно-методического пособия — это помощь в усвоении лекций, в подготовке к практическим занятиям, а также в написании контрольной работы.

Учебно-методическое пособие предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине «Дискретная математика» по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика, направленность (профиль) Прикладная информатика в экономике.

© Н.Ю. Прокопенко, 2022

© ННГАСУ, 2022

2

1. Общие положения

. 1.1 Цели изучения дисциплины и результаты обучения

Основной целью освоения учебной дисциплины «Дискретная математика» является дости-

жение результатов обучения, предусмотренных установленным в ОПОП индикаторами достиже-

ния компетенций.

Целями освоения дисциплины являются знакомство с основными разделами теории мно-

жеств, математической логики, теории графов, комбинаторного анализа, развитие логического и алгоритмического мышления, овладение основными методами постановки математических задач,

которые необходимы для создания и эксплуатации сложных автоматизированных систем обработ-

ки информации и их компонент в области экономики, математического и программного обеспече-

ния вычислительной техники, сетей передачи данных и многих других сферах деятельности чело-

века.

В процессе освоения дисциплины студент должен Знать:

основные понятия, методы, алгоритмы, способы решения задач учебной дисциплины «Дис-

кретная математика»;

описание основных комбинаторных конфигураций; основные свойства комбинаторных объектов и чисел, методы их изучения (теоретико-множественный, алгебраический, метод рекуррентных соотношений);

основные понятия и определения теории графов, способы представления графов, типы графов и алгоритмы обхода графов;

методы математической логики, основу которых составляют булева алгебра и теория пре-

дикатов.

Уметь:

перевести содержательную задачу на теоретико-множественный язык, найти подходящий метод решения комбинаторной задачи;

применять основные эффективные алгоритмы решения задач теории графов (алгоритмы нахождения кратчайшего пути, эйлерова и гамильтонова цикла);

упрощать логические формулы, реализующие булевы функции, строить нормальные фор-

мы и соответствующие им релейно-контактные схемы, знать примеры полных и замкнутых

систем булевых функций.

Владеть:

техникой решения задач комбинаторного характера и навыками исследования теоретиче-

ских проблем комбинаторного анализа;

навыками абстрактных рассуждений, навыками решения логических задач;

навыками решения задач теории графов, связанных с построением графов и подграфов, по-

иском кратчайших маршрутов, циклов и цепей в графах специального вида и др.

. 1.2 Содержание дисциплины

Материал дисциплины сгруппирован по следующим разделам:

1. Теория множеств и отношений.

Понятие множества и подмножества. Операции над множествами и их свойства. Бинарные отношения и их свойства. Понятие функции. Свойства функций. Отношение порядка, эквивалент-

ности, предпочтения, ранжирования. 2. Комбинаторный анализ.

Правила комбинаторики и основные комбинаторные конфигурации (перестановки, разме-

щения, сочетания с повторением и без повторения). Алгебраический метод изучения комбинатор-

ных объектов и чисел. Комбинаторные тождества. Бином Ньютона и полиномиальная формула Свойства биномиальных коэффициентов. Теоретико-множественный метод изучения комбинатор-

ных объектов и чисел. Метод включений и исключений. 3. Теория графов.

Основные понятия теории графов. Способы задания графов. Операции над графами. Типы графов. Связность. Компоненты графа. Маршруты, цепи, циклы. Метрические характеристики графа. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Кратчайшие пути и цепи. Деревья и их свойства. Алго-

ритмы на графах. Двухполюсные сети и потоки в сетях. 4. Алгебра логики.

Высказывания и операции над ними. Формулы алгебры высказываний, таблицы истинно-

сти, типы формул (выполнимые, опровержимые, тавтологии, противоречия). Основные эквива-

лентности. Применение алгебры высказываний к решению логических задач: упрощение систем рассуждений, проверка правильности рассуждений. Логическое следствие и его свойства. Прило-

жение алгебры высказываний к релейно-контактным схемам (РКС). 5. Булевы функции.

Булевы функции. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. По-

лином Жегалкина. Полнота и замкнутость систем булевых функций. Теорема Поста.

5

. 1.3 Вспомогательная литература для изучения дисциплины

Для освоения дисциплины обучающийся может использовать печатные и электронные из-

дания и методические материалы, имеющиеся в библиотеке ННГАСУ и/или размещённые в элек-

тронных библиотечных системах (ЭБС), предоставляющих право использования изданий на осно-

вании договорных отношений с университетом, а также иные общедоступные ресурсы сети «Ин-

тернет».

Печатные и электронные издания

1. Алексеев В. Е.. Графы и алгоритмы : Учебное пособие. / Алексеев В. Е., Таланов В. А. ;

В. Е. Алексеев, В. А. Таланов. – Москва, Саратов : Интернет-Университет Информационных Тех-

нологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2020. – 153 с. – URL: URL: http://www.iprbookshop.ru/89434.html. – ISBN ISBN 978-5-4497-0366-8.

2. Дехтярь, М. И.. Дискретная математика : учебное пособие. / Дехтярь, М. И. ; М. И. Дех-

тярь. – Москва : Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Ме-

диа, 2020. – 181 с. – URL: URL: http://www.iprbookshop.ru/94851.html. – ISBN ISBN 978-5-4497- 0549-5.

3. Дехтярь, М. И.. Сборник задач по множествам, булевым функциям и математической ло-

гике : учебное пособие. / Дехтярь, М. И., Дудаков, С. М., Карлов, Б. Н. ; М. И. Дехтярь, С. М.

Дудаков, Б. Н. Карлов. – Тверь : Тверской государственный университет, 2020. – 128 с. – URL: URL: http://www.iprbookshop.ru/111569.html. – ISBN ISBN 2227-8397.

4. Хоменко, Т. В.. Дискретная математика. Отдельные методы теории множеств и матема-

тической логики. Лабораторный практикум / Хоменко, Т. В. ; Т. В. Хоменко. – Астрахань : Астра-

ханский государственный архитектурно-строительный университет, ЭБС АСВ, 2020. – 111 с. –

URL: URL: http://www.iprbookshop.ru/100830.html. – ISBN ISBN 978-5-93026-104-2.

5. Яковлев, В. П.. Практикум по дискретной математике. Ч.II : учебное пособие. / Яковлев,

В. П., Леонова, Н. Л. ; В. П. Яковлев, Н. Л. Леонова. – Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна, 2020. – 39 с. – URL: URL: https://www.iprbookshop.ru/118409.html. – ISBN ISBN 2227-8397.

Методические материалы по дисциплине

1.Прокопенко Наталья Юрьевна. Дискретная математика : учеб.-метод. пособие по подгот.

клекциям, практ. занятиям (включая рекомендации по орг. самостоят. работы) для обучающихся по дисциплине "Дискрет. математика по направлению подгот. 09.03.03 Приклад. информатика,

профиль Приклад. информатика в экономике. / Прокопенко Наталья Юрьевна ; Нижегор. гос. ар-

хит.-строит. ун-т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2016. – 1 CD ROM. – URL: URL:

6

http://catalog.nngasu.ru/MarcWeb2/.

2.Прокопенко Наталья Юрьевна. Дискретная математика : учеб.-метод. пособие по подгот.

клекциям, практ. занятиям (включая рекомендации по организации самостоят. работы) для обу-

чающихся по дисциплине "Дискретная математика" по направлению подгот. 09.03.04 Программ-

ная инженерия, профиль Разработка программно-информ. систем. / Прокопенко Наталья Юрьевна

; Нижегор. гос. архит.-строит. ун-т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2018. – 1 CD ROM. – URL: URL: http://catalog.nngasu.ru/MarcWeb2/.

2. Методические указания по подготовке к лекциям

. 2.1 Общие рекомендации по работе на лекциях

Лекция является главным звеном дидактического цикла обучения. Ее цель – формирование основы для последующего усвоения учебного материала. В ходе лекции преподаватель в устной форме, а также с помощью презентаций передает обучаемым знания по основным, фундаменталь-

ным вопросам изучаемой дисциплины.

Назначение лекции состоит в том, чтобы доходчиво изложить основные положения изуча-

емой дисциплины, ориентировать на наиболее важные вопросы учебной дисциплины и оказать помощь в овладении необходимых знаний и применения их на практике.

При подготовке к лекционным занятиям студенты должны ознакомиться с презентаций,

предлагаемой преподавателем, отметить непонятные термины и положения, подготовить вопросы с целью уточнения правильности понимания. Рекомендуется приходить на лекцию подготовлен-

ным, так как в этом случае лекция может быть проведена в интерактивном режиме, что способ-

ствует повышению эффективности лекционных занятий.

. 2.2 Общие рекомендации при работе с конспектом лекций

В ходе лекционных занятий необходимо вести конспектирование учебного материала. Кон-

спект помогает внимательно слушать, лучше запоминать в процессе осмысленного записывания,

обеспечивает наличие опорных материалов при подготовке к семинару, зачету, экзамену.

Полезно оставить в рабочих конспектах поля, на которых делать пометки из рекомендован-

ной литературы, дополняющие материал прослушанной лекции, а также подчеркивающие особую важность тех или иных теоретических положений.

В случае неясности по тем или иным вопросам необходимо задавать преподавателю уточ-

няющие вопросы. Следует ясно понимать, что отсутствие вопросов без обсуждения означает в большинстве случаев неусвоенность материала дисциплины.

7

. 2.3 Контрольные вопросы

1.Множества. Способы задания множеств. Равные множества. Свойства включения. Сравнимость множеств.

2.Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.

3.Подмножества. Разбиения. Булеан множеств и его мощность.

4.Прямое произведение и его свойства.

5.Бинарные отношения и их свойства.

6.Отображения (функции) и их свойства.

7.Отношение эквивалентности и отношение порядка. Примеры.

8.Основные комбинаторные правила: правило произведения и правило сложения.

9.Перестановки с повторениями и без повторений.

10.Размещения с повторениями и без повторений.

11.Сочетания с повторениями и без повторений.

12.Треугольник Паскаля и Бином Ньютона.

13.Свойства биномиальных коэффициентов.

14.Метод включения и исключения.

15.Полиномиальная формула. Полиномиальные коэффициенты.

16.Ориентированные и неориентированные графы, маршруты, цепи, циклы, пути и контуры графов.

17.Представления графов матрицей смежности, матрицей инцидентности, списком ребер.

18.Ориентированные графы и их виды. Связь с бинарными отношениями.

19.Подграфы. Операции над графами.

20.Метрические соотношения в графах.

21.Эйлеровы и полуэйлеровы графы. Критерий эйлеровости графа.

22.Гамильтоновы графы. Достаточные условия гамильтоновых графов.

23.Эйлеровы и гамильтоновы цепи, циклы, пути, контуры.

24.Деревья, лес. Свойства деревьев.

25.Обходы графов: поиск в ширину и поиск в глубину.

26.Построение остова минимального веса: алгоритмы Прима и Краскала.

27.Минимальные пути в нагруженных графах. Алгоритм Дейкстры.

28.Определение логических операций.

29.Формулы алгебры логики. Основные законы алгебры логики.

30.Логическое следствие и его свойства.

31.Способы доказательства правильности рассуждений.

8

32.Решение логических задач.

33.Двойственные формулы. Теорема двойственности.

34.Применение алгебры логики к релейно-контактным схемам. Упрощение РКС.

35.Булевы функции их количество.

36.Представление булевой функции в совершенной нормальной дизъюнктивной форме.

37.Представление булевой функции в совершенной нормальной конъюнктивной форме.

38.Представление булевой функции в виде полинома Жегалкина.

39.Замыкание множеств булевых функций. Основные классы булевых функций Т 0 , Т1 ,S, M, L,

их замкнутость.

40.Полнота систем булевых функций. Теорема Поста.

3. Методические указания по подготовке к практическим занятиям

. 3.1 Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям

В ходе подготовки к практическим занятиям необходимо изучать основную литературу, по-

знакомиться с дополнительной литературой. При этом необходимо учесть рекомендации препода-

вателя и требования учебной программы.

В соответствии с этими рекомендациями и подготовкой полезно дорабатывать свои конспек-

ты лекции, делая в нем соответствующие записи из литературы, рекомендованной преподавателем и предусмотренной учебной программой. Целесообразно также подготовить тезисы для возмож-

ных выступлений по всем учебным вопросам, выносимым на практическое занятие.

При подготовке к занятиям можно также подготовить краткие конспекты по вопросам темы.

Очень эффективным приемом является составление схем и презентаций.

Готовясь к докладу или реферативному сообщению, желательно обращаться за методической помощью к преподавателю. Составить план-конспект своего выступления. Продумать примеры с целью обеспечения тесной связи изучаемой теории с реальной жизнью. Своевременное и каче-

ственное выполнение самостоятельной работы базируется на соблюдении настоящих рекоменда-

ций и изучении рекомендованной литературы.

. 3.2 Примеры задач для практических занятий

1. Для заданных множеств А 1, 2, 4 , В 1, 2, 3, 5,6 , С 3, 4, 9 нужно проверить пра-

вильность следующих утверждений: a) А \ В А С

9