5541

= (0 - (- 1))× i - (- 2 - 0 )× j + (2 - 0 )× k = i + 2 j + 2k ;

Ответ: 1,5 кв. ед.

Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведение трех векторов a , b и c , составленное следующим образом: (a ´b)×c , то есть первые два вектора a и b умножаются векторно, а их

результат скалярно на третий вектор c . Такое произведение векторов называется

векторно-скалярным или смешанным и обозначается a b c , то есть

(a ´b)×c = abc.

Смешанное произведение трех векторов a , b и c представляет собой число,

равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (см. рис. 11), взятое со знаком «плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.

c

b

a

Рис. 11

Свойства смешанного произведения:

1)(a ´b)×c = (b ´c)× a = (c ´ a)×b ;

2)(a ´b)×c = a ×(b ´c);

3)a b c = -a c b ; a b c = -b a c , a b c = -c b a ;

4)Если a b c = 0 , то векторы a , b и c компланарны.

20

Смешанное произведение трех векторов a , b и c заданных своими координатами, то есть a = {a1 ; a2 ; a3 }, b = {b1 ; b2 ; b3 }, c = {c1 ; c2 ; c3 } вычисляется

по формуле:

Пример. Вычислить смешанное произведение векторов a = 2i − j , b = j − k ,

c = i + j + k .

Решение.

a = {2;−1;0}, b = {0;1;−1}, c = {1;1;1}. Тогда

Ответ: a b c = 5.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c (см. рис. 11) вычисляется по формуле:

Vnap. = a b c .

Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (см. рис. 12) вычисляется по формуле:

b

Рис. 12

21

22

§ 3. Прямая на плоскости

Под прямой понимают прямую линию. Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства, связывающего координаты точек прямой.

Уравнение прямой позволяет изучение геометрических свойств прямой заменить исследованием ее уравнения. Так, для того, чтобы установить лежит ли

3 ×1 - 2 +1 = 3 -1 = 2 ¹ 0 .

Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .

Общее уравнение прямой.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy

задана точка M 0 (x0 ; y0 ) и вектор N{A; B}. Требуется составить уравнение прямой

23

вектору N по условию, то и вектор M 0 M перпендикулярен вектору N , а значит

точку (x0 ; y0 ) и перпендикулярной вектору N{A; B}.

Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором нормали прямой. Вектор N{A; B} является вектором нормали прямой l .

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и

перпендикулярной вектору PQ , если P( 0;1) и Q(-1; 2).

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющимся вектором нормали

прямой l :

N = PQ = {−1− 0; 2 −1} = {−1;1}.

Подставляя в уравнение (3.1) координаты точки M 0 (1; 2), то есть x0 = 1, y0 = 2 и координаты вектора N = {−1;1}, то есть A = −1, B = 1, находим искомое

Исследуем уравнение (3.2):

1. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 уравнение (3.2) примет вид:

24

Ax + By = −C .

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и

отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).

y

l

b

2 M 0

Рис. 15

25

-2

Рис. 16

Уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:

26

равенство y − b = tgα = k . x

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и

характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:

l : y = kx + b ,

где b – пока неизвестная величина.

27

пучка прямых с центром в точке M 0 (x0 ; y0 ).

Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Oy , так как tg90 = +∞ .

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку пересечения прямых l1 : x - y + 2 = 0 и l2 : 2x + y - 5 = 0 и образующей с положительным направлением оси Ox угол 135 .

Решение. Координаты точки M 0 пересечения прямых l1 и l2 находим из системы уравнений этих прямых:

x − y + 2 = 0

2x + y − 5 = 0

Сложив эти уравнения в данной системе, получаем: 3x − 3 = 0 , откуда x = 1. Тогда y = x + 2 = 1 + 2 = 3.

Итак, координаты точки M 0 (1;3).

По условию α = 135 , значит k = tg135 = −1. Подставляя в уравнение (3.5) k = −1 и x0 = 1, y0 = 3 находим искомое уравнение прямой

l : y - 3 = -1× (x -1) или

l : y − 3 + x −1 = 0 или l : x + y − 4 = 0.

Ответ: x + y − 4 = 0 .

28

2. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C = 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax + By = 0.

Это уравнение прямой l , проходящей через начало координат – точку O( 0; 0) и

yl

−A M 0 B

Пример. Построить прямую l : 2x − 6 y = 0 .

Решение. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на

0 1 x

Рис. 19

3. При A = 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 уравнение (3.2) примет вид: By + C = 0 или

y = − C . Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Ox и проходящей

B

29