5523

y

2

y = x

3

4

1

0 1

-8

8

x

Рис. 39

III. Показательная функция

y = a x (a > 0, a ¹1), D = R , E : y > 0 .

y

y

y = a x (a > 0)

y = a x (0 < a < 1)

IV. Логарифмическая функция

(

)

D = {x

x > 0}

E = R

y = loga x a > 0, a ¹1 ,

,

y

y

(0 < a < 1)

y = loga

x (a > 1)

y = loga

x

1

0

1

x

0

x

Рис. 42

Рис. 43

π

+

множество всех действительных

в) y = tg x , D = R \

π n, n Z –

2

чисел R , за исключением точек

π + π n , n Ζ , E = R .

2

π

π

а) y = arcsin x , D = [−1;1], E = −

;

.

2

2

y

π

-1

0

1

x

-1

0

1

x

Рис. 49

−

π

π

в) y = arctg x , D = R , E =

;

2

2

0

x

0

x

Рис. 51

Предел числовой последовательности

Функция y = f (n), заданная на множестве

Ν всех натуральных чисел n

{xn } формулой своего общего члена xn .

1

1

1

1

1

Пример.

– числовая последовательность

,

,

,K,

,K , так

1 + n

n + 1

2

3

4

как xn =

1

– формула общего члена последовательности.

n + 1

При n = 1:

x

=

1

=

1

.

1

1 +1

2

При n = 2 : x2

=

1

=

1

.

2 +1

3

При n = 3 :

x

=

1

=

1

и т.д.

3 + 1

3

4

Пределом числовой последовательности {xn } называется конечное

действительное число

a ,

если для любого сколь угодно

малого числа ε > 0

существует такое натуральное число N , что для всех членов последовательности с

номерами n > N

выполняется неравенство

xn − a

< ε . В

краткой записи это

выглядит так:

ε > 0 N Ν n > N

xn − a

< ε

и обозначается: lim xn

= a .

n→∞

Определим ε –

окрестность точки a как множество всех

x , удовлетворяющих

x1

xN +1

xN +2 xn

x2

a − ε

a

a + ε

Пример. Доказать по определению, что lim

1

= 0 .

n→∞ n

1

− 0

< ε , когда

Решение. Возьмем любое сколь угодно малое ε > 0 . Имеем:

n

1

< ε

или n >

1

. Значит существует такой номер N , равный целой части числа

1

,

ε

ε

n

1

1

то есть такое целое число

N , что

N ≤

< N + 1, то есть

N =

,

начиная с

ε

ε

которого все последующие члены с номерами

N ,

N +1,

N + 2,

N + 3, ... будут

находиться в

ε –

окрестности точки

x = 0,

то есть в интервале (− ε ;ε ). (См.

1

1

рис.53). При ε = 0,2

N =

= 5,

при ε = 0,01 N =

= 100 .

0,2

0,01

1

1

N + 2

1

N + 3

N + 1

− ε

0

Рис. 53

ε

Замечание.

lim xn

= +¥

означает, что ε > 0

N Ν ,

n > N xn

> ε ;

n→∞

lim xn

= -¥

означает, что ε > 0

N Ν ,

n > N xn

< −ε .

n→∞

При вычислении пределов числовой последовательности полезно

использовать

следующие их свойства, если существуют конечные пределы

lim xn = a и

lim yn

= b, то

n→∞

n→∞

1) limc = c ,

c = const ;

n→∞

2) lim(c × xn )

= c ×lim xn = c × a , c = const ;

n→∞

n→∞

3) lim(xn ± yn ) = lim xn

± lim yn

= a ± b;

n→∞

n→∞

n→∞

4) lim(xn

× yn ) = lim xn

×lim yn = a ×b

;

n←∞

n→∞

n→∞

x

n

=

lim xn

=

a

5) lim

n→∞

, если b ¹ 0 ;

n→∞ yn

lim yn

b

n→∞

6) lim

1

= 0, если lim x = a = ∞ .

n→∞ xn

n→∞

n

Пусть требуется найти предел lim

xn

отношения двух последовательностей,

n→∞ y

n

сходящихся к бесконечности, то есть lim xn

= ∞ и lim yn = ∞ .

n→∞

n→∞

Непосредственно

применить свойство о пределе частного двух

xn

к виду,

допускающему

применение указанных свойств. В

связи

с

этим

y

n

∞

неопределенностью, а его преобразование

к

виду,

выражение

называется

∞

позволяющему найти предел –

раскрытие неопределенности.

0

Заметим, что выражение

, когда последовательности

в числителе и

0

Пример. Вычислить lim

n2

+ 2n − 3

.

n→∞

n3 +1

n2

+

2n

−

3

1

+

2

−

3

lim

n3

n3

n3

= lim

n n2

n3

=

3

n→∞

n

+ 1

1 + 1

n→∞

n3

n3

n3

lim

1

+ 2 lim

1

- 3lim

1

0 + 2 × 0 - 3× 0

0

=

n→∞ n

n→∞ n2

n→∞ n3

=

=

= 0 .

1

1 + lim

1+ 0

1

n→∞ n3

Предел функции.

Пределом функции

y = f (x) в точке x = x0

называется такое число A, что

последовательность {yn }, yn

= f (xn )

соответствующих

значений функции y

стремится к этому числу A и обозначается: lim f (x) = A .

x→x0

При нахождении пределов функций нужно использовать следующие свойства

предела функции: если существуют конечные пределы lim f (x) и lim g(x), то

x→a

x→a

1) lim c × f (x) = c ×lim f (x), c = const ;

x→a

x→a

2) lim( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x);

x→a

x→a

x→a

3) lim( f (x)× g(x)) = lim f (x)× lim g(x);

x→a

x→a

x→a

4) lim

1

= 0 (или ∞ ),

если lim f (x) = ¥ (или 0);

f (x)

x→a

lim f (x)

x→a

f (x)

=

, если lim g(x) ¹ 0 .

5) lim

x→a

g(x)

lim g(x)

x→a

x→a

x→a

x2 +1

Пример. Вычислить lim

.

n→∞ 3x2 + x

Решение: Разделим числитель и знаменатель на x2 , получим:

x2

1

1

x2

+1

= ∞ = lim

+

1 +

=

lim

x2

x2

= lim

x2

n→∞

3x

2

+ x

x→∞

3x

2

x

x→∞

1

∞

+

3 +

x

1

x2

x2

lim1+ lim

1+ 0

1

=

x→∞

x→∞ x2

=

=

.

lim3 + lim

1

3 + 0

3

x→∞

x→∞ x

замечательный предел: lim

sin x

= 1 и следствия из него:

x®0

x

lim

tg x

= 1;

lim

arcsin x

= 1;

lim

arctg x

= 1;

x®0

x

x®0

x

x®0

x

1

x

1

и второй замечательный предел: lim 1 +

= lim(1 + x)

= e .

x

x®¥

x

x®¥

Пример. Вычислить предел

lim

sin 2x

.

x®0

arctg 3x

Решение.

lim

sin 2x

=

0

=

2

lim

sin 2x

×

3x

=

x®0

arctg 3x

3

x®0

2x

arctg3x

0

=

2

lim

sin 2x

× lim

3x

=

arctg3x

3 x®0

2x

x®0

=

t = 2x

=

2

lim

sin t

× lim

y

=

2

×1×1 =

2

.

y = 3x

arctgy

3 t ®0

t

y®0

3

3

2

Пример. Вычислить предел lim(1− 3x)

.

x

x→0

Решение.

2

-3 x

lim (-3 x )×

2

1

2

1

x

lim(1 −

3x)

= [1¥ ]= lim

(1 + (− 3x))

= ex→0

x = e-6

=

.

x

-3 x

x®0

x®0

e

6