5519

1

, при x < 0

x

y = x2 , при 0 £ x < 1.

2 - x, при x ³ 1

Решение. Областью определения данной функции y является вся числовая

ось, то есть D = R . Точками «подозрительными» на точки разрыва являются точки

x1

= 0

и x2 = 1, так как при переходе через эти точки функция y меняет свое

аналитическое

выражение с

дробно –

рациональной на

квадратичную и

с

квадратичной на линейную, соответственно.

Исследуем непрерывность функции y в точке x1

= 0 :

lim y = lim

1

=

1

= −∞

x→0−0

x→−0 x

− 0

lim y = lim x2

= (+ 0)2 = 0

x→0+0

x→+0

y(0) = x2

x = 0

= 02 = 0

Поскольку условие непрерывности функции y в точке x1

= 0 нарушается,

то

x1

= 0 – точка разрыва функции

y , т.к. левосторонний предел функции y в точке

x1

= 0 равен бесконечности, то x1

= 0 – точка разрыва 2-го рода.

Исследуем непрерывность функции y в точке x2

= 1:

lim y = lim x2

= (1- 0)2

=1

x→1−0

x→1−0

lim y = lim x2

= (2 - x)2

= 2 - (1+ 0) =1

x→1+0

x→1+0

y(1) = (2 - x)

x =1 = 2 -1 = 1

Условие

непрерывности

функции y

в точке

x2 = 1 выполняется, значит,

функция y в точке x2

= 1 непрерывна.

Построим график функции y :

y

y = x2

1

0

1 2

x

y = 1

y = 2 − x

x

Производная

Пусть

функция

y = f (x) определена

на некотором

интервале

(a; b).

Аргументу

x (a;b) дадим приращение x ,

получим

точку

(x +

x) (a;b).

Найдем соответствующее приращение функции:

y = f (x +

x)− f (x). Составим

отношение приращения

y функции

y к приращению

x

аргумента

x :

y и

x

найдем предел этого отношения при

x → 0 ,

то есть lim

y . Если этот предел

x→0

x

′

dy

′

′

,

обозначают одним из символов: y (x),

f (x),

yx .

dx

Итак, по определению

′

y(x + x) − y(x)

y (x) = lim

.

x

x→0

ось, то есть D = R .

Выберем произвольную точку x R . Дадим ей приращение

x , получим новую точку x +

x R . Находим соответствующее приращение y

функции y = x2 :

y = y(x + x) − y(x) = (x + x)2 − x2 =

= x2 + 2x × Dx + (Dx)2 - x2 = 2x × Dx + (Dx)2 .

Составим отношение

Dy =

2x × Dx + (Dx)2

= 2x + Dx и найдем предел отношения

Dx

Dx

при x → 0:

lim

y = lim(2x + Dx) = 2x + 0 = 2x .

x→0

Dx

x→0

Поскольку данный предел существует, то производная функции y = x2 в точке x

прямолинейного движения

S = S (t ).

Каждому значению истекшего времени t

соответствует определенное расстояние S до некоторой фиксированной точки O .

Тогда средняя скорость Vcp

движения точки за время t равна:

V

=

S , где

S = S(t + t ) − S(t ).

cp

t

времени t есть производная от пути S по времени t ,

то есть V = St′.

В этом

заключается механический смысл производной.

Если

функция

y = f (x)

описывает

какой-либо

физический процесс, то

производная

y′есть

скорость

протекания

этого процесса. В этом

состоит

y

y = f (x)

y

l

M 0

A

x

α0

α ( x)

0

x0

Рис. 55

x

Под касательной l к графику функции y = f (x) в точке M 0

понимают предельное

перпендикулярно касательной l

(см. рис. 55).

Пусть касательная l

образует с положительным направлением оси Ox угол

α 0 , а секущая

M 0 M –

угол

α ( x). Тогда из прямоугольного треугольника

AM 0 M , получаем: tgα (

x) =

y . Переходя к пределу при x → 0 , находим:

x

lim tgα (

x) = lim

y

= y

′

(x0 ) = tgα0 = k ,

x→0

x→0

x

(c)′ = 0, c = const ;

(xn )′ = n × xn−1 ,

n Î R , n ¹ 0 ;

(a x )′ = a x × ln a , a > 0 , a ¹ 1;

(e x )′ = ex ;

(loga x)¢ =

1

, a > 0 , a ¹ 1;

(ln x)¢ =

1

;

x

x × ln a

(sin x)′ = cos x ;

(cos x)′ = -sin x ;

(tg x)¢ =

1

;

(ctg x)¢ = -

1

;

cos2

sin 2

x

x

(arcsin x)¢ =

1

; (arccos x)¢

= -

1

;

1 - x2

1

- x2

(arctg x)¢ =

1

;

(arcctg x)¢ = -

1

;

1 + x2

1

+ x2

u ′

u¢×v - u × v¢

u = u(x), v = v(x).

=

,

v

v2

Если данная функция

y = f (x)

дифференцируема в точке x0 , то в точке

(x0 ; f (x0 )) существует касательная l

к графику функции y = f (x) (см. рис. 56).

Тогда приращение функции

y можно представить в виде:

y

y = f (x)

y

α ( x)

l

f (x0 )

dy

x

0

x

x0 + x

x

0

Рис. 56

Главную

часть линейную

относительно

приращения

x

независимой

переменной

x

в последнем равенстве,

то есть выражение f

′

(x0 )× Dx называют

дифференциалом

функции y = f (x)

в точке

x0

и обозначают

dy . Итак,

′

dy = f (x0 )× Dx .

При

x → 0 , то есть при α (Dx) ® 0 приращение функции y приближенно

равно дифференциалу dy :

y ≈ dy или

f (x0 + Dx) » f (x0 )× Dx .

Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений

функций в точке.

Пример. Вычислить e−0,02 .

Решение. Рассмотрим функцию y = ex . Пусть x0

= 0 , тогда x0 + Dx = -0,02 ,

откуда x = −0,02.

y¢(x0 ) = (ex )′

x=0 = ex

x=0 = e0 = 1,

y(x0 ) = ex

x=0 = e0 = 1.

′

dy = y (x)× dx .

Пример. Найти дифференциал функции y = ln cos x .

Решение.

y¢ = (ln cos x)¢ =

1

×(cos x)¢ =

1

×(- sin x) = -tgx ,

тогда

cos x

cos x

dy = -tg × dx.

Правило Лопиталя

Рассмотрим

способ раскрытия

неопределенностей

вида

0

и

¥

при

0

¥

Пусть функции

f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0 и обращаются в нуль в этой точке:

f (x0 ) = g(x0 ) = 0 . Пусть

′

в

g (x) ¹ 0

′

окрестности точки

x . Тогда, если

существует предел lim

f (x)

,

то

g¢(x)

0

x→x0

(x)′

- (1)′

1 - 0

= lim

= lim

=

(x)¢ × ln x + x × (ln x)¢

1

x→1

x→1 1× ln x + x ×

x

1

1

1

1

= lim

=

=

=

=1.

ln1 +1

+1

x→1

ln x +1

0

1

Пусть функции

f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0

(кроме,

быть

может,

самой

точки x0 ), в этой

окрестности

′

lim f (x) = lim g(x) = ∞ , g¢(x) ¹ 0 . Тогда,

если существует предел

lim

f (x)

, то

x→x0

x→x0

x→x0 g¢(x)