Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5519

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

624.55 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А. В. Бесклубная, П. В. Столбов

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика»

для обучающихся по направлению подготовки 43.03.02 Туризм, профиль Технология и организация туроператорских и турагентских услуг

Нижний Новгород

2016

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А. В. Бесклубная, П. В. Столбов

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика»

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

УДК 517.9

Бесклубная А. В. / Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Пределы. Дифференциальное исчисление функции одной переменной [Электронный ресурс]: учеб. - метод. пос. / А. В. Бесклубная, П. В. Столбов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 78 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

В данном пособии даются тематика лекций, их краткое содержание, приведены основные определения и понятия, а также методические рекомендации по самостоятельной работе обучающихся по дисциплине «Математика». Рассматривается достаточное количество разобранных примеров, сопровожденных подробным решением и рисунками. Указывается необходимая литература, предложены варианты заданий.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 43.03.02 Туризм, профиль Технология и организация туроператорских и турагентских услуг.

§ 1. Линейная алгебра Матрицы и действия над ними

Матрицей порядка m × n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые скобки и обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Пример.

1.		1	2	3	– матрица порядка 2 × 3.
1.	A =				– матрица порядка 2 × 3.
			5
	4		5	6
2.	B = (1		2	3) –	матрица – строка порядка 1× 3.
3.		1	–	матрица – строка порядка 2 ×1.
3.	C =		–	матрица – строка порядка 2 ×1.

	2

Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется

квадратной.

1	2	–	квадратная матрица порядка 2 × 2.
Пример. D =		–	квадратная матрица порядка 2 × 2.
	4
3	4

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца, в которых рассматриваемый элемент матрицы находится.

Пример.	1	2	3
Пример.	A =			.
		5	6
	4	5	6

a2 3 = 6 – элемент матрицы A , находящийся во второй строке и в третьем

столбце.

Заметим, что матрицу A порядка m × n можно записать так:

A = (ai j ), i = 1, m; j = 1, n .

Две

матрицы

порядка

m × n

считаются равными, если все

соответствующие элементы этих матриц равны. То есть

A = B , если ar s

= br s

для

любых возможных r

и s .

так как a11

= b11

= 1,

Пример. A =

2 , B

2 . Матрицы

A и

B равны,

a21 = b21 = 2, a31 = b31 = 3.

Произведением матрицы

A порядка

m × n на действительное число λ

bi j ,

i =

называется

матрица

B того же порядка m × n ,

каждый элемент

1, m

j =

которой получен умножением соответствующего элемента

i =

1, n

j ,

1, m

j =

исходной матрицы A на число λ и обозначается:

B = λ × A.

1, n

Пример. Найти

B = 2 A, если

A =

2 ×1

2 × 2

Решение. B = 2A = 2

2 ×

2 ×3

Ответ: B =

Суммой двух матриц A = (ai j

) и B = (bi j

) одного порядка m × n называется

каждый элемент ci

i =

, j =

которой

матрица C того же порядка m × n ,

j ,

1, m

1, n

ai j

bi j ,

i =

j =

получен сложением

соответствующих элементов

1, m

1, n

обозначается C = A + B .

Пример. Найти

C = A + B , если

и B

A =

Решение.

1 + 4

2 + 3

5 5

C = A + B =

4 +

3 + 2

5 5

5	5
Ответ: C =		.
	5
5	5

Заметим, что разность двух матриц A и B одного и того же порядка можно определить через сумму и умножение на число (-1), то есть A - B = A + (-1)× B .

1	2	4	3
Пример. Найти A − B , если A =		и B =	.

3	4	2	1

Решение.	1	2	4	3	=
Решение.	A - B = A + (-1)× B =		+ (-1)×		=

	3	4	2	1

1	2	-1× 4		-1×3	1	2	- 4		- 3	=
=		+			=		+			=
			-1× 2					- 2
3	4		-1× 2	-1×1	4	3		- 2	-1

1 + (- 4)			2 + (- 3)	- 3	-1
=				=	.
	+ (- 2)
3	+ (- 2)		4 + (-1)	1	3
- 3		-1
Ответ: A - B =			.
	1	3
	1	3

Произведением матрицы

A порядка m × n на матрицу B порядка n × p

ci j , i =

j =

называется матрица

C порядка

m × p ,

каждый

элемент

1, m

1, p

которой получен как произведение элементов

i -ой строки матрицы

A на

соответствующие

элементы

j -го

столбца

матрицы

B , то

есть

ci j = ai1 ×b1 j + ai 2 ×b2 j +K+ ai n ×bn1 j , i =

и обозначается: C = A × B .

1, m

j = 1, p

Пример. Найти C = A × B , если A =

B =

Решение.

c11 = a11 ×b11 + a12 ×b21 =1×5 + 2 × 7 = 5 +14 = 19 c12 = a11 ×b12 + a12 ×b22 = 1× 6 + 2 ×8 = 6 +16 = 22 c21 = a21 ×b11 + a22 ×b21 = 3 ×5 + 4 × 7 = 15 + 28 = 43

c22 = a21 ×b12 + a22 ×b22 = 3 × 6 + 4 ×8 = 18 + 32 = 50 .

c	c	19	22
Следовательно, C = A × B = 11	12	=		.
			50
c21	c22	43	50

19	22
Ответ: C =		.
	50
43	50

Следует обратить внимание на тот факт, что:

1) произведение A × B матриц A и B получается умножением элементов строк матрицы A – первого сомножителя – на элементы столбцов матрицы B – второго сомножителя. Следовательно, порядок сомножителей в произведении матриц важен;

2)число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B , в противном случае произведение матриц A и B не определено;

3)порядок матрицы-произведения определяется порядком сомножи-телей, то

есть Am×n × Bn× p = Cm× p .	Следовательно, если A × B = A × C , то нельзя считать,					что
B = C .
Транспонированной матрицей (обозначаемой как					AT ) любой матрицы	A
порядка m × n называется матрица		AT	порядка	n × m ,	которая получается	из
матрицы A взаимной заменой строк на столбцы.
Пример. Найти AT	1	2	3
Пример. Найти AT	, если A =		.
		5
	4	5	6
Решение. Элементы первой строки матрицы				A запишем в первый столбец
матрицы AT , а элементы второй строки матрицы A – во второй столбец матрицы
1	4

AT , получаем: AT = 2	5 .
3	6

Определители

Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число

D =	a11	a12	и вычисляется по формуле: D = a11 × a22 - a12 × a21 .
	a21	a22
	Пример. Вычислить			1	2	.
				1	2
				- 3	4

Решение. 1 2 = 1× 4 - 2 × (- 3) = 4 + 6 = 10. - 3 4

Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число

a11 a12 a13

D = a21 a22 a23 и вычисляется по формуле:

a31 a32 a33

D= a11 × a22 × a33 + a21 × a32 × a13 + a12 × a23 × a31 -

-a13 ×a22 ×a31 -a21 ×a12 ×a33 -a32 ×a23 ×a11.

					1	- 2	3
					1	- 2	3
Пример. Вычислить					-1	2	- 3	.
					0	4	- 4
Решение.
	1	- 2	3	= 1× 2(× -4) + (-1)× 4 ×3 + (- 2)× (- 3)× 0 - 3 × 2 × 0 -
	1	- 2	3
	-1	2	- 3
	0	4	- 4

- (-1)× (- 2)×(- 4)- 4 ×(- 3)×1 = -8 -12 + 0 - 0 + 8 +12 = 0 .

Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представляет собой таблицу чисел, а определитель – это число, вычисляемое по определенному правилу.

Системы линейных уравнений

Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными вида:

a × x + a × x					2	+ a × x = b
	11	1	12			13	3	1
a21 × x1 + a22				× x2		+ a23 × x3		= b2	(1.1)
			+ a32	× x2		+ a33 × x3 = b3 ,
a31 × x1

где ai j Ζ, bi Ζ , i, j =		.
где ai j Ζ, bi Ζ , i, j =	1,3	.
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1):
		D =	a11	a12	a13
			a11	a12	a13
			a21	a22	a23	,
			a31	a32	a33

тогда если D ¹ 0 , то система (1.1) имеет единственное решение (x10 ; x20 ; x30 ), которое находим по правилу Крамера. Для этого, составим и вычислим вспомогательные

определители x ,

системы (1.1):

a12

a13

, Dx

a11

a13

, Dx

a11

a12

a22

a23

a21

a23

a21

a22

a32

a33

a31

a33

a31

a32

Далее, по формулам Крамера, находим:

x0	=	x1	, x0	=	x2	, x0	=	x3	.
1		2			3

Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.

x − x		2	+ x = 2
	1				3
Пример. Решить по правилу Крамера систему 2x1 − x3					= −1 .
	3x + x			2	= 5
	1
Решение. Составим и вычислим главный определитель					данной системы:

1 -1 1

D = 2 0 -1 = 1×0×0 + 2×1×1+ (-1)×(-1)×3 -1×0×3-

3 1 0

- 2 ×(-1)×0 -1×(-1)×1 = 0 + 2 +3 -0 + 0 + 0 +1 = 6.

Так как D = 6 ¹ 0 , то данная система имеет единственное решение. Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:

		2			-1		1			= 2 × 0 ×0 + (-1)×1×1 + (-1)× (-1)×5 -1× 0 ×5 -
		2			-1		1
Dx	=	-1 0 -1
1
		5			1		0
	- (-1)× (-1)× 0 -1×(-1)× 2 = 0 -1 + 5 - 0 - 0 + 2 = 6 ;
				1	2		1		= 1×(-1)× 0 + 2 ×5 ×1 + 2 × (-1)×3 -1×(-1)×3 -
				1	2		1
Dx2 =				2 -1 -1
				3	5		0
	- 2 × 2 × 0 - 5 ×(-1)×1 = -0 +10 - 6 + 3 - 0 + 5 = 12;
			1		-1		2	= 1× 0 ×5 + 2 ×1× 2 + (-1)× (-1)×3 - 2 × 0 ×3 -
			1		-1		2
Dx	=		2 0			-1
	3
			3		1		5

-1×(-1)×1 - 2 × (-1)×5 = 0 + 4 + 3 - 0 +1 +10 = 18 .

Далее, по формулам Крамера, находим:

x10 =

= 1, x20 =

= 2 , x30 =

= 3.

Делаем проверку найденного решения

(1; 2;3):

1 - 2 + 3 = 2 - верно,2 ×1 - 3 = -1 - верно,3 ×1 + 2 = 5 - верно.

Ответ: (1; 2;3).

§ 2. Векторная алгебра

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023623.67 Кб05514.pdf
#
21.11.2023623.76 Кб05515.pdf
#
21.11.2023624.1 Кб05516.pdf
#
21.11.2023624.14 Кб05517.pdf
#
21.11.2023624.26 Кб15518.pdf
#
21.11.2023624.55 Кб05519.pdf
#
21.11.2023129.95 Кб0552.pdf
#
21.11.2023624.86 Кб05520.pdf
#
21.11.2023624.98 Кб05521.pdf
#
21.11.2023625.04 Кб05522.pdf
#
21.11.2023625.08 Кб05523.pdf