5516
.pdfy |
|
2 |
|
||
|
|
y = x |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
8 |
x |
|||
|
Рис. 39 |
|
|||
III. Показательная функция |
|
|
|
|
|
y = a x (a > 0, a ¹ 1), D = R , E : y > 0 . |
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
y = a x (a > 0) |
|
y = a x (0 < a < 1) |
1
0 |
x |
Рис. 40
1
0 |
x |
Рис. 41
IV. Логарифмическая функция
y = loga x (a > 0, a ¹ 1), D = {x x > 0}, E = R
y |
|
|
y |
(0 < a < 1) |
|
y = loga |
x (a > 1) |
y = loga x |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
x |
0 |
x |
|
|
Рис. 42 |
Рис. 43 |
V. Тригонометрические функции
а) y = sin x , D = R , E = [−1;1].
40
y
− π |
− π |
|
2 |
1
0 π π x
2
-1
Рис. 44
б) y = cos x , D = R , E = [−1;1].
y
1
− |
3π |
− π |
− π |
0 |
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
π |
π |
3π |
x |
2 |
|
2 |
|
-1
Рис. 45
π |
+ |
|
множество всех действительных |
в) y = tg x , D = R \ |
π n, n Z – |
||
2 |
|
|
|
чисел R , за исключением точек |
π + π n , n Ζ , E = R . |
||
|
2 |
|
|
y
− 3π |
− π |
0 |
π |
π |
3π |
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
x
Рис. 46
г) y = ctg x , D = R \ {π n, n Z}, E = R .
41
− π |
− π |
|
2 |
y
0 |
π |
3π |
|
2 |
2 |
Рис. 47
x
IV. Обратные тригонометрические функции
а) |
|
|
|
π |
π |
y = arcsin x , D = [−1;1], E = − |
; |
. |
|||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
-1 |
0 |
1 |
x |
− π
2 Рис. 48
б) y = arccos x , D = [−1;1], E = [0;π ].
y
π
π
2
-1 |
0 |
1 |
x |
Рис. 49 |
42
|
− |
π |
π |
в) y = arctg x , D = R , E = |
; |
|
|
|
|
2 |
2 |
y π
2
0 |
x |
−π
2
Рис. 50
г) y = arcctg x , D = R , E = (0;π )
y
π
π
2
0 |
x |
Рис. 51 |
|
Предел числовой последовательности |
|
Функция y = f (n), заданная на множестве |
Ν всех натуральных чисел n |
называется числовой последовательностью и обозначается {xn }, где элемент xn = f (n) соответствует номеру n . Будем задавать числовую последовательность
{xn } формулой своего общего члена xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
Пример. |
|
|
– числовая последовательность |
|
|
, |
|
, |
|
,K, |
|
,K , так |
||
|
|
|
|
1 + n |
||||||||||
|
|
|
n + 1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
||||
как xn = |
1 |
|
– формула общего члена последовательности. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
При n = 1: |
x |
= |
1 |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
1 +1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При n = 2 : |
x2 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
При n = 3 : |
x |
= |
|
1 |
|
|
|
|
= |
1 |
и т.д. |
|
|||||||||||||
3 +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пределом числовой последовательности {xn } называется конечное |
|||||||||||||||||||||||||
действительное число |
|
|
a , |
|
|
если для любого сколь угодно |
малого числа ε > 0 |
||||||||||||||||||
существует такое натуральное число N , что для всех членов последовательности с |
|||||||||||||||||||||||||
номерами n > N |
выполняется неравенство |
|
xn − a |
|
< ε . В |
краткой записи это |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
выглядит так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε > 0 N Ν n > N |
|
xn − a |
|
< ε |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
и обозначается: lim xn |
= a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим ε – |
окрестность точки a как множество всех |
x , удовлетворяющих |
условию: x − a < ε , что эквивалентно двойному неравенству: a − ε < x < a + ε .
Тогда понятие предела геометрически означает, что какую бы малую ε – окрестность точки a не взяли, найдется такой номер N , начиная с которого все последующие члены последовательности будут находиться в этой окрестности (См.
рис. 52).
x1 |
xN +1 |
xN +2 xn |
x2 |
a − ε |
a |
|
a + ε |
Рис. 52
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся или стремящейся к этому пределу, а неимеющая конечного предела – расходящейся. «Стремление» последовательности к своему пределу a будем обозначать как
xn → a .
44
|
|
|
Пример. Доказать по определению, что lim |
1 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 0 |
|
< ε , когда |
||||||||
|
|
|
Решение. Возьмем любое сколь угодно малое ε > 0 . Имеем: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
< ε |
или n > |
1 |
. Значит существует такой номер N , равный целой части числа |
1 |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n |
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|||||||
то есть такое целое число N , что N ≤ |
1 |
< N + 1, то есть |
N = |
1 |
, начиная с |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
ε |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которого все последующие члены с номерами |
N , |
N + 1, |
N + 2 , |
N + 3, ... будут |
||||||||||||||
находиться в |
ε – окрестности точки |
x = 0 , |
то есть в интервале (- ε ;ε ). (См. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
рис.53). При ε = 0,2 |
N = |
|
|
|
|
= 5, при ε = 0,01 N = |
|
= 100 . |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N + 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
N + 3 |
|
|
|
N + 1 |
|
|
|
|
|
|||
− ε |
|
0 |
|
|
Рис. 53 |
ε |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim xn |
= +¥ означает, что ε > 0 |
N Ν , |
n > N xn |
> ε ; |
||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim xn |
= -¥ означает, что ε > 0 |
N Ν , |
n > N xn |
< -ε . |
||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении пределов числовой последовательности полезно |
||||||||||||||||||
использовать |
следующие их свойства, если существуют конечные пределы |
|||||||||||||||||
lim xn = a и |
lim yn |
= b , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) lim c = c , c = const ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) lim (c × xn ) = c × lim xn |
= c × a , c = const ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) lim(xn ± yn ) = lim xn |
± lim yn = a ± b ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
45
4) lim(xn |
× yn ) = lim xn |
× lim yn = a ×b ; |
|
||||||||||
n←∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|||||
|
|
x |
n |
= |
lim xn |
= |
a |
|
|
|
|
||
5) lim |
|
n→∞ |
|
|
, если b ¹ 0 ; |
|
|
||||||
|
|
|
lim y |
|
b |
|
|
||||||
n→∞ y |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) lim |
1 |
= 0, если lim xn = a = ∞ . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
n→∞ xn |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|||||
Пусть требуется найти предел lim |
xn |
отношения двух последовательностей, |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ y |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходящихся к бесконечности, то есть lim xn |
= ∞ и lim yn = ∞ . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
Непосредственно |
|
применить свойство о пределе частного двух |
последовательностей нельзя. Предварительно необходимо преобразовать выражение
|
xn |
к виду, |
допускающему |
применение указанных свойств. В |
связи |
с |
этим |
||||
|
y |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
неопределенностью, а его преобразование |
к |
виду, |
|||||
выражение |
называется |
||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
позволяющему найти предел – |
раскрытие неопределенности. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что выражение |
|
|
, когда последовательности |
в числителе и |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
знаменателе стремятся к нулю, также называются неопределенностью.
Пример. Вычислить lim |
n2 |
+ 2n − 3 |
|
|
|
. |
|
|
|
||
n→∞ |
n3 +1 |
Решение. Разделим числитель и знаменатель на n3 – наибольшую из степеней n в числителе и знаменателе:
|
|
n2 |
+ |
|
2n |
− |
3 |
|
|
1 |
+ |
2 |
|
− |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
n3 |
|
|
|
n3 |
n3 |
|
= lim |
n n2 |
|
|
|
n3 |
= |
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n→∞ |
|
n |
+ 1 |
|
|
1 + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|||||
|
|
|
n3 |
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
46
|
|
lim |
1 |
+ 2 lim |
1 |
|
|
- 3lim |
1 |
|
|
|
|
0 + 2 × 0 - 3 × 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
n→∞ n |
|
|
n→∞ n2 |
|
n→∞ n3 |
|
= |
|
= |
= 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пределом функции |
|
y = f (x) |
в точке x = x0 |
|
|
называется такое число A, |
что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для любой последовательности {xn } значений аргумента x , |
сходящейся к числу x0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность {yn }, yn |
= f (xn ) |
|
соответствующих |
значений функции |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стремится к этому числу A и обозначается: lim f (x) = A . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При нахождении пределов функций нужно использовать следующие свойства |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предела функции: если существуют конечные пределы lim f (x) и lim g(x), то |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
x→a |
|
|
1) lim c × f (x) = c × lim f (x), c = const ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) lim( f (x) ± g (x)) = lim f (x) ± lim g (x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) lim( f (x)× g (x)) = lim f (x)× lim g (x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) lim |
|
|
|
1 |
|
= 0 (или ∞ ), если lim f (x) = ¥ (или 0); |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
= |
|
lim f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
lim g (x) ¹ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5) lim |
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→a |
g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример. Вычислить lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 3x2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение: Разделим числитель и знаменатель на x2 , получим: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
|
= ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ |
1 |
|
1 + |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
= lim |
|
x |
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
3x |
+ x |
|
|
|
|
¥ |
|
x→∞ |
3x |
|
|
|
|
x |
|
x→∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ x2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
lim1 + lim |
|
|
|
|
|
1 + 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
x→∞ |
|
|
x→∞ x2 |
|
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
lim 3 + lim |
1 |
|
|
|
3 + 0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
→∞ |
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
При нахождении пределов функций также полезно знать первый
замечательный предел: lim |
sin x |
= 1 и следствия из него: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x®0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
tg x |
= 1; |
lim |
arcsin x |
=1; |
lim |
arctg x |
= 1; |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
x®0 |
x |
x®0 |
x |
|
|
|
x®0 |
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и второй замечательный предел: lim 1 + |
|
|
|
= lim(1 + x) |
|
= e . |
|||||||||
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x®¥ |
x |
|
x®¥ |
|
|
|
|
Пример. Вычислить предел |
lim |
sin 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
arctg 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
sin 2x |
= |
0 |
= |
2 |
lim |
sin 2x |
× |
|
|
3x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x®0 |
arctg 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x®0 |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
arctg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= |
2 |
lim |
sin 2x |
× lim |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 x®0 |
|
2x |
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
t = 2x |
|
= |
2 |
|
lim |
sin t |
×lim |
|
y |
|
|
|
= |
2 |
×1×1 = |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 t®0 |
t |
|
|
|
|
y®0 |
|
|
arctgy |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. Вычислить предел lim(1 - 3x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 x |
|
|
lim (-3 x )× |
2 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim(1 - |
3x) |
|
|
= [1¥ ]= lim |
(1 + (- 3x)) |
|
|
|
|
= ex→0 |
|
x = e-6 |
= |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
-3 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|||||||
x®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Общий |
метод |
|
(правило |
|
|
|
|
Лопиталя) вычисления |
пределов |
|
в |
|
|
случаях |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенности |
0 |
|
и |
¥ |
рассматривается в дифференциальном исчислении. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть y = f (x) |
|
|
функция |
|
|
|
от x , |
|
имеющая пределом число |
A, |
|
когда x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стремится к числу a . Предположим, |
что все значения величины x |
меньше, чем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
число a , |
то есть |
|
x < a . |
Символически это выражается очень удобной записью: |
48
x → a − 0 (вместо x → a, x < a ). Тогда предел |
lim f (x) = A1 называют пределом |
|
x→a −0 |
функции f (x) в точке x = a слева или левосторонним пределом. |
|
Аналогично, при x → a, x > a , то есть |
x → a + 0 предел lim f (x) = A2 |
|
x→a+0 |
называют пределом функции f (x) в точке x = a справа или правосторонним
пределом.
Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются односторонними пределами.
Дадим определение непрерывности функции в точке.
Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = x0 , если:
1) |
функция |
f (x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, |
содержащей эту точку x0 ; |
||
2) |
функция |
f (x) имеет одинаковые односторонние пределы в этой точке x0 , |
то есть |
lim f (x) = lim f (x); |
|
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
3) эти односторонние пределы должны быть равны значению функции f (x) в |
этой точке x : lim f (x) = f (x ).
0 x→x0 0
Функция y = f (x) называется разрывной в точке x = x0 , если она определена в сколь угодно малой окрестности точки x0 , но в самой точке x0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.
Точки разрыва функции можно разделить на два типа.
Точка разрыва x0 функции y = f (x) называется точкой разрыва 1-го рода,
если существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые не равны между собой или равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 не существует или равен бесконечности, то x0 – точка разрыва функции 2-го рода.
49