5512

1

, при x < 0

x

y = x2 , при 0 £ x <1.

2 - x, при x ³1

Решение. Областью определения данной функции y является вся числовая

ось, то есть D = R . Точками «подозрительными» на точки разрыва являются точки

x1

= 0

и x2 = 1, так как при переходе через эти точки функция y меняет свое

аналитическое

выражение с

дробно –

рациональной на

квадратичную и

с

квадратичной на линейную, соответственно.

Исследуем непрерывность функции y в точке x1

= 0 :

lim y = lim

1

=

1

= −∞

x→0−0

x→−0 x

− 0

lim y = lim x2

= (+ 0)2 = 0

x→0+0

x→+0

y(0) = x2

x = 0

= 02 = 0

Поскольку условие непрерывности функции y в точке x1

= 0 нарушается,

то

x1

= 0 – точка разрыва функции

y , т.к. левосторонний предел функции y в точке

x1

= 0 равен бесконечности, то x1

= 0 – точка разрыва 2-го рода.

Исследуем непрерывность функции y в точке x2

= 1:

lim y = lim x2

= (1- 0)2

=1

x→1−0

x→1−0

lim y = lim x2

= (2 - x)2

= 2 - (1+ 0) =1

x→1+0

x→1+0

y(1) = (2 − x)

x = 1 = 2 −1 = 1

Условие

непрерывности

функции y

в точке

x2 = 1 выполняется, значит,

функция y в точке x2 = 1 непрерывна.

Построим график функции y :

y

y = x2

1

0

1 2

x

y = 1

y = 2 − x

x

Производная

Пусть

функция

y = f (x) определена

на некотором

интервале

(a; b).

Аргументу

x (a;b) дадим приращение x ,

получим

точку

(x +

x) (a;b).

Найдем соответствующее приращение функции:

y = f (x +

x)− f (x). Составим

отношение приращения

y функции

y к приращению

x

аргумента

x :

y и

x

найдем предел этого отношения при

x → 0 , то есть lim

y . Если этот предел

x→0

x

′

dy

′

′

,

обозначают одним из символов: y (x),

f (x),

yx .

dx

Итак, по определению

′

y(x + x)− y(x)

y (x) = lim

.

x

x→0

Значения производной функции y = f (x) в точке x = x0 обозначается одним

из символов: y′(x0 ), f ′(x0 ) или y¢

x=x0 .

Пример. Найти по определению производную функции y = x2 .

Решение. Областью определения D данной функции является вся числовая

ось,

то есть D = R . Выберем произвольную точку

x R . Дадим ей приращение

x , получим новую точку x +

x R . Находим соответствующее приращение

y

функции y = x2 :

y = y(x + x) − y(x) = (x + x)2 − x2 =

= x2 + 2x × Dx + (Dx)2 - x2 = 2x × Dx + (Dx)2 .

Составим отношение Dy =

2x × Dx + (Dx)2

= 2x + Dx и найдем предел отношения

Dx

Dx

при

x → 0 :

lim

y = lim(2x + Dx) = 2x + 0 = 2x .

x→0

Dx

x→0

Поскольку данный предел существует,

то производная функции y = x2 в точке x

равна 2x , то есть (x2 )′ = 2x .

Пусть материальная точка (тело) движется неравномерно по закону

прямолинейного движения

S = S (t ).

Каждому

значению истекшего времени

t

соответствует определенное расстояние S до некоторой фиксированной точки O .

Тогда средняя скорость Vcp

движения точки за время

t равна:

V

=

S , где

S = S (t +

t )− S(t ).

cp

t

Предел средней скорости Vcp

движения при стремлении к нулю промежутка времени

t

называется скоростью

V движения точки

в данный момент времени (или

мгновенной скоростью)

V = lim

S

.

t→0

t

времени t есть производная от пути S по времени t ,

то есть V = St′.

В этом

заключается механический смысл производной.

Если

функция

y = f (x)

описывает

какой-либо

физический процесс, то

производная

y′есть

скорость

протекания

этого процесса. В этом

состоит

y

y = f (x)

y

l

M 0

A

x

α0

α ( x)

0

x0

Рис. 55

x

Под касательной l

к графику функции y = f (x) в точке M 0

понимают предельное

рис.

55). Нормалью n называется прямая, проходящая через данную точку M 0

перпендикулярно касательной

l

(см. рис. 55).

Пусть касательная l

образует с положительным направлением оси Ox угол

α 0 ,

а секущая

M 0 M –

угол

α ( x). Тогда из прямоугольного треугольника

AM 0 M , получаем: tgα (

x) =

y . Переходя к пределу при x → 0 , находим:

x

lim tgα (

x) = lim

y

′

x

= y

(x0 ) = tgα0 = k ,

x→0

x→0

(c)′ = 0 ,

c = const ;

(xn )′ = n × xn−1 ,

n Î R , n ¹ 0 ;

(a x )′ = a x × ln a , a > 0 , a ¹ 1;

(ex )′ = ex ;

(loga x)¢ =

1

, a > 0 , a ¹ 1;

(ln x)¢ =

1

;

x

x × ln a

(sin x)′ = cos x ;

(cos x)′ = -sin x ;

(tg x)¢ =

1

;

(ctg x)¢ = -

1

;

cos2

sin 2

x

x

(arcsin x)¢ =

1

; (arccos x)¢

= -

1

;

1 - x2

1

- x2

(arctg x)¢ =

1

;

(arcctg x)¢ = -

1

;

1

+ x2

1 + x2

u ′

u¢× v - u × v¢

u = u(x), v = v(x).

=

,

v

v2

y¢ = (2x)′ + (1)′

× ex + (2x +1)× ex = 2(x)′ + 0

× ex + (2x +1)× ex =

Дифференциал функции

Пусть задана функция

y = f (x) и можно вычислить

f (x0 ), то есть значение

этой функции в точке x0 . Требуется вычислить значение этой функции

y в точке

x0 + Dx .

Если данная функция

y = f (x)

дифференцируема в точке x0 ,

то в точке

(x0 ; f (x0 )) существует касательная l

к графику функции

y = f (x) (см. рис. 56).

Тогда приращение функции

y можно представить в виде:

y

y = f (x)

y

α (

x)

l

f (x0 )

dy

x

0

x

x0 + x

x

0

дифференциалом

функции

y = f (x) в точке x0

и обозначают dy . Итак,

′

dy = f (x0 )× Dx .

При

x → 0 , то есть при α (Dx) ® 0 приращение функции y приближенно

равно дифференциалу dy :

y ≈ dy или f (x0 + Dx) » f (x0 )× Dx .

Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений

функций в точке.

Пример. Вычислить e−0,02 .

Решение. Рассмотрим функцию y = e x . Пусть x0

= 0 , тогда x0 + Dx = -0,02 ,

откуда x = −0,02 .

y¢(x ) = (ex )′

x=0

= ex

x=0

= e0 = 1,

0

y(x ) = ex

x=0

= e0 =1.

0

′

dy = y (x)× dx .

Пример. Найти дифференциал функции y = ln cos x .

Решение.

y¢ = (ln cos x)¢ =

1

× (cos x)¢ =

1

× (- sin x) = -tgx ,

тогда

cos x

cos x

dy = -tg × dx .

Правило Лопиталя

Рассмотрим

способ раскрытия

неопределенностей

вида

0

и

¥

при

0

¥

Пусть функции

f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: f (x0 ) = g(x0 ) = 0 . Пусть

′

в

g (x) ¹ 0

′

окрестности точки

x . Тогда, если существует предел lim

f (x)

,

то

g¢(x)

0

x→x0

(x)′

- (1)′

1 - 0

= lim

= lim

=

(x)¢ × ln x + x × (ln x)¢

1

x→1

x→1 1× ln x + x ×

x

1

1

1

1

= lim

=

=

=

= 1.

ln1 +1

+1

x→1

ln x +1

0

1

Пусть функции

f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0

(кроме,

быть

может,

самой

точки x0 ), в этой

окрестности

f

′

′

(x)

если существует предел

lim

, то

lim f (x) = lim g(x) = ∞ , g (x) ¹ 0 . Тогда,

x→x0

x→x0

x→x0 g¢(x)