5449

§1.

,

.

n

, . .

.

1.

S

–

a

1

h : S

a h f (a,h).

2.

2

A

U

,

I

t .

: A I U t f ( I ,U , t ).

n

,

n -

X (x1, x2 ,..., xn )

n

n .

n

x1, x2 ,..., xn

M ( x1, x2 ,..., xn ).

X ( x1, x2 ,..., xn )

D n

z ,

,

D

z f

( x1, x2 ,..., xn )

n

,

. . z f (X ) ,

.

x1, x2 ,..., xn

(

),

z –

(

),

f

.

D D( f )

.

,

z

,

(

E

E( f ) ).

.

,

,

n 2.

n 2

,

.

x y

z f ( x, y)

.

O x y .

x , y z

u f ( x, y, z) –

.

.

3.

z ln (36 4 x2 9 y2 ).

.

,

36 4 x2 9 y2 0 ,

4 x2 9 y2 36 ,

. .

x2

y2

1.

9

4

x2

y2

(x, y) ,

1 ( . 1),

9

4

D ( f ).

, D ( f ) –

O x y

,

,

a 3

b 2 .



y

2

-3

0

3

x

-2

. 1

4.

z

x2 y2 1

.

.

x2 y2 1 0 ,

. . x2 y2 1.

. 2.



y

1

-1

0

1

x

-1

5.

. 2

z x arcsin y .

.

,

1 y 1

x .

,

y 1

y 1,

,

( . 3).



y

y=1

1

x

-1

y=-1

. 3

§2.

-

M 0 ( x0 ; y0 )

.

M ( x; y) ,

.

M 0

z f ( x, y)

M 0 ( x0 ; y0 ) ,

,

,

.

A

x x0

z f ( x, y)

M 0 ( x0 ; y0 )

(

,

f ( x, y) A

,

y y0 ),

,

M ( x; y)

M M 0

,

.

: lim f (x, y) A

lim

f ( M ) A .

x x0

M M0

1.

y y0

,

,

1

x2

4y2 sin

0 .

2

2

lim

x

y

x 0

y 0

.

:

M ( x; y) , M 0 ( x0 ; y0 ) ,

M M 0

x2 y2

.

0,

M M 0

x2 y2

1

sin

1

sin

f (M ) A

x2

4y

2

0

x2 4y2

x2 y2

x2 y2

2

2 ,

x2 4y2

4x2 4y2

x2 y2

, .

. lim f ( M ) 0 .



2

M 0

z f ( x, y) (

z f (M ) )

M 0 ( x0 ; y0 ) D ,

lim

f ( M ) f ( M 0 ) ,

D ,

M M0

.

z f ( x, y) f ( x0 , y0 )

z f ( x, y)

y

M 0 ( x0 ; y0 ) ,

x

x x x0 ,

y y y0 ,

:

z 0

x 0

y 0 .

.

,

,

z f ( x1, x2 ,..., xn ) ,

,

z

x1, x2 ,..., xn

.

x1, x2 ,..., xn ,

,

,

.

.

z f ( x, y)

,

,

.

,

.

2.

lim ( x cos ( x y2 )) .

.

x 1

y 0

.

f ( x, y) x cos ( x y2 )

,

,

(1; 0) .

(1; 0)

,

,

z f ( x, y) .

.

z f ( x x, y y ) f ( x, y )

(

)

z f ( x, y) ,

x

y

.

z

x

,

x

x :

x z f ( x x, y ) f ( x, y ) .

,

y z f ( x, y y ) f ( x, y )

z

y .

y

z f ( x, y)

x

,

x

z f ( x, y)

,

:

x

y ,

f ( x, y)

x

,

y

.

z f ( x, y)

x

x

x 0 ,

x z

, . .

x