5140

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Интегральное исчисление

Учебно-методическое пособие для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Методы оптимальных решений в сервисе» для обучающихся по направлению подготовки 43.04.01_Cервис,

профиль Управление сервисом недвижимости

Нижний Новгород

2018

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Интегральное исчисление

Учебно-методическое пособие для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Методы оптимальных решений в сервисе» для обучающихся по направлению подготовки 43.04.01_Cервис,

профиль Управление сервисом недвижимости

Нижний Новгород ННГАСУ

2018

1

УДК 517.9

Пушкова Т.А. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Интегральное исчисление [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Т.А.Пушкова, П.В. Столбов; Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2018.- 65с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

Пособие содержит краткий теоретический материал, сопровождающийся многочисленными примерами, а также задания для выполнения контрольной работы.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ по направлению подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Методы оптимальных решений в сервисе» для обучающихся по направлению подготовки 43.04.01_Cервис, профиль Управление сервисом недвижимости.

© Т.А.Пушкова, П.В. Столбов, 2016 © ННГАСУ, 2016.

2

§1. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Основные понятия

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции двух переменных, для которой можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

Пусть задано множество D точек (x, y) плоскости Oxy .

Правило f , по которому каждой упорядоченной паре чисел (x, y)

множества D ставится в соответствие одно и только одно действительное число z называется функцией двух переменных, заданной на множестве D со значениями в множестве всех действительных чисел R и обозначается:

определения D этой функции S есть множество {(x, y) x > 0, y > 0} (cм.

рис. 1).

y

D

Рис. 1

3

Функцию z = f (x, y), где (x, y) D можно рассматривать как

функцию точки M (x, y) координатной плоскости Oxy . В частности,

областью определения D может быть вся плоскость R2 или ее часть, ограниченная некоторыми линиями.

есть представляет собой круг, без границы, с центром в начале координат и радиусом R = 3 (см. рис. 2).

y

3

Рис. 2

Графиком функции двух переменных z = f (x, y) называется

множество точек (x, y, f (x, y)) трехмерного пространства, представляющее

собой некоторую поверхность, если точка (x, y) из области определения D

(рис. 3), которая геометрически изображает данную функцию z .

Рис.3

4

Пример. Функция z = 9 − x2 − y 2 имеет областью определения D

замкнутый круг x2 + y 2 ≤ 9 и изображается верхней полусферой с центром в точке O(0,0,0) и радиусом R = 3 (см. рис. 4).

z

3

3

x

Рис. 4

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: таблицей, аналитически, графически. Будем пользоваться аналитическим способом: когда функция двух переменных задается с помощью формулы.

Как правило, изображение поверхности оказывается довольно трудной задачей. Поэтому для визуального представления функции используют линии уровня. Понятие линии уровня широко используется, прежде всего, в геодезии, картографии, а также при описании различных физических полей (температура, давление и пр.).

Линией уровня функции двух переменных z = f (x, y) называется

кривая, f (x, y) = C на плоскости Oxy в точках которой функция

сохраняет постоянное значение z = C .

Геометрически придание функции z постоянного значения C

означает пересечение поверхности z = f (x, y) с плоскостью z = C ,

параллельной координатной плоскости

Пример. Построить линии уровня функции z = х2 + у2 − 2 у.

5

Рис. 5

2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.

ε-окрестностью точки М0 (х0 , у0 ) Х называется круг, с центром

вточке М0 и радиусом ε .

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (х0 , у0 ) , за исключением, может быть, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = f (x, y) при х → х0 и у → у0 (или в точке (х0 , у0 ) ), если для любой последовательности точек (x1 , y1 ),

(x2 , y2 ) ,..., (xn , yn ),... сходящейся к точке (x0 , y0 ), соответствующая

последовательность значений функции zn = f (xn ; yn ) сходится к числу A .

6

Обозначается предел так: lim f (x, y) = A.

x→ x0 y→ y0

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем: каково бы ни было число ε > 0 , найдется δ - окрестность

точки (х0 , у0 ) , что во всех ее точках (х, у) , отличных от (х0 , у0 ) ,

Получили, что значение данного предела зависит от углового коэффициента к прямой y = k x . Но, так как предел функции не должен

7

зависеть от способа приближения точки (х, у) к точке (0,0) (например, по прямой y = 2x или y = −3x ), то рассматриваемый предел не существует.

М0 (х0 , у0 ) Х , если ее полное приращение в этой точке стремится к

Аналогично определяется частная производная по переменной у:

8

Из определения частных производных следует, что их нахождение сводится к обычному дифференцированию данной функции одной выделенной переменной при условии, что все остальные переменные считаются константами.

Пример. Найти частные производные функций:

(х0 , у0 ) , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

9