5135

Тогда формулу

Ньютона-Лейбница можно записать в виде

b

∫ f (x)dx = F (x)

b

= F (b) − F (a). Теорема доказана.

a

Решение.

Взяв

неопределенный интеграл ∫ x2 dx =

x3

+ C и

3

воспользовавшись формулой (4.1), решаем:

2

x

3

2

2

3

3

8

1

7

1

∫ x2 dx =

=

−

1

=

−

=

= 2

.

1

3

1

3

3

3

3

3

3

∫b

f (x)dx = ∫d

f (ϕ(t ))×ϕ¢(t )dt ,

(4.2)

a

c

подстановки x = ϕ (t ), т.

е.

a = ϕ (c),

b = ϕ (d ), где ϕ (t ) непрерывна

вместе со своей первой

производной

ϕ′ (t )

на промежутке [α , β ] и

монотонна

1

dx

Пример. Вычислить ∫

.

0

3x + 2

Решение. Заменяя

3x + 2 = t ,

находим

(3x + 2)′ dx = (t )′ dt ,

или

3dx = dt , откуда dx =

dt

.

Найдем

новые

пределы интегрирования

по

3

формуле: t = 3x + 2 .

Нижний предел t

при x = 0

равен:

t = 3 × 0 + 2 = 2 , а верхний

предел t при x = 1 равен:

t = 3 ×1 + 2 = 5 .

b

b

b

∫ udv = u × v

a - ∫ v × du .

a

a

1

Пример. Вычислить ∫ xex dx .

0

Решение. Обозначая u = x ,

dv = ex dx ,

получаем du = dx , v - ex .

Тогда

1

1

1

1 =e - (e1 - e0 ) = e - e +1 = 1.

∫ xex dx = xex

- ∫ ex dx = 1× e1 - 0 × e0 - ex

0

0

0

0

Ответ: 1.

9. Вычисление площади плоской фигуры

Если уравнение заданной линии есть

y = f (x),

то, как было

показано, площадь S криволинейной трапеции определяется формулой:

S = ∫a

f (x)dx .

a

Обобщим полученные результаты на случай вычисления площади

произвольной плоской фигуры.

Площадь

Q , ограниченная

кривыми

y = f1 (x)

и y = f2 (x) и

прямыми x = a ,

x = b , при условии f1 (x) ³ f2 (x), будет,

очевидно, равна

b

b

b

(x) - f2

(x)]dx .

Q = ∫ f1

(x)dx - ∫ f2

(x)dx = ∫ [ f1

(2.7)

a

a

a

y

y =

x

2

2

2

y =

2x

0

2

x

=

x2

2x =

x4

8x = x4 ;

x(x3 - 8) = 0,

откуда x = a = 0 ,

2x

;

;

2

4

1

x2 = b = 2 .

Следовательно, в

соответствие

с

формулой (2.7)

2

2

x

2

2 2

x

3

2 2

2

3

Q = ∫ 2x -

dx =

x x -

=

× 2 2 -

=

3

6

3

0

2

0

6

1.1

z

=

у - х 2

.

1.2

z

=

х

.

у

1.3

z

=

у - х 2

.

х 2

1.4

z

= х 2 у + у .

1.5

z

=

у

.

х

2.1

z

= - 3 х 2 + 2 у , M 0 (1; −3) , a = {6; 8}.

2.2

z

= ln( 3 x + 2 y ) ,

M 0 (−1; 2) ,

a = {− 3; −4}.

2.3

z

= arctg

y

,

M

0 (1; 1) , a = {− 5; 12}.

x

2.4

z

=

x + y

,

M

(1;

−2) ,

a = {1; 2}.

x 2 +

y 2

0

2.5

z

=

хy 3

+ x 3 у ,

M 0 (1;

3) , a = {2; −1}.

2.6

z

=

х 2 × cos у ,

M 0

(1;

π ) ,

a = {5; −12}.

2

2.7

z

= sin( π ху ) ,

M 0 (1; 1) ,

a = {1; −1}.

2.8

z

= ln (x + y 2 ),

M 0 (3;

4) ,

a = {6; −8}.

z

=

xy

M

(0; 1)

, a

= {−

1;

−

}

2.9

x 2 + y 2

+ 1 ,

0

1 .

= sin(

x − y ) , M 0 (

π

π

a = {− 3; −4}.

2.10

z

2

;

4 ) ,

поверхности

z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 , z0 ):

3.1

z = 1 + х2 + 2 у2

, M 0 (1; 1; 4) .

3.2

х 2

+ у 2

− z 2 = − 1 ,

M 0 (2; 2; 3) .

3.3

z

= ln(

х 2

+ у 2 ) ,

M

0

(1; 0; 0) .

3.4

z

= 1 + х 2

+ 2 у 2

, M

0

(1; 1; 4) .

3.5

x2

+ y2 + z 2

− 4x + 6 y − 8z −1 = 0 , M

0

(1; 2; 2) .

3.6

z = x4 + 2x2 y − xy + x , M 0 (1; 0; 2) .

3.7

x 2

+ 2 y 2

− 3z 2 + xy + yz − 2xz + 16 = 0 , M 0 (1; 2; 3) .

×(1,04)7,98 .

4.1

3

7,98

.

4.2

3

(4,97)2 + (1,06)2 +1

ln(3

+ 2

− 1) .

4.3

0,98

1,03

4.4

5,03

.

(5,03)3 + (1,96)2

(3,04)2

4.5

arctg

.

2

(2,97)

.

4.6

5

(4,03)2 + (0,96)5 + 15

ln((2,02)3 + 5

− 8) .

4.7

0,96

5.1

f ( x , y ) = х 2

− 6 x + у 2

− 2 y + 1 .

5.2

f ( x , y ) = х 2

− 2 x + у 2

− 4 y + 2 .

5.3

f ( x , y ) = х 2

− 6 x + у 2

− 8 y + 3 .

5.4

f ( x , y ) = х 2

− 2 x + у 2

− 2 y + 4 .

5.5

f ( x , y ) = х 2

− 4 x + у 2

− 6 y + 5 .

5.6

f ( x , y ) = х 2

− 8 x + у 2

− 2 y + 6 .

5.7

f ( x , y ) = х2 − 10 x + у 2 − 2 y + 7 .

5.8

f ( x , y ) = х 2

− 2 x + у 2

− 6 y + 8 .

6.1

z = 6 xy − 9 x 2 − 9 у 2 + 4 x + 4 y ,

D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 .

6.2

z = xy + x 2 − 2 ,

D : y = 0, y = 4x2 − 4 .

6.3

z = 4 xy + 4 x 2 − у 2 − 8 y ,

D : x = 0, y = 2x, y = 2 .

6.4

z = 2 xy + x 2 − у 2 + 4 x ,

D : x = 0, y = 0, y = −x − 2 .

6.5

z = − 3 xy + 5 x 2 + у 2 ,

D : −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1.

6.6

z = 0 ,5 x 2 − x у ,

D : y = 2x2 , y = 8 .

6.7

z = − xy + 3 x + y ,

D : y = x, y = 4, x = 0 .

6.8

z = xy − 3 x − 2 у ,

D : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 .

6.9

z = xy + x 2 − 3 x − y ,

D : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 .

6.10

z = xy − x − 2 у ,

D : y = x, y = 0, x = 3 .