5107

точку x = 1 , которая не принадлежит отрезку [1; 2] (см. рис. 17). Значения

4

функции z(x) на концах отрезка [1; 2] равны:

3)Сравнивая полученные результаты в пунктах а), б), в), г),

31

Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину P = AB + BC + CD (см. рис. 19) границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [4], что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят,

что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

Наиболее часто сооружают каналы, а также оросительные и водосточные канавы с сечением формы равнобочной трапеции ( АВ=CD,

см. рис. 19).

A F E D

α

h

α

B C

Рис.19

Пример. Найти наивыгоднейший с точки зрения гидравлики профиль канала трапецеидальной формы.

Решение. Найдем размеры поперечного сечения канала заданной

32

последнее равенство в (3), находим

наименьшее значение.

Найдя частные производные функции P(h,α ) и приравняв их к нулю,

получим систему уравнений:

33

также при удалении в бесконечность по h функция P(h,α )

неограниченно возрастает. Поэтому точку (h0 ,α 0 ) можно окружить таким

ÐАВС = 120O .

34

§ 3. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. Основные понятия

Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.

Основной задачей интегрального исчисления является обратная

Если для данной функции f (x) существует первообразная, то она не является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных можно взять следующие функции:

F (x) = sin x + 1, F (x) = sin x − 2

или в общем виде

F (x) = sin x + C ,

где C – произвольная постоянная, так как при любом значении C

(sin x + C )′ = (sin x)′ + (C )′ = cos+ 0 = cos x .

В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида sin x + C все возможные первообразные для cos x или существуют еще функции другого вида, которые также будут первообразными для

Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если есть какая-либо из первообразных для данной функции f (x), то самое общее выражение для первообразной имеет вид:

35

F (x) + C ,

где C – есть первообразная постоянная.

Доказательство. Пусть F1 (x) есть любая функция, имеющая своей

производной F1′(x) = f (x).

С другой стороны, рассматриваемая функция F (x) также имеет

f (x) своей производной, то есть F ′(x) = f (x).

Вычитая это равенство из предыдущего, имеем:

F1′(x) − F ′(x) = (F1 (x) − F (x))′ = f (x)− f (x) ≡ 0

и, следовательно,

F1 (x)− F (x) ≡ C ,

где C есть постоянная, что и требовалось доказать.

Действительно, если производная некоторой дифференцируемой функции ϕ′(x) ≡ 0 , то сама функция ϕ(x) может быть только постоянной.

Полученный результат можно сформулировать и так: если производная (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Если функция F (x) является первообразной для f (x), то семейство всех ее первообразных функций F (x) + C называется неопределенным

36

постоянная.

2. Таблица основных интегралов

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В интегральном исчислении нет универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. Методы нахождения первообразных сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

Степенные функции:

Показательные функции:

∫ ex dx = ex + C ;

37

Тригонометрические функции:

∫sin x dx = − cos x + C ;

∫cos x dx = sin x + C ;

∫tgx dx = − ln cos x + C ;

∫ctgx dx = − ln sin x + C ;

∫ 1 dx = tgx + C ; cos2 x

∫ 1 dx = −ctgx + C . sin 2 x

Дробные рациональные функции:

Иррациональные функции:

3.Основные свойства неопределенного интеграла

1.Если f (x) ≡ g(x), то ∫ f (x)dx = ∫ g(x)dx + C ,

38

3.∫ F′(x)dx = F (x)+ C , где C – произвольная постоянная.

4. ∫ a f (x)dx = a∫ f (x)dx , a Î R , a ¹ 0 .

5.∫ ( f (x)± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .

= 3 x2 - 2 ln x + 2 x x + C.

4. Простейшие способы интегрирования. Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл удается привести к одному или нескольким табличным интегралам. К табличному виду обычно удается привести не очень сложные интегралы путем элементарных тождественных преобразований подынтегральных функций, а также воспользовавшись основными свойствами неопределенного интеграла. Поясним сказанное примерами.

Пример. Найти ∫ (x - 3)2 dx .

Решение.

∫(x - 3)2 dx = ∫ (x2 - 6x + 9)dx = ∫ x2 dx - ∫ 6xdx + ∫ 9dx =

=x3 - 6∫ xdx + 9∫ dx = x3 - 6 x2 + 9x + C = x3 - 3x2 + 9x + C. 3 3 2 3

39

Выполнив под знаком интеграла очевидные тождественные преобразования (возвести разность в квадрат), свели данный интеграл к трем табличным интегралам ∫ xn dx , n = 2;1; 0. постоянная C (которая в данном примере равна сумме трех постоянных C = C1 + C2 + C3 )

появляется тогда, когда исчезают знаки интеграла.

Пример. Найти ∫ x2 + 1 dx . x

Решение.

=x2 + ln x + C .

2

Интегрирование заменой переменной.

Во многих случаях ∫ f (x)dx можно упростить, если вместо x

ввести новую переменную t , положив

тогда

dx = ϕ′(t )dt .

Для приведения данного интеграла к новой переменной достаточно привести к новой переменной его подынтегральное выражение

где

x= ϕ(t ),

всправедливости чего легко убедиться, продифференцировав обе части равенства (3) и воспользовавшись затем формулами (1) и (2).

Метод замены переменной интегрирования, является одним из наиболее эффективных и распространенных методов интегрирования. С другой стороны, не существует общих правил, которые во всех случаях

40