5076

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Прокопенко Н.Ю.

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям, практическим занятиям

(включая рекомендации по организации самостоятельной работы),

по выполнению расчетно-графической работы

для обучающихся по дисциплине «Методы оптимизации» по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика

направленность (профиль) Прикладная информатика в экономике

Нижний Новгород

2022

УДК 004.9

Прокопенко Н.Ю. / Методы оптимизации: учебно-методическое пособие / Н.Ю. Прокопенко; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет – Нижний Новгород: ННГАСУ, 2022. – 15 с.– Текст: электронный.

В настоящем учебно-методическом пособии по дисциплине «Методы оптимизации» даются конкретные рекомендации учащимся для освоения как основного, так и дополнительного материала дисциплины и тем самым способствующие достижению целей, обозначенных в учебной программе дисциплины. Цель учебно-методического пособия — это помощь в усвоении лекций, в подготовке к практическим занятиям, а также в написании расчетно-графической работы.

Учебно-методическое пособие предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине «Методы оптимизации» по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика, направленность (профиль) Прикладная информатика в экономике.

© Н.Ю. Прокопенко, 2022

© ННГАСУ, 2022

2

1. Общие положения

. 1.1 Цели изучения дисциплины и результаты обучения

Основными целями освоения учебной дисциплины «Методы оптимизации» является до-

стижение результатов обучения, предусмотренных установленным в ОПОП индикаторами дости-

жения компетенций.

Целями освоения данной учебной дисциплины являются: изучение математических методов и базовых алгоритмов оптимизации, используемых при моделировании и проектировании слож-

ных систем, получение навыков их практической реализации на компьютере.

В процессе освоения дисциплины студент должен Знать:

основные положения теории оптимизации;

в чем заключаются особенности задач безусловной и условной нелинейной оптимизации;

основные алгоритмы условной и безусловной оптимизации функций одной и нескольких

переменных.

Уметь:

оптимизировать одномерную и многомерную целевую функции;

составлять алгоритмы для решения задач оптимизации;

применять численные методы для поиска экстремума нелинейных функций.

Владеть:

навыками оптимизации одномерной и многомерной целевой функции с помощью про-

граммных средств;

навыками элементарного программирования отдельных алгоритмов оптимизации, плани-

рования и проведения вычислительного эксперимента и анализа получаемых результатов.

. 1.2 Содержание дисциплины

Материал дисциплины сгруппирован по следующим разделам:

1. Оптимизационные задачи нелинейного программирования. Их классификация.

Основные понятия. Классификация и примеры оптимизационных нелинейных задач в науке,

производстве и экономике. Сравнение моделей линейного и нелинейного программирования.

2. Безусловная нелинейная оптимизация функций одной переменной. Классификация мето-

дов.

Безусловная одномерная оптимизации. Численные методы безусловной оптимизации функ-

ции одной переменной: метод перебора, дихотомии, золотого сечения, парабол.

3. Безусловная оптимизация функции многих переменных.

Классические (точные) методы безусловной оптимизации функции многих переменных.

Численные методы безусловной оптимизации функции многих переменных нулевого, первого и второго порядка: метод покоординатного поиска, метод наискорейшего спуска, метод сопряжен-

ных градиентов, метод Ньютона.

4. Условная оптимизация функции многих переменных.

Методы условной оптимизации функции многих переменных в задачах с ограничениями-

равенствами и с ограничениями-неравенствами. Графический анализ задач нелинейного програм-

мирования. Метод множителей Лагранжа. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа и нормировочных градиентов. Метод штрафных функций.

. 1.3 Вспомогательная литература для изучения дисциплины

Для освоения дисциплины обучающийся может использовать печатные и электронные из-

дания и методические материалы, имеющиеся в библиотеке ННГАСУ и/или размещённые в элек-

тронных библиотечных системах (ЭБС), предоставляющих право использования изданий на осно-

вании договорных отношений с университетом, а также иные общедоступные ресурсы сети «Ин-

тернет».

Печатные и электронные издания

1. Бабенышев С. В.. Методы оптимизации: Учебное пособие. / Бабенышев С. В., Матеров Е. Н. ; С.

В. Бабенышев, Е. Н. Матеров. – Железногорск : Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2019. – 135 с. – URL: URL: http://www.iprbookshop.ru/90184.html. – ISBN ISBN 22278397.

2. Гайлит, Е. В.. Методы оптимизации и Методы оптимизации. Элементы выпуклого и динамиче-

ского программирования : учебное пособие. / Гайлит, Е. В. ; Е. В. Гайлит. – Санкт-Петербург :

Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна, 2020.

– 71 с. – URL: URL: https://www.iprbookshop.ru/118382.html. – ISBN ISBN 978-5-7937-1883-7.

3. Олейникова, С. А.. Численные Методы оптимизации : практикум. / Олейникова, С. А., Сергеева,

Т. И., Сергеев, М. Ю. ; С. А. Олейникова, Т. И. Сергеева, М. Ю. Сергеев. – Воронеж : Воронеж-

ский государственный технический университет, ЭБС АСВ, 2021. – 90 с. – URL: URL: https://www.iprbookshop.ru/118625.html. – ISBN ISBN 978-5-7731-0937-2.

4. Методы оптимизации и Методы оптимизации в примерах : практикум. / Полуян, А. Ю., Петрен-

кова, С. Б. ; составители: А. Ю. Полуян, С. Б. Петренкова. – Ростов-на-Дону : Донской государ-

ственный технический университет, 2019. – 28 с. – URL: URL:

5

https://www.iprbookshop.ru/117726.html. – ISBN ISBN 2227-8397.

Методические материалы по дисциплине

1. Прокопенко Наталья Юрьевна. Методы оптимизации: учеб.-метод. пособие по подгот. к лекци-

ям, практ. занятиям (включая рекомендации по орг. самостоят. работы) для обучающихся по дис-

циплине "Методы оптимизации" по направлению подгот. 09.03.03 Приклад. информатика, про-

филь Приклад. информатика в экономике. / Прокопенко Наталья Юрьевна ; Нижегор. гос. архит.-

строит. ун-т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2016. – 1 CD ROM. – URL: URL: http://catalog.nngasu.ru/MarcWeb2/.

2. Прокопенко Наталья Юрьевна. Математическое и имитационное моделирование: учеб.-метод.

пособие по подгот. к лекциям, практ. занятиям (включая рекомендации по орг. самостоят. работы)

для обучающихся по дисциплине "Мат. и имитац. моделирование" по направлению подгот. 09.03.03 Приклад. информатика, профиль Приклад. информатика в экономике. / Прокопенко Ната-

лья Юрьевна; Нижегор. гос. архит.-строит. ун-т. – Нижний Новгород: ННГАСУ, 2016. – 1 CD ROM. – URL: URL: http://catalog.nngasu.ru/MarcWeb2/.

2. Методические указания по подготовке к лекциям

. 2.1 Общие рекомендации по работе на лекциях

Лекция является главным звеном дидактического цикла обучения. Ее цель – формирование основы для последующего усвоения учебного материала. В ходе лекции преподаватель в устной форме, а также с помощью презентаций передает обучаемым знания по основным, фундаменталь-

ным вопросам изучаемой дисциплины.

Назначение лекции состоит в том, чтобы доходчиво изложить основные положения изуча-

емой дисциплины, ориентировать на наиболее важные вопросы учебной дисциплины и оказать помощь в овладении необходимых знаний и применения их на практике.

При подготовке к лекционным занятиям студенты должны ознакомиться с презентаций,

предлагаемой преподавателем, отметить непонятные термины и положения, подготовить вопросы с целью уточнения правильности понимания. Рекомендуется приходить на лекцию подготовлен-

ным, так как в этом случае лекция может быть проведена в интерактивном режиме, что способ-

ствует повышению эффективности лекционных занятий.

. 2.2 Общие рекомендации при работе с конспектом лекций

В ходе лекционных занятий необходимо вести конспектирование учебного материала. Кон-

6

спект помогает внимательно слушать, лучше запоминать в процессе осмысленного записывания,

обеспечивает наличие опорных материалов при подготовке к семинару, зачету, экзамену.

Полезно оставить в рабочих конспектах поля, на которых делать пометки из рекомендован-

ной литературы, дополняющие материал прослушанной лекции, а также подчеркивающие особую важность тех или иных теоретических положений.

В случае неясности по тем или иным вопросам необходимо задавать преподавателю уточ-

няющие вопросы. Следует ясно понимать, что отсутствие вопросов без обсуждения означает в большинстве случаев неусвоенность материала дисциплины.

. 2.3 Контрольные вопросы

1.Привести примеры оптимизационных нелинейных задач в науке, производстве и экономике.

2.Формулировка задач нелинейного программирования и их классификация.

3.Унимодальные функции. Выпуклые функции. Геометрический смысл выпуклости функции.

4.Как проверить, является ли функция выпуклой или вогнутой.

5.Глобальный и локальный максимум (минимум). Методы нахождения.

6.Пусть данная точка удовлетворяет достаточным условиям существования локального минимума. Как установить, является ли этот минимум глобальным.

7.Приведите алгоритм определения глобального оптимума.

8.Точный метод поиска экстремума функции одной переменной.

9.Одномерная минимизация функций. Прямые методы: перебора, поразрядного поиска и дихотомии

10.Метод сканирования

11.Экстремум каких функций можно найти методом сканирования?

12.Основное достоинство метода сканирования.

13.Способ «размещения» точек вычисления критерия оптимальности на оси Х.

14.Каким образом повысить точность нахождения решения?

15.Условие отыскания оптимального решения.

16.Метод деления пополам

17.Для каких функций пригоден метод половинного деления?

18.Каково основное достоинство метода половинного деления?

19.Каким образом повысить точность нахождения решения Х*?

20.Условие отыскания оптимального решения.

7

21.Всегда ли метод гарантированно дает решение?

22.Каким образом определяется следующий отрезок, на котором находится экстремум?

23.Одномерная минимизация функций. Метод золотого сечения.

24.Всегда ли метод гарантированно дает решение?

25.Как влияет вид функции на процесс нахождения решения?

26.Каким образом определяется следующий отрезок, на котором находится экстремум?

27.Основное достоинство метода золотого сечения.

28.Каким образом повысить точность нахождения решения?

29.Что делится по правилу золотого сечения?

30.Сколько раз нужно вычислить значение функции на каждом шаге?

31.Одномерная минимизация функций. Метод средней точки и метод хорд.

32.Одномерная минимизация функций. Метод Ньютона.

33.Условие окончания поиска.

34.Каким образом повысить точность нахождения решения?

35.Всегда ли метод гарантированно дает решение?

36.Возможно ли нахождение решения задачи оптимизации за один шаг?

37.Как влияет вид функции на процесс нахождения решения?

38.Квадратичные формы и их типы. Градиент и его геометрический смысл.

39.Классические (точные) методы безусловной оптимизации функции многих переменных.

Критерий Сильвестра проверки достаточных условий экстремума.

40.Классические (точные) методы безусловной оптимизации функции многих переменных.

Формулировка способа проверки условий экстремума функции многих переменных через собственные значения матрицы Гессе.

41.Главные отличительные признаки методов второго порядка от методов первого и нулевого порядков.

42.Численные методы безусловной оптимизации функции многих переменных. Классифика-

ция методов. Итерационный процесс поиска минимума. Исчерпывающий спуск.

43.Численные методы нулевого порядка безусловной оптимизации функции многих перемен-

ных. Метод покоординатного спуска.

44.Численные методы первого порядка безусловной оптимизации функции многих перемен-

ных. Метод наискорейшего спуска.

45.Численные методы второго порядка безусловной оптимизации функции многих перемен-

ных. Метод Ньютона.

46.Отличия метода Ньютона от метода Ньютона-Рафсона и от метода Марквардта.

8

47.Общая постановка задачи динамического программирования. Условия применимости.

Проблемы реализации. Примеры.

48.Классические методы условной оптимизации функции многих переменных в задачах с ограничениями-равенствами. Метод Лагранжа

49.Классические методы условной оптимизации функции многих переменных в задачах с ограничениями-неравенствами.

50.Численные методы поиска условного экстремума функции многих переменных.

51.Проблемы овражности и проблемы реализации.

3.Методические указания по подготовке к практическим занятиям

. 3.1 Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям

В ходе подготовки к практическим занятиям необходимо изучать основную литературу, по-

знакомиться с дополнительной литературой. При этом необходимо учесть рекомендации препода-

вателя и требования учебной программы.

В соответствии с этими рекомендациями и подготовкой полезно дорабатывать свои конспек-

ты лекции, делая в нем соответствующие записи из литературы, рекомендованной преподавателем и предусмотренной учебной программой. Целесообразно также подготовить тезисы для возмож-

ных выступлений по всем учебным вопросам, выносимым на практическое занятие.

При подготовке к занятиям можно также подготовить краткие конспекты по вопросам темы.

Очень эффективным приемом является составление схем и презентаций.

Готовясь к докладу или реферативному сообщению, желательно обращаться за методической помощью к преподавателю. Составить план-конспект своего выступления. Продумать примеры с целью обеспечения тесной связи изучаемой теории с реальной жизнью. Своевременное и каче-

ственное выполнение самостоятельной работы базируется на соблюдении настоящих рекоменда-

ций и изучении рекомендованной литературы.

. 3.2 Примеры задач для практических занятий

Задача 1.

Показать, что функция унимодальна на отрезке [3; 5].

Задача 2.

Выяснить, является ли функция f(x)=х2-3х+хlnx на отрезке [1;2] унимодальной.

Задача 3.

9