Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4797

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

509.39 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Л.А. Протасова, П.В. Столбов

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ.

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»

для обучающихся по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии (без профиля)

Нижний Новгород

2016

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Л.А. Протасова, П.В. Столбов

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ.

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»

для обучающихся по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии (без профиля)

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

ББК 85.15 П 83 Б 93

Протасова Л.А. Дифференциальные уравнения. Ряды. [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Л.А. Протасова, П.В. Столбов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 23 с.– 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

Даны основные понятия теории дифференциальных уравнений. Изложена методика решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и линейных. Разобраны вопросы теории и методики решения линейных однородных и неоднородных уравнений второго порядка с подробным рассмотрением математической модели линейного осциллятора. Приведены решения уравнений свободных и вынужденных колебаний.

Рассмотрены основные понятия теории числовых, функциональных и степенных рядов, методики определения сходимости числовых рядов и разложения функций в степенные ряды. Приведены примеры использования степенных рядов для приближенных вычислений значений функции и определенных интегралов. Даны варианты контрольных заданий по рассмотренным темам.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии (без профиля) для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика».

§1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Вкурсе математики средней школы изучались алгебраические уравнения, где неизвестными были числа. Сейчас мы переходим к рассмотрению так называемых дифференциальных уравнений, при решении которых находят неизвестные функции, удовлетворяющие заданным соотношениям, включающим операцию дифференцирования.

Рассмотрим для начала задачу о законе изменения скорости свободного падающего тела. Пусть тело массы m падает с некоторой высоты. Учтем, что кроме силы тяжести, на него действует сила сопротивления воздуха. Запишем второй закон Ньютона

m ×	dv	= mg - kv ,	(1.1)

	dt

предполагая, что сила сопротивления пропорциональна скорости v в

каждый момент времени t с коэффициентом пропорциональности k .

Уравнение (1.1), кроме неизвестной функции v = v(t ), содержит еще и ее

производную dv = v¢(t ). Это и есть дифференциальное уравнение. dt

Дадим общие определения. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

F (x, y, y′) = 0 ,	(1.2)
связывающее независимую переменную x и искомую функцию	y с ее

первой производной y′ . Если y′ можно явно выразить через оставшиеся

переменные уравнения (1.2), то оно приобретает вид

y′ = f (x, y).

(1.3)

Решением дифференциального уравнения (1.2) называется всякая

функция y = ϕ (x), которая при подстановке в уравнение (1.2) обращает его

в тождество.

Можно убедиться, в частности, что функция

k
v (t ) = C ×e− mt + mg	(1.4)

при любом значении постоянной C удовлетворяет уравнению (1.1).

Действительно, подставляя функцию (1.4) и ее производную

v¢(t ) = -	k	Ce−	k
				t	в (1.1), получим тождество. Это означает, что функция
			m

	m
вида (1.4) является решением уравнения (1.1).
Заметим, что мы нашли бесконечно						много	функций,
удовлетворяющих					дифференциальному уравнению	(1.1) –	каждому
значению постоянной C соответствует свое решение вида (1.4).
Множество функций y = ϕ (x,C ), обращающих						уравнение	(1.3) в

тождество, называют общим решением дифференциального уравнения

(1.3). Запись общего решения содержит произвольную постоянную C .

Заметим, что решение дифференциального уравнения может быть

записано и в неявном виде Φ ( x, y,C ) = 0 .
Допустим, что в рассматриваемой задаче известна скорость	тела в
начальный момент времени t = 0 . Обозначим её v0 = v(0).	Чтобы
определить, как будет изменяться скорость тела в дальнейшем, выделим

из найденного множества решений (1.4) только одно - то, которое

соответствует начальному	условию	v0	= v(0). При			t = 0	и v = v0 из
множества решений (1.4)	получим	v0	= C +	mg	,	откуда	C = v0	-	mg	.


				k					k

Подставляя найденное значение постоянной в (1.4), получим закон изменения скорости v падающего тела при заданном начальном условии

(v(0) = v0 ):

−	k	t		mg		−	k	t

v (t ) = v0 ×e m			+		1	- e m .			(1.5)
				k

Согласно последнему равенству, скорость v падающего тела при

t → ∞ будет стремиться к величине	mg	. Отсюда,	в частности,	можно

	k
найти нужный коэффициент сопротивления k			(парашют),	чтобы

обеспечить приземление с допустимой скоростью. Функция (1.5)

представляет собой так называемое частное решение уравнения (1.1),

соответствующее начальному условию v0 = v(0).

Частным решением уравнения (1.3) называется одна функция,

удовлетворяющая самому уравнению и начальному условию. Задачу нахождения частного решения дифференциального уравнения (1.3),

удовлетворяющего данному начальному условию y(x0 ) = y0 ,			называют
задачей Коши. Если правая часть	f (x, y) уравнения (1.3) непрерывна в
некоторой области, содержащей	начальную точку	( x0 , y0 ) ,	и имеет
		∂f
непрерывную в этой области частную производную		∂y , то задача Коши

имеет единственное решение. При этих условиях частное решение получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной C .

Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения – интегральной кривой. Рассмотрим геометрическую интерпретацию решений уравнения (1.3) на конкретном примере. Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения

y′ = 2x ,	(1.6)
удовлетворяющего начальному условию
y(2) = 4 .	(1.7)

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функция вида

y = x2 + C

(1.8)

обращает уравнение (1.6) в тождество. Она содержит произвольную постоянную C и является общим решением уравнения (1.6). Построив в плоскости xOy графики этих функций при различных значениях C . мы получим семейство парабол (рис.1).

Чтобы выделить из этого семейства интегральных кривых конкретную параболу, соответствующую условию (1.7), рассмотрим точку с координатами (2;4). Через нее проходит парабола семейства (1.8), для которой C = 0 . Соответствующее решение y = x2 является искомым частным решением.

	1
0	1	2	x
			x

-2 -3

Рис. 1

Переходим к рассмотрению конкретных видов дифференциальных уравнений первого порядка и методов их решения.

Если правая часть f (x, y) дифференциального уравнения (1.3) может быть записана в виде произведения функций двух функций Q(x) и P(y),

зависящих от переменных x и y соответственно, то есть y′ = Q(x)× P(y),

то уравнение называют дифференциальным уравнением с

разделяющимися переменными.

Учитывая, что y′ = dy , перепишем последнее уравнение в виде dx

	dy	= Q(x)× P(y)		или	dy = Q(x)× P(y)dx .
		= Q(x)× P(y)		или	dy = Q(x)× P(y)dx .
	dx
Умножая обе части последнего уравнения на						1	(P (y) ¹ 0), получим
Умножая обе части последнего уравнения на						P (y)	(P (y) ¹ 0), получим
						P (y)
вид уравнения			dy	= Q(x)dx ,			(1.9)
вид уравнения			P (y)	= Q(x)dx ,			(1.9)
			P (y)
в котором каждая из переменных x и y					находится в той части уравнения,

где ее дифференциал. Считая y известной функцией от x , равенство (1.9)

можно рассматривать как равенство двух дифференциалов и интегрировать обе части уравнения (1.9). Полученные при этом функции

∫

P ( y )

∫

P( y) =

Q ( x) =

Q ( x)dx

будут

отличаться

постоянным

слагаемым: P( y) = Q ( x) + C .

Мы записали

соотношение,

связывающее

решение

y , независимую переменную x и произвольную постоянную C ,

это

соотношение

представляет

собой

общее

решение

дифференциального уравнения (1.3).

Уравнение с разделяющимися переменными, записанное исходно в

дифференциальной форме

P1 (x)× Q1 (y)dx + P2 (x)× Q2 (y)dy = 0 ,

решается аналогично.

Решим для примера дифференциальное уравнение

y¢ =

(1.10)

Функцию f (x, y) =

в правой части уравнения можно представить в виде

произведения

f (x, y) = Q(x)× P(y) =

× y и переписать уравнение (1.10):

или

dy =

dx .

Умножая

обе

части последнего

уравнения на функцию

(y ¹ 0),

получим

. Интегрируя

∫

= ∫

, находим

= ln

+ ln

или

= ln

, откуда y = C x –

общее решение уравнения (1.10), где

C –

произвольная постоянная.

Решим далее задачу Коши: найдем решение уравнения

(1 + x2 )dy + y 2 dx = 0 ,

(1.11)

при условии, что

y(0) =1.

(1.12)

Дифференциальное уравнение (1.11) с разделяющимися переменными запишем в виде

(1 + x2 )dy = -y 2 dx .

(y ¹ 0), разделим

Умножая обе части последнего уравнения на

y 2

× (1 + x2 )

переменные:

= -

y 2

1 + x2

Интегрируя

∫

= -∫

находим

= -arctg x + C ,

или

1 + x

= arctg x + C , где

C – произвольная постоянная.

Итак, общее решение уравнения (1.11) имеет вид

= arctg x + C .

Учет

начального

условия

(1.12)

дает

= arctg 0 + C ,

откуда

C = 1.

Следовательно, решение задачи Коши записывается в виде

= arctg x +1

или y =

1 + arctgx

Рассмотрим далее линейные дифференциальные уравнения

первого порядка, которые, по определению, имеют вид
	y′ + p(x)× y = q(x).							(1.13)
Решение уравнения (1.13) будем искать в виде произведения
					y = u × v			(1.14)
двух неизвестных функций		u = u(x) и v = v(x), тогда
	y¢ = (u × v)′ = u¢ × v + u × v¢ .							(1.15)
Подставив в уравнение (1.13)				вместо y и y′ равенства			(1.14) и	(1.15)
соответственно, получим
	′		′	+ p(x)× u × v = q(x),
	u v + uv			+ p(x)× u × v = q(x),
или	′	+ u(v			′	+ p(x)× v) = q(x).		(1.16)
или	u v	+ u(v				+ p(x)× v) = q(x).		(1.16)
Рассмотрение	вместо	одной неизвестной функции					y = y(x)	двух

функций u(x) и v(x) дает возможность ввести для одной из них, в

частности v(x), дополнительное условие, которое упростит уравнение. Оно


состоит в требовании обращения выражения								v′ + p(x)× v в нуль, то есть
				v′ + p(x)× v = 0 .						(1.17)
		Уравнение (1.17) является дифференциальным уравнением с
разделяющимися			переменными			v	и	x .	Его	запишем в виде
	dv	+ p(x)× v = 0	или	dv	= - p(x)× v .		Умножая		обе	части последнего
		+ p(x)× v = 0	или		= - p(x)× v .		Умножая		обе	части последнего
	dx			dx

уравнения на dx , разделяем переменные: dv = - p(x)× dx . Интегрируем

		v		v
∫	dv	= -∫ p(x)× dx	и находим одно из решений уравнения (1.17), например,
∫		= -∫ p(x)× dx	и находим одно из решений уравнения (1.17), например,
	v
при постоянной			C = 0 .	Это решение обозначим	v = v0 ( x) .	Для второй
неизвестной функции				u(x) из (1.16) получим	уравнение	u′ × v0 = q ( x) .

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023508.71 Кб14792.pdf
#
21.11.2023508.82 Кб14793.pdf
#
21.11.2023509.23 Кб04794.pdf
#
21.11.2023509.33 Кб04795.pdf
#
21.11.2023509.34 Кб04796.pdf
#
21.11.2023509.39 Кб14797.pdf
#
21.11.2023509.66 Кб04798.pdf
#
21.11.2023509.72 Кб04799.pdf
#
21.11.202383.71 Кб048.pdf
#
21.11.2023123.4 Кб0480.pdf
#
21.11.2023509.85 Кб04800.pdf