4758

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

в (1.1), получим тождество. Это означает, что функция

вида (1.4) является решением уравнения (1.1).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

504.63 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» (ННГАСУ)

Методические указания и контрольные задания по математике для студентов заочного обучения всех направлений

Часть 3

Нижний Новгород ННГАСУ

2013

УДК 517.9

Методические указания и контрольные задания по математике для студентов заочного обучения всех направлений. Часть 3 [Текст]: метод. разраб. для студентов/ Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т; сост. П.В. Столбов, Л.А. Протасова – Н.Новгород: ННГАСУ, 2013.- 61с.

Методические указания и контрольные задания по математике предназначены для студентов заочной формы обучения всех направлений.

Составители: П.В. Столбов, Л.А. Протасова

§1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Вкурсе математики средней школы изучались алгебраические уравнения, где неизвестными были числа. Сейчас мы переходим к рассмотрению так называемых дифференциальных уравнений, при решении которых находят неизвестные функции, удовлетворяющие заданным соотношениям, включающим операцию дифференцирования.

Рассмотрим для начала задачу о законе изменения скорости свободного падающего тела. Пусть тело массы m падает с некоторой высоты. Учтем, что кроме силы тяжести, на него действует сила сопротивления воздуха. Запишем второй закон Ньютона

m	dv	= mg − kv ,	(1.1)

	dt
предполагая, что сила сопротивления пропорциональна скорости			v	в
каждый момент времени t с коэффициентом пропорциональности				k .

Уравнение (1.1), кроме неизвестной функции v = v(t), содержит еще и ее

производную dv = v′(t). Это и есть дифференциальное уравнение. dt

Дадим общие определения. Дифференциальным уравнением

первого порядка называется уравнение

F(x, y, y′)= 0,	(1.2)
связывающее независимую переменную x и искомую функцию	y с ее

первой производной y′. Если y′ можно явно выразить через оставшиеся

переменные уравнения (1.2), то оно приобретает вид
y′ = f (x, y).	(1.3)

Решением дифференциального уравнения (1.2) называется функция y =ϕ(x), которая при подстановке в уравнение (1.2) обращает его в тождество.

Можно убедиться, в частности, что функция

v(t) = C e−	k	t +	mg
	m			(1.4)
			k

при любом значении постоянной C удовлетворяет уравнению (1.1). Действительно, подставляя функцию (1.4) и ее производную

Заметим, что мы нашли бесконечно	много	функций,
удовлетворяющих дифференциальному уравнению	(1.1)	– каждому
значению постоянной C соответствует свое решение		вида (1.4).

Множество функций y = ϕ(x,C), обращающих уравнение (1.3) в

тождество, называют общим решением дифференциального уравнения

(1.3). Запись общего решения содержит произвольную постоянную C.

Заметим, что решение дифференциального уравнения может быть

записано и в неявном виде Φ(x, y,C) = 0.
Допустим, что в рассматриваемой задаче известна скорость	тела в
начальный момент времени t = 0. Обозначим её v0 = v(0).	Чтобы
определить, как будет изменяться скорость тела в дальнейшем, выделим

из найденного множества решений (1.4) только одно - то, которое

соответствует начальному	условию	v0 =v(0).		При		t = 0	и v =v0 из
множества решений (1.4)	получим	v =C+	mg		,	откуда	C = v		−	mg	.


		0		k				0		k

Подставляя найденное значение постоянной в (1.4), получим закон изменения скорости v падающего тела при заданном начальном условии

(v(0)= v0 ):

−	k	t		mg		−	k	t

v(t) = v0 e m			+		1	− e m		.	(1.5)
				k

Согласно последнему равенству, скорость v падающего тела при

t → ∞ будет стремиться к величине mg . Отсюда, в частности, можно k

найти нужный коэффициент сопротивления k (парашют), чтобы

обеспечить приземление с допустимой скоростью. Функция (1.5) представляет собой так называемое частное решение уравнения (1.1), соответствующее начальному условию v0 =v(0).

Частным решением уравнения (1.3) называется одна функция, удовлетворяющая самому уравнению и начальному условию. Задачу нахождения частного решения дифференциального уравнения (1.3),

удовлетворяющего данному начальному условию y(x0 ) = y0 ,			называют
задачей Коши. Если правая часть	f (x, y) уравнения (1.3) непрерывна в
некоторой области, содержащей	начальную точку	(x0 , y0 ),	и имеет
		∂f
непрерывную в этой области частную производную		∂y , то задача Коши

имеет единственное решение. При этих условиях частное решение получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной C.

Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения – интегральной кривой. Рассмотрим геометрическую интерпретацию решений уравнения (1.3) на конкретном примере. Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения

y′ = 2x ,

(1.6)

удовлетворяющего начальному условию

y(2)= 4. (1.7) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функция вида

y = x2 + C

(1.8)

обращает уравнение (1.6) в тождество. Она содержит произвольную постоянную C и является общим решением уравнения (1.6). Построив в плоскости xOy графики этих функций при различных значениях C. мы получим семейство парабол (см. рис.1).

Чтобы выделить из этого семейства интегральных кривых конкретную параболу, соответствующую условию (1.7), рассмотрим точку с координатами (2;4). Через нее проходит парабола семейства (1.8), для которой C = 0. Соответствующее решение y = x2 является искомым частным решением.

	1
0	1	2	x
			x

-2 -3

Рис. 1

Переходим к рассмотрению конкретных видов дифференциальных уравнений первого порядка и методов их решения.

Если правая часть f (x, y) дифференциального уравнения (1.3) может быть записана в виде произведения функций двух функций Q(x) и P(y), зависящих от переменных x и y соответственно, то есть y′ = Q(x) P(y), то уравнение называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Учитывая, что y′ = dy , перепишем последнее уравнение в виде dx

	dy	= Q(x) P(y)		или dy = Q(x) P(y)dx.
		= Q(x) P(y)		или dy = Q(x) P(y)dx.
	dx
Умножая обе части последнего уравнения на						1	(P(y)≠ 0), получим
Умножая обе части последнего уравнения на						P(y)	(P(y)≠ 0), получим
						P(y)
			dy		= Q(x)dx,		(1.9)
			P(y)		= Q(x)dx,		(1.9)
			P(y)

в котором каждая из переменных x и y находится в той части уравнения, где ее дифференциал. Считая y известной функцией от x , равенство (1.9) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов и интегрировать обе части уравнения (1.9). Полученные при этом функции

∫

P(y)

∫

P(y) =

Q (x) =

Q(x)dx

будут

отличаться

постоянным

слагаемым: P1(y) = Q1 (x)+ C .

Мы записали

соотношение,

связывающее

решение

y , независимую переменную x и произвольную постоянную C ,

это

соотношение

представляет

собой

общее

решение

дифференциального уравнения (1.3).

Уравнение с разделяющимися переменными, записанное исходно в

дифференциальной форме

P1 (x) Q1 (y)dx + P2 (x) Q2 (y)dy = 0,

решается аналогично.

Решим для примера дифференциальное уравнение

y′ =

(1.10)

Функцию f (x, y)=

в правой части уравнения можно представить в виде

произведения

f (x, y)= Q(x) P(y)=

y и переписать уравнение (1.10):

или

dy =

dx.

Умножая

обе

части последнего

уравнения на функцию

(y ≠ 0),

получим

. Интегрируя

∫

= ∫

, находим

= ln

+ ln

или ln y = lnCx , откуда y = C x – общее решение уравнения (1.10), где

C – произвольная постоянная.

Решим далее задачу Коши: найдем решение уравнения

(1+ x2 )dy + y2 dx = 0,

(1.11)

при условии, что

y(0)=1.

(1.12)

Дифференциальное уравнение (1.11) с разделяющимися

переменными запишем в виде

(1+ x2 )dy = −y2 dx.

Умножая обе части последнего уравнения на

≠ 0), разделим

(1+ x2 )

переменные:

= −

1+ x2

Интегрируя

∫

= −∫

находим

−

= −arctg x + C ,

или

+ x

= arctg x + C , где C – произвольная постоянная.

Итак, общее решение уравнения (1.11) имеет вид

= arctg x + C .

Учет начального

условия

(1.12)

дает

= arctg0 + C ,

откуда

C =1.

Рассмотрим далее линейные дифференциальные уравнения первого порядка, которые, по определению, имеют вид

	y′ + p(x) y = q(x).			(1.13)
Решение уравнения (1.13) будем искать в виде произведения
		y = u v		(1.14)
двух неизвестных функций		u = u(x) и v = v(x), тогда
	y′ = (u v)′ = u′ v + u v′ .			(1.15)
Подставив в уравнение (1.13) вместо y и y′равенства			(1.14) и	(1.15)
соответственно, получим
	u′v + uv′ + p(x) u v = q(x),
или	u′v + u(v′ + p(x) v)= q(x).			(1.16)
Рассмотрение	вместо	одной неизвестной функции	y = y(x)	двух

функций u(x) и v(x) дает возможность ввести для одной из них, в частности v(x), дополнительное условие, которое упростит уравнение. Оно


состоит в требовании обращения выражения							v′ + p(x) v в нуль, то есть
				v′ + p(x) v = 0.					(1.17)
		Уравнение (1.17) является дифференциальным уравнением с
разделяющимися			переменными			v и	x .	Его	запишем в виде
	dv	+ p(x) v = 0	или	dv	= − p(x) v. Умножая			обе	части последнего
		+ p(x) v = 0	или		= − p(x) v. Умножая			обе	части последнего
	dx			dx

уравнения на dx , разделяем переменные: dv = − p(x) dx . Интегрируем

		v	v
∫	dv	= −∫ p(x) dx	и находим одно из решений уравнения (1.17), например,
∫		= −∫ p(x) dx	и находим одно из решений уравнения (1.17), например,
	v
при постоянной			C = 0. Это решение обозначим	v =v0 (x).	Для второй
неизвестной функции u(x) из (1.16) получим				уравнение	u′ v0 = q(x).

Снова разделяем

переменные

du =

q(x)dx

и,

интегрируя,

находим

v0 (x)

u = ∫

q(x)dx

+ C , где C – произвольная постоянная.

v (x)

Подставляя найденные u(x) и v =v0 (x)

в функцию (1.14), получаем

q(x)dx

решение уравнения (1.13) в виде

y =

v0(x).

∫ v0(x)

Найдем для примера общее решение уравнения

y′ − 2y = xe2x

(1.18)

В нем по условию

p(x) = −2 , q(x)= xe2x . Подставив в уравнение y = u v и

y′ = u′ v + u v′, получим

u′ v + u v′ − 2uv = xe2x ,

или

u′ v + u (v′ − 2v)= xe2 x .

(1.19)

В качестве функции

v возьмем

одно решение v =v0 (x)

уравнения

v′ − 2v = 0 при значении C = 0. Перепишем его в виде dv = 2v, разделим

переменные

= 2dx

и, интегрируя

∫

= 2∫dx , находим ln

=2x+C.

При C = 0 получим

v = v = e2x .

(1.20)

Подставим функцию (1.20) в (1.19), получим u′e2x = xe2x или

= x.

Снова разделяя переменные du = xdx и интегрируя

∫du = ∫xdx,

находим

u =

+ C,

(1.21)

где C – произвольная постоянная.

Подставляя найденные

функции

(1.20) и

(1.21)

в равенство y = u v,

получим общее решение данного уравнения (1.18)

y =

+ C e

2x .

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023503.64 Кб04753.pdf
#
21.11.2023503.9 Кб04754.pdf
#
21.11.2023504.23 Кб04755.pdf
#
21.11.2023504.25 Кб04756.pdf
#
21.11.2023504.28 Кб04757.pdf
#
21.11.2023504.63 Кб24758.pdf
#
21.11.2023504.73 Кб04759.pdf
#
21.11.2023122.83 Кб0476.pdf
#
21.11.2023504.82 Кб14760.pdf
#
21.11.2023504.86 Кб14761.pdf
#
21.11.2023505 Кб04762.pdf