4356

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Цилиндрическая жёсткость пластинки равна:

2 2104 кН / см21,23 см3

=2,4576104 кНсм2 / см=245,8кНм2 / м.

3(1− 0,252 )

Условия закрепления пластинки имеют следующий вид:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

457.1 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Кафедра сопротивления материалов

и теории упругости

Осесимметричный изгиб круглых пластин

Методические указания к расчётно-проектировочной работе №2 по курсу

«Теория упругости» для студентов направления – «Строительство»

Нижний Новгород – 2011

УДК 593.3

Плоская задача теории упругости. Методические указания к расчётно-проектировочной работе №2 по курсу «Теория упругости» для студентов направления – «Строительство» - Н.Новгород: Нижегород. гос. архит.-строит. ун-т, 2011 – 15 с.

Методические указания предназначены для студентов направления «Строительство», изучающих основы теории упругости. Приведена сводка основных формул оссесимметричного изгиба круглых пластин. Подробно разобран пример расчёта оссесимметричного изгиба круглой кольцевой пластинки. Приведены задания для выполнения расчётно-проектировочной работы №2 «Расчёт круглых пластин», таблица данных для каждого варианта, схемы загружения и закрепления пластин.

Составители: Ю.М.Кулагин, С.Ю.Лихачева, В.П. Страхов

Основные формулы теории осесимметричного изгиба круглых пластин.

Размеры кольцевой пластинки показаны на рис. 1. При осесимметричном нагружении пластинки все величины являются функцией лишь одной переменной – радиуса-вектора r.

Внутренние силы через прогиб w определяются по

следующим формулам:

- изгибающие моменты в радиальном направлении

d2w

= − D

- изгибающие моменты в окружном направлении

Mθ

+ν

d2w

= − D

- поперечная сила

d3w

1 d2w

1 dw

Рис. 1

= − D

r dr

2 −

Цилиндрическая жёсткость при изгибе пластин при толщине 2h

D =

2E h3

3(1−ν 2 ) .

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки

d4w

+ 2 d3w

− 1 d2w

+ 1 dw = q(r) .

dr4

r dr3

r2 dr2

r3 dr

Решение дифференциального уравнения для нагрузки равномерно распределённой по всей поверхности пластинки q(r) = const имеет следующий вид

w =

qr4

+ C ln r + C

r2 lnr + C r2 + C

64D

Угол поворота сечений пластинки определяется по формуле

qr3

+ C

(2r lnr + r)+ 2C

r .

dr 16 D

1 r

Усилия в сечениях кольцевой пластинки определяются по следующим формулам

= − D

(3+ν )qr2

− C

(1−ν )

+ C

(2(1+ν )lnr + (3

+ν ))+ 2(1

+ν )C

16D

= − D

(1+ 3ν )qr2

+ C

(1−ν )

+ C

(2(1+ν )lnr + (1+ 3ν ))+ 2(1+ν )C

16 D

= − D

+ 4C2

Условия закрепления краёв пластинки:

oсвободный край пластинки: Mr = 0, Qr = 0;

oшарнирно опёртый край пластинки: w = 0, Mr = 0;

oжёсткая заделка края пластинки: w = 0, dw/dr = 0;

oнеполная заделка края пластинки: dw/dr = 0, Qr = 0.

Пример выполнения расчётно-проектировочной работы №2 по теории упругости.

Условия задачи.

Для кольцевой пластинки, показанной на рис. 2, требуется:

1.Составить уравнения прогибов (w), углов поворота (dw/dr), изгибающих моментов (Mr , Mθ) и поперечных сил (Qr).

2.Определить постоянные интегрирования, входящие в уравнения, из условий закрепления пластинки и записать окончательные выражения w, dw/dr, Mr , Mθ, Qr .

3.Вычислить прогибы, углы поворота, изгибающие моменты, поперечные силы в ряде точек по длине радиуса-вектора и построить эпюры w, dw/dr, Mr , Mθ , Qr .

4.Вычислить напряжения max σr, max σθ и max τrz в опасных сечениях и произвести проверку прочности.

F = 6 кН/м	m = 10 кНм/м	F = 6 кН/м
q = 12 кН/м2	m = 10 кНм/м	q = 12 кН/м2
h	.	r
h	.
h
	b = 0,2 м	а = 1,2 м
		а = 1,2 м

Рис. 2

Толщина пластинки – 2h =2,4 см,

модуль упругости - Е = 2·105 МПа, коэффициент Пуассона - ν = 0,25, расчётные сопротивления – R = 210 МПа, Rs =130 МПа.

Решение.

1)r = b = 0,2 м:

2)r = b = 0,2 м:

3)r = a = 1,2 м:

w = 12·0,24/64D + C1·ln 0,2 + C2·0,22·ln 0,2 + C3·0,22 + C4 = 0.

Mr = - D {(3+0,25)12·0,22/16D – C1·(1-0,25)/0,22 + C2[2(1+0,25) ln 0,2 + + (3+0,25)] + C3 2(1+0,25)} = -10.

dw = 12·1,23/16D + C1/1,2 + C2[2·1,2 ln 1,2 + 1,2] + C3 2·1,2 = 0. dr

4) r = a = 1,2 м: Qr = - D [12·1,2/2D + C2 4/1,2] = 6.

Для определения постоянных интегрирования получили систему уравнений

		5
- 1,60944 С1	- 0,06438 С2	+ 0,04 С3	+ С4	=	- 0,0003/D
- 18,7500 C1	- 0,77360 С2	+ 2,50 С3		=	9,9025/ D
0,83333 C1	+1,63757 С2	+ 2,40 С3		=	- 1,2960/ D
	3,33333 С2			=	- 13,200/ D

3. Решая систему уравнений имеем следующие значения постоянных интегрирования:

С1 = - 0,073099/D, C2 = - 3,96/D, C3 = 2,1874/D, C4 = - 0,46039/D.

4. С учётом полученных постоянных интегрирования перемещения и усилия в пластинке будут определяться по формулам:

w = 1 [0,1875r4 − 0,073099ln r −3,96r2 ln r + 2,1874r2 − 0,46039 ]

				dw			=	1	0,75r3		−	0,073099					− 3,96r(2ln r + 1)+ 4,3748r
							=		0,75r3		−						− 3,96r(2ln r + 1)+ 4,3748r
				dr										r
				dr				D						r
				M			= − 2,4375r2				−			0,0548243					+ 9,9ln r + 7,4015
				M		r	= − 2,4375r2				−								+ 9,9ln r + 7,4015
						r								r2
				M			= −1,3125r2				+	0,0548243						+ 9,9ln r + 1,4615
				M		θ	= −1,3125r2				+							+ 9,9ln r + 1,4615
						θ								r	2
														r
			Q				= −6r +			15,84
			Q				= −6r +
					r					r
										r
5. Значения перемещений и усилий в сечениях пластинки равны

r (м)	0,2		0,3				0,4		0,5			0,6				0,7				0,8		0,9	1,0		1,1	1,2

Dw		0	0,255				0,542		0,835				1,117			1,375					1,598	1,780		1,915	1,997		2,025

w (мм)		0	1,03				2,20		3,39				4,54			5,59					6,50	7,24		7,79	8,12		8,24

Dθ			2,762				2,934		2,899							2,421						1,589			0,558
Dθ		2,273	2,762				2,934		2,899				2,715			2,421					2,038	1,589		1,092	0,558		0

θ (рад)		0,009	0,011				0,012		0,012				0,011			0,010					0,008	0,007		0,004	0,002		0

Mr		- 10	- 5,35				- 2,40		- 0,29				1,31			2,56					3,54	4,31		4,91	5,35		5,66
		- 10	- 5,35				- 2,40		- 0,29				1,31			2,56					3,54	4,31		4,91	5,35		5,66
(кНм/м)

Mθ		- 13,15	- 9,97				- 7,48		- 5,51				- 3,92			- 2,60					- 1,50	- 0,58		0,20	0,86		1,42
Mθ

(кНм/м)

Qr		78,00	51,00				37,20		28,68				22,80			18,43					15,00	12,20		9,84	7,80		6,00
		78,00	51,00				37,20		28,68				22,80			18,43					15,00	12,20		9,84	7,80		6,00
(кН/м)

6. Эпюры перемещений и усилий в пластинке приведены на рис. 3.

			6
F = 6 кН/м			m = 10 кНм/м				F = 6 кН/м
q = 12	кН/м	2	m = 10 кНм/м		q = 12	кН/м	2
q = 12	кН/м				q = 12	кН/м
h			.					r
h			.
h
			r = 0,2 м		r = 1,2 м
					r = 1,2 м
			z
			w (мм)
			0,00	2,20	4,54	6,50	7,79	8,24
+							+
			dw/dr (рад)
	+				+
			0,0092	0,0119	0,0110	0,0083	0,0044	0,0000
			Mr (кНм/м)
			-	-	1,31	3,54	4,91	5,66
+			10,00	2,40			+
			10,00	2,40
			M (кНм/м)
	-				-		0,20	1,42
							0,20	1,42
			13,15	7,48	3,92	1,50
			Qr (кН/м)
	+				+
			78,00	37,20	22,80	15,00	9,84	6,00
			Рис. 3

Эпюры перемещений и усилий

7. Проверка прочности пластинки.

Погонный момент инерции - J =

(2h)3

2,43

= 1,152см4 /см.

Опасное сечение при r = 0,2 м: Mr = - 10 кНсм/см, Mθ = - 13,15 кНсм/см.

Нормальные напряжения в сечении -

z =

−10

z, σ

Mθ

z = −13,15 z.

1,152

Максимальные напряжения в сечении.

z = - 1,2 см: maxσr = −10 (−1,2)= 10,42 кН/см2 = 104,2 МПа, 1,152

maxσθ = −13,15 (−1,2)= 13,65 кН/см2 = 136,5 МПа. 1,152

Главные напряжения - σ1 = 136,5 МПа, σ2 = 104,2 МПа, σ3 = 0. Условие прочности при изгибе:


σ IV	=	1	[(σ		−σ		)2	+ (σ		−σ		)2	+ (σ		−σ		)2	]=
σ IV	=		[(σ	1	−σ	2	)2	+ (σ	2	−σ	3	)2	+ (σ	3	−σ	1	)2	]=
экв		2		1		2			2		3			3		1
		2

= 0,5[(136,5 −104,2)2 + (104,2 − 0)2 + (0 −136,5)2 ]= 99,2МПа < R = 210 МПа.

z = + 1,2 см: maxσr = −10 (+1,2)= −10,42 кН/см2 = - 104,2 МПа, 1,152

maxσθ = −13,15 (+1,2)= −13,65 кН/см2 = - 136,5 МПа. 1,152

Главные напряжения - σ1 = 0 МПа, σ2 = - 104,2 МПа, σ3 = - 136,5 МПа.

Условие прочности при изгибе:

σэквIV = 0,5[(0 +104,2)2 + (−104,2 +136,5)2 + (−136,5− 0)2 ]= 99,2МПа < R = 210 МПа.

Проверка прочности на срез - τ =	3 maxQr	=	3	0,78кН/см		= 0,4875	2
							кН/см =
	2 A		2	2,4см2	/ см

= 4,9 МПа < Rs = 130 МПа.

Таким образом, прочность пластинки обеспечена.

Задание к расчётно-проектировочной работе №2 по теории упругости

« РАСЧЁТ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ »

Для схемы № … пластинки при заданных размерах и нагрузке (строка № … таблицы) требуется:

1.Составить уравнения прогибов (w), углов поворота (dw/dr), изгибающих моментов (Mr , Mθ) и поперечных сил (Qr).

4.Вычислить напряжения max σr, max σθ и max τrz в опасных сечениях и произвести проверку прочности.

	Размеры пластинки			Расчётные нагрузки			Расчётные характеристики
								материала
№	a / b	b	2h	q	F	m	Е	ν	R	Rs
		(м)	(cм)	(кН/м2)	(кН/м)	(кНм/м)	(МПа)		(МПа)	(МПа)

1	2,0	0,5	1,5	10	20	10	2·105	0,25	210	130

2	2,5	0,5	2,0	10	30	12	2·105	0,25	210	130

3	1,5	1,0	3,0	15	20	5	2·105	0,25	210	130

4	2,0	0,4	2,0	20	10	10	2·105	0,25	210	130

5	1,6	1,5	4,0	30	20	12	2·105	0,25	210	130

6	2,5	0,4	4,0	25	15	10	2·105	0,25	210	130

7	1,8	0,3	2,5	30	30	15	2·105	0,25	210	130

8	1,5	1,0	5,0	15	40	10	2·105	0,25	210	130

9	2,0	0,5	2,0	40	20	15	2·105	0,25	210	130

10	2,2	0,4	6,0	40	50	20	2·105	0,25	210	130

11	1,8	0,5	2,0	30	40	15	2·105	0,25	210	130

12	2,5	0,4	4,0	20	50	10	2·105	0,25	210	130

13	3,0	0,5	5,0	30	30	20	2·105	0,25	210	130

14	3,5	0,2	3,0	25	20	15	2·105	0,25	210	130

15	4,0	0,3	2,5	20	15	15	2·105	0,25	210	130

Схемы нагружения и закрепления пластинок

1	q	q	2	q	q
			h		h
			h		h
		r = b			r = b
		r = a			r = a
		z			z

3		4
F	F	F	F
	h		h
	h		h

	r = b		r = b
	r = a		r = a
	z		z
5		6	m
F	F	m	m
	h		h
	h		h

		r = b			r = b
		r = a			r = a
		z			z
7	m	m	8	m	m
					m

		h			h
		h			h
		r = b			r = b
		r = a			r = a
		z			z
9	q	q	10	q	q
		h			h
		h			h
		r = b			r = b
		r = a			r = a
		z			z
11	F	F	12	F	F
	F	F		F	F
		h			h
		h			h
		r = b			r = b
		r = a			r = a
		z			z
13	F	F	14	m	m
	F	F		m	m

	h	h
	h	h
m	m
m		r = b
	r = b	r = b
	r = a	r = a
	z	z

15	q			q
				h
				h
			r = b
			r = a
			z
17	m	F
	m	F	F	m
				h
				h
			r = b
			r = a
			z
19	m	F		m
	m		F
			F
				h
				h
			r = b
			r = a
			z
21	q			q
				h
				h
			r = b
			r = a
			z
23	q	m	m	q
				h
				h
			r = b
			r = a
			z
25
	F			F
				h
				h
			r = b
			r = a
			z
27	q			q

h m

r = b

r = a

h h

		r = b
		r = a
		z
18	m F	F m
	m F	F m

h h

r = b

r = a

		h
		h
	m	m
		r = b
		r = a
		z
22	q	q
	m	m
		h
		h
		r = b
		r = a
		z
24	q	q
		h
		h
		r = b
		r = a
		z

26
F	F
	h
	h
	r = b
	r = a
	z

28	q	q
		h
		h

r = b

r = a

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023456.72 Кб04351.pdf
#
21.11.2023456.84 Кб04352.pdf
#
21.11.2023456.87 Кб04353.pdf
#
21.11.2023456.87 Кб04354.pdf
#
21.11.2023456.93 Кб04355.pdf
#
21.11.2023457.1 Кб04356.pdf
#
21.11.2023457.17 Кб14357.pdf
#
21.11.2023457.18 Кб04358.pdf
#
21.11.2023457.48 Кб04359.pdf
#
21.11.2023118.92 Кб0436.pdf
#
21.11.2023457.75 Кб14360.pdf