4210

причин возникновения неустойчивых точек весьма существенно и значимо. В диссертации обобщены результаты, полученные автором при исследования динамики биотических и абиотических систем при переходе в другое состояние через промежуточные стадии [А.Н. Салугин, В.А. Повицкий, Е. Ф. Макаров, Ю. В. Балдохин, 1977; А.Н. Салугин, 1978]. Следует отметить, что нелинейный характер этих процессов отражает общие закономерности переходов систем в другое состояние безотносительно от их качества.

3.КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВОДОСБОРОВ

ВЦЕЛЯХ ТРАССИРОВАНИЯ ПРОТИВОЭРОЗИОННЫХ КОНТУРОВ

Геофизические процессы приводят к образованию на склоновых системах водосбора каскадных структур (система катен), в которых протекают сложные процессы трансформации солнечной радиации в биохимические реакции, круговорот элементов и влагооборот [Д.Л. Арманд, 1975]. Эрозионные процессы разрушают катены, принося ущерб не только плодородию почв, но также биоценозу в целом. В главе приводятся результаты разработки комплексной компьютерной технологии проектирования противоэрозионных мероприятий. Основополагающим фактором оптимального размещения защитных рубежей служит система линий тока (ЛТ), отражающая пространственное распределение направлений наибольшего смыва. Линии тока совпадают с локальными направлениями градиентов уровней и получались из производных по направлению для конкретной геологической поверхности. Цифровой образ поверхности формировался из данных топографических карт. В главе изложена концепция проектирования противоэрозионных мероприятий (ПЭМ), состоящая в использовании разработанных математических моделей с графическими и математическими пакетами, объединёнными в единый программный комплекс. Вначале была реализована программа с применением процедур обработки топографической информации. Важнейшей из них

19

является трассирование ЛТ. Для моделирования поверхности водосборов и трассирования ЛТ применялась триангуляция Делоне. Использование сетки треугольников позволило разработать эффективный алгоритм определения градиентной сетки, задающей ЛТ. Пример результата триангуляции и трассирования ЛТ представлен на рис. 3.

Рис. 3. Пример построения линий тока с применением триангуляции :1 - изолиния (горизонталь) векторизованной топокарты, 2 - триангуляционная сетка, 3 - линия тока

На основе систем ЛТ разработан алгоритм оптимального размещения противоэрозионных рубежей, учитывающий экономические и геоморфологические критерии. Выполненные теоретические исследования, построенные на их основе математические модели, сформированные банки данных по численной оценке основных характеристик эрозионно-гидрологического процесса, разработанные системы приемов и технологий послужили основой для разработки систем проектирования противоэрозионных мероприятий. Автоматизация проектирования ПЭМ способствовала повышению производительности труда инженера-проектировщика, существенно снизив сроки разработки при более высоком качестве проектирования. Практическое применение математического моделирования и автоматизации обработки картографической информации нашли отражение в разработке конкретных проектов Всероссийского НИИ агролесомелиорации.

20

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДОВ В ЭКОСИСТЕМАХ

Вторая часть диссертации посвящена исследованию динамики систем почвенного покрова. По данным аэрокосмического мониторинга исследовалась динамика опустынивания пастбищ Чёрных земель Калмыкии, представляющих обширный массив супесчаных и песчаных почв площадью свыше 2 млн. га. Процессы дефляции почв были прослежены по АКФ, полученных в период с 1954 по 1995 гг.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида

где yi - объём i-ro класса системы, a ij - коэффициенты взаимных переходов, bi - величина, характеризующая внешние воздействия со стороны окружающей среды, применялись для моделирования сложных экологических пространств в виде систем с большим числом разнотипных элементов и динамическим характером взаимодействия между ними. Результаты моделирования использовались при интерпретации результатов более сложных математических моделей. Для случаев, когда аналитическое решение не представлялось возможным, математическая модель реализовывалась численно. Качественное исследование поведение систем ОДУ выполнялось на аналитических моделях. Исходные значения площадей для различных типов пастбищ вводились в виде вектора с компонентами, соответствующими разным типам пастбищ (классам экосистемы) : S\ - исходные пастбища и сенокосы (исходный класс), S2 - среднесбитые пастбища, S3 - сильносбитые пастбища, S4 - разбитые пески (конечная стадия деградации).

Выявлена временная зависимость скоростей взаимных переходов между классами в виде полиномов, позволяющая уточнить математическую модель с постоянными коэффициентами. Наблюдалось смещение пиков экс-

21

тремумов промежуточных состояний пастбищ в сторону более поздних значений времени. При моделировании с переменными коэффициентами для исходных пастбищ (Si) и разбитых песков (S4) временная зависимость имеет форму выпукло-вогнутой (логистической) кривой. Подобная аппроксимация динамики превращений может быть использована для аналитического описания систем более сложной природы.

Разработанные математические модели позволили с большой вероятностью осуществлять прогноз моделируемого процесса. Использование тестовых моделей для исследования явлений, связанных с процессами дефляции и восстановления по механизму промежуточных состояний, позволяет применять результаты моделирования для других биотических систем. Это имеет важное практическое значение, так как наблюдения за функционированием систем в геоэкологии требует значительных материальных затрат и времени.

Математические модели использовались для прогноза поведения систем пастбищ Калмыкии. Ограничение в продолжительности экстраполяционного прогноза было связано с характером поведения временного ряда прогнозируемого элемента и его репрезентативностью. В случае долгосрочных прогнозов экстраполяционный прогноз применим для монотонных рядов тренда и в нашем случае подходил для исходных пастбищ и разбитых песков (классы S1 и S4). На рис. 4 приведены результаты математического моделирования для этих видов экосистемы. Из рисунка видно, что процессы дефляции необратимо разрушают исходные пастбища S 1 ( t ) , а логистический рост разбитых песков S4(t) указывает на необратимость катастрофического разрушения. Изменение промежуточных элементов S2(t) и S3(t) сопровождается переходом в некоторые метастабильные состояния (точки бифуркации). Наблюдения за промежуточными стадиями деградации позволили исследовать устойчивость экосистемы и определять параметры взаимных переходов, связанных с антропогенным воздействием. Точки бифуркации определялись по

22

кривым аппроксимации данных о взаимных переходах, полученных при мониторинге. Использовалась полиномиальная регрессия третьего порядка (рис.5). Для среднесбитых пастбищ (S2 ), (рис. 5а) в 1968 году произошел качественный перелом, после которого начался процесс разрушения. Сильносбитые пастбища (S3) достигают экстремума в 1988 году (рис. 56).

Рис.4. Численное решение математической модели ОДУ с переменными коэффициентами

Модель с матрицей переходов, зависящих от времени, привела к коррекции поведения всех уровней дефляции для модели с постоянными коэффициентами переходов. Было выявлено достаточно хорошее согласие с аэрокосмическим трендом, что свидетельствует об адекватности модели и её применимости для прогноза.

23

Данные АКФ

Математическая модель функционирования пастбищной системы и поиск оптимального управления на примере Чёрных земель Калмыкии позволили получить практические результаты для прогноза её состояния, сохранения и стабилизации. Исследования показали, что эколого-экономические обратные связи обусловливают нелинейное поведение экосистемы, усложняющее процедуру прогнозирования. Долгосрочное прогнозирование следует проводить с помощью нелинейных моделей, применяя адекватное описание процессов дефляции с помощью системы ОДУ. Качественная устойчивость и равновесие функционирования таких систем обеспечиваются динамическим управлением. Данные прогноза предопределили разработку стратегии управления пастбищными системами. Управление с помощью целевой функции, определяющей прибыль, осуществлялось методом динамического программирования с использованием алгоритма о кратчайшем пути на графе возможных стратегий. Целевая функция оптимизации содержала затраты на проведение восстановительных работ, продуктивность пастбищ и прибыль. Результаты моделирования привели к выводу, что выполнение природоохранных мероприятий является необходимой составной частью рационального природопользования.

24

5. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ ДЕФЛЯЦИИ ЭКОСИСТЕМ

Нелинейность динамики систем не позволяет получать долгосрочные прогнозы их поведения, несмотря на использование хорошо разработанной методики обработки временных рядов. В связи с этим в работе применялся математический аппарат марковских процессов. Учитывая эргодичность решаемой задачи, марковские цепи (МЦ) оказались весьма эффективными при составлении моделей динамики и прогноза.

Составление МЦ проводилось на основе АКФ. Аэрокосмический мониторинг регистрировал во времени необходимое число классов и полученные со снимков данные считались репрезентативными для ЭВМдешифрирования. Одной из проблем составления адекватной МЦ являлось достижение достаточной точности при построении взвешенного орграфа. Значения весов его дуг задавались с точностью -2%. Переход к неоднородным цепям значительно увеличил интервал прогноза. На множестве временных интервалов изучались изменения площадей 4-х классов пастбищной системы для длинного ряда наблюдений. Исследования проводились на девяти матрицах переходов, покрывающих временной период в 40 лет с оптимальной повторностью съемки порядка 5-9 лет. Определение направления и скорости развития процесса осуществлялось путём сравнения матриц переходов на концах временных интервалов. При определении стационарного вектора

состояния решалось уравнение Колмогорова-Чепмена

Сравнение стационарных распределений классов систем, полученных из матриц с высокими степенями, позволило выявить временные неоднородности процесса и определить точки бифуркаций, когда траектория развития

25

качественно изменяется.

В некоторых случаях, несмотря на стохастичность процесса, представляется возможным изменять элементы матрицы переходов и марковский процесс становится управляемым. С помощью управляемых МЦ процесс принятия решений становится более эффективным и прозрачным. При составлении модели деградации учитывались как прямые (разрушительные), так и обратные (восстановительные) переходы. Матрица переходов

являлась эргодической.

Анализ данных за 40 лет (табл. 1) и сравнение динамики матриц пере-

26

деградации системы описывается сложной цепью Маркова. Изменение динамики переходов системы обусловлено её открытостью, взаимодействием с внешней средой. Математическая модель разрабатывалась с использованием основных положений теории МЦ в приближении одного временного интервала. Начальные векторы состояний Si(0) определялись по аэрокосмическим данным в начале каждого периода наблюдений начиная с 1954 г. Нормированные матрицы переходов (табл.1) определяют интенсивность переходов pij

между состояниями Si и Sj. Анализ матриц переходов показал, что их изменение во времени носит нелинейный характер. Динамическая модель МЦ позволила определять точки качественного перелома в поведении экосистемы (точки бифуркации) и сделать долгосрочные прогнозы. Модели с использованием марковских цепей при очевидной простоте дают адекватные результаты и наиболее удобны для исследователя, интересующегося проблемами устойчивости систем и прогнозами. Нелинейность МЦ описывалась параметром, определяющим степень отклонения экосистемы от равновесного состояния (дестабилизацией экосистемы δ(t)) и определялась выражением:

класса. Условная нагрузка γ(t) на систему определялась по данным численности скота и тренда площадей пастбищ, находящихся в трёх возможных со-

скота, ci — компоненты вектора весовых коэффициентов кормовых запасов. Из уравнений для δ(t) и γ(t) следует, что параметр дестабилизации δ(t) зависит от нагрузки на экосистему, определяемую величиной γ(t).

Изменение параметра δ(t) и относительное изменение R(t) во времени

27

(рис.7) указывает на неустойчивость экосистемы в точках перелома хода кривой δ(t), приходящихся на 1977 и 1988 гг., в то время как временная зависимость нагрузки на систему R(t) является монотонной.

Рис. 7. Полиномиальная регрессия временных зависимостей: 1 - параметров дестабилизации δ(t) и 2 - пастбищной нагрузки R(t)

Это позволило сделать вывод о том, что точки бифуркации открытой системы связаны с процессом динамического развития составляющих её классов. Функциональная связь между площадью пастбищ и условной нагрузкой предопределила предельную допустимую численность голов скота на 1 га для оптимального использования пастбищной системы. Нахождение точек бифуркаций, соответствующих режимам неустойчивого развития системы, позволило определить возможные нагрузки на неё. Анализ результатов моделирования показал, что сценарий экологического состояния системы мог бы быть другим в случае, если пастбищная нагрузка оставалась бы на уровне 60-х годов (рис.7), при котором уровень биозапаса системы остаётся неизменным и бифуркации отсутствуют.

Результатом моделирования МЦ явилась возможность определения времени стабильного существования классов системы. Математический аппарат МЦ может служить для создания динамической модели с изменяемой исходной матрицей переходов, позволяющей определять допустимые нагрузки и пролонгировать поведение системы на прогнозное время с целью определения режима её устойчивого динамического равновесия. Совместное использование дифференциальных уравнений и МЦ позволяет продвинуться к

28