4162

∫cos(7x + 4)dx =

1

∫cosu du =

1

sin u + C =

1

sin (7x + 4) + C .

7

7

7

Пример 4.3. Найти ∫

dx

.

cos

2

4x

Обозначая 4x = t , находим, что 4dx = dt

или dx =

dt

. Искомый интеграл

4

∫

dx

= ∫

dt

=

1

∫

dt

cos

2

4x

4cos

2

4

cos

2

t

t

свёлся к табличному

∫

dt

= tg t + C .

2

cos

t

Переходя к исходной переменной t = 4x , получим:

dx

=

1

tg 4x + C .

∫ cos2 4x

4

∫sin3 x cos x dx =

sin4 x

+ C .

4

Пример 4.5. Найти интеграл ∫

ln x

× dx .

x

Выполняя замену ln x = t , получим d ln x = dt

или dt =

1

dx . Интеграл равен

x

∫ln x

1

× dx = ∫t × dt =

t 2

+ C .

2

x

(3 -

)

23

1

2

2

+1

3

5

∫

2

∫

2

∫

2

1 t 3

2

4x

x dx = 2

t

3

-

dt = -

t 3 dt

= -

+ C = -

t 3

+ C .

8

8

4 2

20

+ 1

3

∫2x 3

× dx = -

3

(3 - 4x2 )53 + C .

Тогда

(3 - 4x2 )2

20

Пример 4.7 Найти интеграл

∫

e3x dx

.

3x

5 + e

Делая замену переменной 5 + e3x

= t , получим 3e3x dx = dt

или e3x dx =

1

dt .

3

∫

e3 x dx

=

1

∫

dt

=

1

+ C .

ln

t

5 + e3 x

3

t

3

∫

e3 x dx

=

1

+ e3x

+ C .

Тогда

ln

5

5 + e3 x

3

Пример 4.8. Найти интеграл

∫ctg x dx .

Преобразуем интеграл к виду:

∫ctg x dx = ∫

cos x dx

.

sin x

Выполняя замену sin x = t , получим cosx dx = dt .

Тогда ∫

cos x dx

=

∫

dt

= ln

t

+ C = ln

sin x

+ C .

sin x

t

∫

1

Пример 4.9. Найти интеграл

dx .

a

2

+ x

2

Вычисляемый интеграл сводится к интегралу, записанному в таблице под

номером (9). Вынося из-под знака интеграла постоянный множитель получим:

∫

dx

1

∫

dx

x

1

=

.

Заменяя

= t , находим

dx = dt

или dx = a dt .

a 2 + x2

a 2

x 2

a

a

1+

a

Интеграл преобразуется к виду:

1

∫

dx

1

∫

a dt

1

∫

dt

1

=

=

=

arctg t + C .

a 2

x 2

a2

1 + t 2

a

1 + t 2

a

1 +

a

Переходя к «старой» переменной

t =

x

, получим:

a

∫

dx

1

x

=

arctg

+ C .

a2

+ x2

a

a

§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Пусть даны

две

произвольные

дифференцируемые функции u = u ( x) и

v = v( x) . Тогда (u× v)' = u'× v+ u× v ' и, следовательно,

d (u× v) = u d v+ v d u .

∫ u d v = uv− ∫ v d u

(5)

Формула (5) называется формулой интегрирования по частям для

неопределённого интеграла.

С помощью этой формулы

нахождение интеграла ∫ u d v

сводится к

отысканию другого интеграла

∫ v d u . Применение формулы (5) целесообразно в

тех случаях, когда интеграл

∫ v d u

— табличный или проще исходного (легко

может быть найден).

∫ln xdx = x × ln x - ∫

1

× x × dx

x

Интеграл ∫

1

× x × dx = ∫dx более простой,

чем исходный и находится по

x

Пример 5.2. Найти интеграл ∫ x ln x dx .

Полагая u = ln x,

d v = xdx , находим d u =

1

dx , v =

x2

.

2

x

Согласно формуле (5) интеграл запишется:

x2

x2dx

x2

1 x2

x2

1

x ln x dx =

ln x −

=

ln x −

+ C =

ln x −

+ C .

∫

∫ 2x

2

2

2 2

2

2

Пример 5.3. Найти ∫ x sin x dx .

Если принять u = x sin x,

dv = dx , тогда

du = (sin x + x cos x)dx,

v = x .

Подставив в формулу (5), получим:

∫ x sin x dx =

1

x2 sin x − ∫ x2 cos x dx

, что интеграл

∫ x2 cos x dx сложнее исходного,

2

Тип интеграла

u

dv

∫P (x)× eax dx

eaxdx

∫P (x)× sin ax dx

P( x) — многочлен (полином)

sin axdx

∫ P (x)× cos ax dx

cos axdx

∫P ( x) × arcsin axdx

arcsin ax

∫P ( x) × arccos axdx

arccos ax

P( x) dx

∫P ( x) × arc tg axdx

arc tg ax

arcctg ax

∫P ( x) × arcctg axdx

∫P( x) × ln axdx

ln ax

P( x) dx

§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Интеграл ∫f ( x) dx от

рациональной функции f ( x) =

Pn ( x)

всегда может

Qm ( x)

3x5 + x4 − 2x3 + x2 − 7 x + 1

−

3x4 − 2x3 + x −1

получим

3x5 + x4 − 2x3 + x2 − 7

= 3x4 − 2x3 + x −1 −

6

,

где 3x4 - 2x3 + x -1 —

x

x + 1

+ 1

многочлен, а

6

— правильная дробь.

x +

1

Известно,

что любой многочлен, m —

степени имеет ровно m корней и его

можно представить в виде:

Q

m

( x) = xm + d xm−1 + d

2

xm−2 +L+ d

m

= ( x - a )γ1 ×( x - a )γ 2 L

1

1

2

L( x - ak )γ k ×(x2 + p1x + q1 )β1 L(x2 + pr x + qr )βr ,

где γ1,γ 2, Lγ k

—

кратность действительных корней,

а

β1, β2, Lβr — кратность

γ1 + γ 2 +L + γ k + 2( β1 + β2 + L + βr ) = m

равна степени полинома.

Пример 6.2. Разложить многочлены на множители:

a) x2 - 3x + 2 = ?

Решая

квадратное уравнение x2 - 3x + 2 = 0 ,

находим, что x1 = 1, x2 = 2 его корни.

Тогда x2 - 3x + 2 = ( x - x )( x - x ) или

x2 - 3x + 2 = ( x -1)( x - 2) , где x

и x —

1

2

1

2

b)

x3 + x2 − 2x = x ( x2 + x − 2) = x ( x − 1)( x + 2) , где

x1 = 0,

x2 = 1 и

x2 = −2 —

три действительных различных корня многочлена третьей степени.

c)

x3 + 6x2 + 9x = x(x2 + 6x + 9) = x( x + 3)( x + 3) = x ( x + 3)2 ,

где

x1 = 0,

x2 = −3 и x3 = −3 —

три действительных корня, из которых два корня

x2 и x3

—

кратные.

d)

x3 − 4x2 + 13x = x ( x2 − 4x + 13) ,

где

x1 = 0

один

простой

действительный корень и два комплексно сопряжённых корня.

Последние находятся из решения уравнения

x2 − 4x + 13 = 0

=

4 ±

=

4

= 2 ± 3

16 − 52

±

−36

x ,

3

−1

2

2

2

2

= i ,

x2 = 2 + 3i, x3 = 2 − 3i

Учитывая,

что

−1

получим

два

комплексно

сопряжённых корня.

Доказано,

что

правильную

дробь

Rα ( x)

можно

разложить

на

сумму

Qm ( x)

A

A

Mx + N

Mx + N

;

;

и

.

x − a

( x − a)α

x2 + px + q

(x2 + px + q)β

Rα ( x)

=

A1

+

A2

+ L +

Am

,

(7)

( x − a

)( x − a

)L( x − a

)

( x − a

)

( x − a

)

( x − a

m

)

1

2

m

1

2

Ai

.

x − ai