4162

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

где C = C1 + C2

Пример 3.3. Найти интеграл

+ 3sin t dt .

Пример 3.3. Найти интеграл

+ 3sin t dt .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

440.27 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В. Столбов

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

Учебно-методическое пособие

по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство, профиль Строительство автомобильных дорог, аэродромов, объектов транспортной инфраструктуры

Нижний Новгород

2016

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В. Столбов

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

УДК 517.9

Бесклубная А. В. / Основные приемы интегрирования (Неопределенный интеграл) [Электронный ресурс]: учеб.- метод. пос. / Бесклубная А.В., Неймарк В.Н., Столбов П.В; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 52 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

В учебно-методическом пособии приведены основные определения, таблица интегралов, свойства неопределенного интеграла; рассматриваются основные приемы интегрирования; на многочисленных примерах освещаются основные виды интегрируемых функций, предложены варианты контрольных заданий.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство, профиль Строительство автомобильных дорог, аэродромов, объектов транспортной инфраструктуры.

§ 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Определение 1. Функция F( x) называется первообразной для функции f ( x)

на отрезке [a,b] , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство:

			F( x ) ′			= f ( x )		(1)

Любые две первообразные F( x)						и F1 ( x ) для одной и той же функции f ( x)
отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е.
			F( x) = F1 ( x) + C,
где C —	произвольная постоянная.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f ( x)									назовем
неопределённым интегралом или интегралом от f ( x) и обозначим
			∫f ( x) dx = F( x) + C,					(2)
где ∫	—	знак	интеграла,	f ( x)		—	подынтегральная функция,	f ( x) dx		—
подынтегральное			выражение,		x	—	переменная интегрирования,		С	—
произвольная постоянная, F( x)				—	некоторая первообразная для функции f ( x) .
Пример 1.1. Пусть f ( x) = 3x2					—	подынтегральная функция, тогда интеграл от
этой функции запишется в виде:
				∫3 × x2dx = x3 + C .
Функция		F( x) = x3 + C является первообразной для функции f ( x) = 3x2 ,								так
как условие (1) выполняется т.е.
					(x3 + C )′ = 3x2 .

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие свойства:

		(∫	f ( x )dx	)			= F'( x )dx = f ( x)dx ,
a)	d		f ( x )dx		= d F( x ) + C		= F'( x )dx = f ( x)dx ,	(3)

т.е. знаки d и ∫ , когда первый помещен перед вторым, взаимно уничтожаются.

b) ∫d F( x) = ∫F'dx = F( x) + C	(4)
т.е. знаки d и ∫ , стоящие перед F( x)	уничтожаются и тогда, когда d стоит после

∫ , но только к функции F( x) нужно прибавить произвольную постоянную C .

§ 2. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

∫ xn × dx =

xn+1

+ C (n ¹ -1)

n +1

∫

× dx = ∫

= ln

∫ a x × dx =

a x

+ C

ln a

4.∫ex × dx = ex + C

5.∫sin xdx = -cos x + C

6.∫ cos xdx = sin x + C

∫

dx =

∫

= ∫sec2 x dx = tg x + C

cos2 x

∫

dx =

∫

∫cosеc x dx = -ctg x + C

sin

9. ∫

dx = ∫

= arctg x + C

1 + x

10.

∫

dx =

arctg

+ C

+ x

11.

∫

= ∫

= arcsin x + C

- x2

1 - x2

12.

∫

= arcsin

+ C

2 - x2

13. ∫

dx = ∫

= ln

x + x2

± a2

+ C

x2 ± a2

14. ∫

x - a

+ C

x2 - a 2

x + a

Справедливость формул, приведённых в таблице, легко проверяется по равенству (1) с помощью дифференцирования. Действительно, производная от правой части любого равенства в этой таблице равна подынтегральной функции. Например, для случая табличных интегралов под номерами (1) и (13), получим:

n+1

(n +1) xn = xn

+ C

n +

(

x + x2

± a2

+ C

)

1 +

× 2x

± a

2 x

± a

x2 ± a2

+ x

x +

± a

Таким образом, производная от правых частей равна соответствующим

подынтегральным функциям.

На примерах покажем, как пользоваться таблицей.

Пример. 2.1. Найти интеграл ∫ x5dx .

В таблице находим интеграл ∫ xndx =

xn+1

+ C , который при n = 5 совпадает с

n +1

искомым интегралом. Тогда, согласно таблице, запишем

∫ x5dx =

x5+1

+ C =

x6 + C .

5 +1

Пример. 2.2. Найти интеграл ∫ dx . x4

Приведем интеграл к табличному виду ∫ dx =∫ x−4 × dx , т.е. показатель степени x4

n = −4 . Тогда искомый интеграл равен:

∫ x−4 × dx = x−3 + C = - 1 x−3 + C = - 13 + C .
-3	3	3x

§3. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1.Постоянный множитель выносится из-под знака интеграла:

∫a f ( x)dx = a∫f ( x)dx ,

где a — произвольное число.

Пример 3.1. Найти интеграл ∫5sin xdx .

Согласно свойству (1), полагая a = 5 , f ( x) = sin x , получим:

∫5sin xdx = 5∫sin xdx .

Значение интеграла находим в таблице основных интегралов (равенство 6)

∫5sin xdx = 5(-cos x + C1 ) = -5cos x + C ,

где C = 5C1 .

2.Неопределённый интеграл от суммы (разности) двух или нескольких функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций

∫				∫	f ( x)dx ±	∫	g ( x)dx
f ( x) ± g	( x) dx =				f ( x)dx ±		g ( x)dx
	∫	1
Пример 3.2. Найти интеграл			+ cos x dx .
Пример 3.2. Найти интеграл			+ cos x dx .
		x

Согласно свойству (2), полагая f ( x) =					1		, g ( x) = cos x , получим
Согласно свойству (2), полагая f ( x) =					x		, g ( x) = cos x , получим
					x
	1			1
∫				∫				∫
∫		x		∫		x		∫
			+ cos x dx =				dx +		cos xdx .

По таблице основных интегралов (равенства 4 и 7, соответственно) находим:

dx = ln

+ C ,

∫ x

∫cos xdx = sin x + C2 .

Тогда

∫

+ cos x dx = ln

+ sin x + C ,

В этом примере переменной интегрирования является t . Согласно свойству (2) интеграл запишется

∫

+ 3sin t dt =

dt +

3sin tdt .

Вынося из-под знака интеграла постоянный множитель (свойство 1), получим:

− 3

− 1

∫

dt = 6∫

= 6∫

= 6∫t

2 dt = 6

+ C1

= −12t

−

t 2

∫3sin tdt = 3∫sin tdt = 3(− cost + C3 ) = −3cost + C4 , где C2 = 6C1,

Тогда

+ 3sin t dt = −

− 3cost

+ C , где C = C

+ C

∫

При вычислении неопределённых интегралов бывает следующее правило.

2+ C2

C4 = 3C3 .

полезно знать

3. Если ∫f (u )du = F(u ) + C , то ∫f (ax + b)dx = 1 F(ax + b) + C . a

Пример 3.4. Найти ∫sin 3xdx .

Согласно таблице основных интегралов запишем:

∫sin udu = − cosu + C .

Тогда при ax + b = 3x (a = 3, b = 0) согласно правилу (3), получим:

∫sin 3xdx = - 1 cos3x + C . 3

Пример 3.5. Найти ∫e2 x+5dx .

По таблице: ∫eu du = eu + C и по правилу (3) при ax + b = 2x + 5 (a = 2, b = 5)

получим:


∫e2 x+5dx =			1	e2 x+5 + C .

	2
Пример 3.6. Найти интеграл ∫	dx	.

	8x + 7

Известен интеграл ∫ duu = ln u + C . Полагая, ax + b = 8x + 7 , находим a = 8, b = 7 . Тогда, согласно правилу (3), получим:

∫	dx	=	1	ln	8x + 7	+ C .

	8x + 7		8

§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЁМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Пусть требуется найти интеграл ∫f ( x)dx , причем непосредственно по таблице подобрать первообразную для f ( x) не удаётся.

Выполним замену переменной интегрирования, положив x = ϕ (t ) , где ϕ (t )

имеет обратную функцию t =ψ (x) и непрерывную производную. Тогда подынтегральное выражение запишется в виде

f ( x)dx = f (ϕ (t ))dϕ (t ) = f (ϕ (t )) ×ϕt′dt

Замена выбрана удачно, если для подынтегральной функции f (ϕ (t )) ×ϕt'

первообразная является табличной, т.е.

∫f (ϕ (t ))×ϕt′dt = F(t ) + C .

2xdx

Найденная первообразная F = F(t ) при выполнении обратной замены переменной t =ψ ( x) , является первообразной для искомой функции f ( x) , т.е.

∫f ( x) dx = F(ψ ( x)) + C .

Продемонстрируем метод замены переменных на примерах.

Пример 4.1. Найти интеграл ∫ x2 + 5 .

Выполним замену переменной по формуле x2 + 5 = t . Дифференцируя левую

часть равенства t = x2 + 5 по t , а правую —

по x , находим dt = 2xdx .

Подынтегральное выражение,

соответствии

с заменой переменной

2xdx

∫

2xdx

= ∫

запишется:

или

+ 5

Значение интеграла

∫

находим

по таблице

основных интегралов, т.е.

∫

= ln

+ C .

Выполняя обратную замену переменных по формуле t = x2 + 5 , получим

∫

2xdx

x2 + 5

= ln

+ C = ln

+ C или

x2 + 5

∫

2xdx

x2 + 5

= ln

+ C .

x2 + 5

Пример 4.2. Найти ∫cos(7x + 4)dx .

Выполним замену переменной по формуле u = 7x + 4 . Дифференцируя обе

части равенства u = 7x + 4 , получим du = 7dx или dx =

Искомый интеграл свёлся к табличному

∫cos(7x + 4)dx = ∫cos u ×

∫cosu du , т.е.

∫cosu du = sin u + C

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023439.91 Кб04158.pdf
#
21.11.2023439.99 Кб04159.pdf
#
21.11.2023117.67 Кб0416.pdf
#
21.11.2023440.07 Кб14160.pdf
#
21.11.2023440.13 Кб04161.pdf
#
21.11.2023440.27 Кб04162.pdf
#
21.11.2023440.3 Кб04163.pdf
#
21.11.2023440.42 Кб24164.pdf
#
21.11.2023440.44 Кб04165.pdf
#
21.11.2023440.55 Кб04166.pdf
#
21.11.2023440.55 Кб04167.pdf