Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

4158

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
21.11.2023
Размер:
439.91 Кб
Скачать

0

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В. Столбов

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

Учебно-методическое пособие

по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.02 Землеустройство и кадастры,

профиль Городской кадастр

Нижний Новгород

2016

1

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В. Столбов

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

Учебно-методическое пособие

по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.02 Землеустройство и кадастры,

профиль Городской кадастр

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

2

УДК 517.9

Бесклубная А. В. / Основные приемы интегрирования (Неопределенный интеграл) [Электронный ресурс]: учеб.- метод. пос. / Бесклубная А.В., Неймарк В.Н., Столбов П.В; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 52 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

В учебно-методическом пособии приведены основные определения, таблица интегралов, свойства неопределенного интеграла; рассматриваются основные приемы интегрирования; на многочисленных примерах освещаются основные виды интегрируемых функций, предложены варианты контрольных заданий.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.02 Землеустройство и кадастры, профиль Городской кадастр.

© А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В.Столбов, 2016

© ННГАСУ, 2016.

3

§ 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Определение 1. Функция F( x) называется первообразной для функции

f ( x) на отрезке [a,b] , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство:

 

 

F( x )

= f ( x )

(1)

 

 

 

 

 

 

Любые две первообразные F( x)

и F1 ( x ) для одной и той же функции f ( x)

отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е.

 

 

 

F( x) = F1 ( x) + C,

 

где C

произвольная постоянная.

 

 

 

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f ( x)

назовем неопределённым интегралом или интегралом от f ( x) и обозначим

 

 

f ( x) dx = F( x) + C,

(2)

где

— знак

интеграла, f ( x)

подынтегральная функция, f ( x) dx

подынтегральное

выражение, x

переменная

интегрирования, С

произвольная постоянная, F( x) — некоторая первообразная для функции f ( x) .

Пример 1.1. Пусть f ( x) = 3x2 — подынтегральная функция, тогда интеграл

от этой функции запишется в виде:

3 × x2dx = x3 + C .

Функция F( x) = x3 + C является первообразной для функции f ( x) = 3x2 , так как условие (1) выполняется т.е.

(x3 + C )= 3x2 .

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие свойства:

 

 

(

f ( x )dx

)

 

 

= F'( x )dx = f ( x)dx ,

 

a)

d

 

 

= d F( x ) + C

(3)

4

т.е. знаки d и

, когда первый помещен перед вторым, взаимно уничтожаются.

b) d F( x) = F'dx = F( x) + C

(4)

т.е. знаки d и

, стоящие перед F( x) уничтожаются и тогда, когда d стоит

после , но

только к функции F( x)

нужно прибавить произвольную

постоянную C .

 

 

§ 2. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1.

xn × dx =

 

xn+1

 

+ C (n ¹ -1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

1

× dx =

dx

 

= ln

 

x

 

+C

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

a x × dx =

a x

 

+ C

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.ex × dx = ex + C

5.sin xdx = -cos x + C

6.cos xdx = sin x + C

7.

 

1

 

 

dx =

 

dx

 

 

= sec2 x dx = tg x + C

cos2 x

cos2 x

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

2

8.

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

=

cosеc x dx = -ctg x + C

sin

2

 

sin

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

1

 

 

dx =

 

 

 

 

dx

 

 

= arctg x + C

1

+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

dx =

1

 

arctg

x

 

 

+ C

 

a

2

+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

dx

=

 

 

 

dx

 

 

 

= arcsin x + C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

- x2

 

 

 

 

 

 

 

1 - x2

5

12.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

= arcsin

x

+ C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

 

 

 

 

1

 

 

dx =

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

 

x + x2

± a2

 

+ C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 ± a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 ± a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

dx

=

1

ln

 

x - a

 

+ C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

- a 2

 

2a

 

x + a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Справедливость формул, приведённых в таблице, легко проверяется по равенству (1) с помощью дифференцирования. Действительно, производная от правой части любого равенства в этой таблице равна подынтегральной функции. Например, для случая табличных интегралов под номерами (1) и (13), получим:

 

 

 

 

 

 

 

x

n+1

 

'

 

 

 

 

1

 

 

 

(n +1) xn = xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ C

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +

1

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

ln

x + x2

± a2

+ C

)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× 2x

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+

 

 

 

 

x

 

 

± a

 

 

 

 

 

2 x

 

± a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x2 ± a2

 

 

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

x

2

± a

2

 

×

 

 

x

2

± a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

± a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, производная от правых частей равна соответствующим

подынтегральным функциям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На примерах покажем, как пользоваться таблицей.

 

 

 

 

 

 

Пример. 2.1. Найти интеграл x5dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В таблице находим интеграл xndx =

xn+1

 

 

 

+ C ,

который при n = 5 совпадает

n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с искомым интегралом. Тогда, согласно таблице, запишем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5dx =

x5+1

+ C =

1

x6 + C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Пример. 2.2. Найти интеграл

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

Приведем интеграл к табличному виду

dx

 

=x−4 × dx , т.е. показатель

4

 

 

 

 

 

 

 

 

x

степени n = −4 . Тогда искомый интеграл равен:

 

 

 

 

 

x−4 × dx =

x−3

+ C = -

1

x−3 + C = -

1

+ C .

 

3

3

-3

 

 

 

 

 

 

 

3x

§3. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1.Постоянный множитель выносится из-под знака интеграла:

a f ( x)dx = af ( x)dx ,

где a — произвольное число.

Пример 3.1. Найти интеграл 5sin xdx .

Согласно свойству (1), полагая a = 5 , f ( x) = sin x , получим:

5sin xdx = 5sin xdx .

Значение интеграла находим в таблице основных интегралов (равенство 6)

5sin xdx = 5(-cos x + C1 ) = -5cos x + C ,

где C = 5C1 .

2.Неопределённый интеграл от суммы (разности) двух или нескольких функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x)dx ±

g ( x)dx

f

( x) ± g ( x) dx =

 

f

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.2. Найти интеграл

 

 

+ cos x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно свойству (2), полагая f ( x) =

1

,

g ( x) = cos x , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ cos x

dx =

 

 

 

dx

+

 

cos xdx .

7

По таблице основных интегралов (равенства 4 и 7, соответственно) находим:

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

dx = ln

x

+ C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

cos xdx = sin x + C2 .

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ cos x dx = ln

 

x

 

+ sin x + C ,

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где C = C1 + C2

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

Пример 3.3. Найти интеграл

 

 

 

 

 

+ 3sin t dt .

 

 

 

 

 

 

t

3

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом примере переменной интегрирования является t . Согласно свойству (2) интеграл запишется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3sin t dt =

 

 

 

 

 

dt +

 

 

3sin tdt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вынося из-под знака интеграла постоянный множитель (свойство 1),

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

dt

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

1

 

 

 

dt = 6

= 6

= 6t

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dt = 6

 

 

 

 

+ C1

= −12t

2

+ C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3sin tdt = 3sin tdt = 3(− cost + C3 ) = −3cost + C4 , где C2 = 6C1, C4 = 3C3 .

 

 

6

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

+ 3sin t dt = −

 

 

 

− 3cost + C , где C = C

2

+ C

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

3

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении неопределённых интегралов бывает полезно знать следующее правило.

3. Если f (u )du = F(u ) + C , то f (ax + b)dx = 1 F(ax + b) + C . a

8

Пример 3.4. Найти sin 3xdx .

Согласно таблице основных интегралов запишем:

sin udu = -cosu + C .

Тогда при ax + b = 3x

(a = 3,

b = 0) согласно правилу (3), получим:

 

sin 3xdx = -

1

cos3x + C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Пример 3.5. Найти e2 x+5dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По таблице: eu du = eu + C

 

 

и по

правилу

(3) при ax + b = 2x + 5

(a = 2, b = 5) получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2 x+5dx =

1

e2 x+5 + C .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Пример 3.6. Найти интеграл

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x + 7

 

 

Известен интеграл

du

= ln

 

u

 

+ C .

Полагая,

ax + b = 8x + 7 , находим

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = 8, b = 7 . Тогда, согласно правилу (3), получим:

dx

=

1

ln

 

8x + 7

 

+ C .

 

 

8x + 7

8

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЁМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Пусть требуется найти интеграл f ( x)dx , причем непосредственно по таблице подобрать первообразную для f ( x) не удаётся.

Выполним замену переменной интегрирования, положив x = ϕ (t ) , где

ϕ (t ) имеет обратную функцию t =ψ (x) и непрерывную производную. Тогда подынтегральное выражение запишется в виде

f ( x)dx = f (ϕ (t ))dϕ (t ) = f (ϕ (t )) ×ϕtdt

2xdx

9

Замена выбрана удачно, если для подынтегральной функции f (ϕ (t )) ×ϕt'

первообразная является табличной, т.е.

f (ϕ (t ))×ϕtdt = F(t ) + C .

Найденная первообразная F = F(t ) при выполнении обратной замены переменной t =ψ ( x) , является первообразной для искомой функции f ( x) , т.е.

f ( x) dx = F(ψ ( x)) + C .

Продемонстрируем метод замены переменных на примерах.

Пример 4.1. Найти интеграл x2 + 5 .

Выполним

замену

переменной

по формуле x2 + 5 = t . Дифференцируя

левую часть равенства t = x2 + 5 по t , а правую — по x , находим dt = 2xdx .

Подынтегральное выражение,

в соответствии с заменой переменной

 

2xdx

=

dt

или

2xdx

=

dt

запишется:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

x

2

+ 5

t

x

2

+ 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

Значение интеграла

dt

 

находим по таблице основных интегралов, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

dtt = ln t + C .

Выполняя обратную замену переменных по формуле t = x2 + 5 , получим

2xdx

= ln

 

t

 

+ C = ln

 

x2

+ 5

 

+ C

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2xdx

= ln

 

x2

+ 5

 

+ C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4.2. Найти cos(7x + 4)dx .

Выполним замену переменной по формуле u = 7x + 4 . Дифференцируя обе

части равенства u = 7x + 4 , получим du = 7dx или dx = du . 7

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]