Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4156

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

439.82 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

третьего x =	a	или x =	a	, соответственно.
	cost
			sin t

Пример 10.1. Найти интеграл ∫					a2 - x2	dx .
					x

Рассматриваемый интеграл относится к интегралу первого вида. Выполняя подстановку x = asint , получим dx = acost dt .

Интеграл запишется в виде:

∫

a2 - a2 sin2 t

a × cos t dt =

a sin t

= a∫

cos2 t

dt = a∫

1 - sin2 t

dt = a∫

- a∫ sin t dt =

sin t

Вычисление интеграла ∫

(см. пример 9.1)

sin t

= a ln

−

cos t

+ a cos t + C .

sin t

Учитывая, что sin t =

, cost =

- x2

получим:

a −

∫

a 2 − x2

dx = a ln

a2 − x2

+ C .

a2 − x2

Пример 10.2. Найти интеграл ∫

+ x

Выполняя подстановку x = a tg t , получим dx = a

dt . Тогда интеграл

cos2 t

запишется

∫

a dt

∫

2 2

cos

t a × tg t a + a

cos2 t ×

sin t

cos

t + sin

sin t

cos2 t

cost

=1 ln cosect - ctg t + C a

Возвращаясь к исходным переменным, учитывая, что tgt = x и, следовательно,

ctg t =

, а cosect =

a2 + x2

1 + ctg2 t

, получим:

− a

+ C .

a2 + x2

∫ x a2 + x2

Рассмотрим интегралы от дифференциального бинома ∫ xm (a + bxn )p dx , где m, n и

p – рациональные числа.

Интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях.

1.р – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки x = t S , где S = HOK {знаменателей дробей тип};

2.т + 1 - целое число, в этом случае интеграл рационализируется с

помощью подстановки a + bxn = t k , где k – знаменатель дроби р.

т + 1

+ р - целое число, в этом случае к цели приводит подстановка

a x− n + b = t k , где k – знаменатель дроби р.

Пример 10.3. Найти интеграл ∫

x 1 + x

Запишем подынтегральную функцию в виде x−1 (1 + x3 )

Из записи следует, что р =

, т = −1,

п = 3 .

Так как т + 1 = − 1 + 1 = 0 - целое число, то выполняя подстановку 1+ x3 = t2 ,

п3

получим 3x2 dx = 2t dt , x 2 dx = 2 t dt . 3

Преобразуем интеграл
∫		dx			= ∫			x2 dx				=	2	∫		t dt	=	2	∫	dt	=	2	×	1		t -1		+ C и
		dx						x2 dx					2			t dt		2		dt		2		1		t -1
															(t 2	-1)× t									ln
											1		3					3		t 2 -1		3		2			t + 1
				3			3		3		1
	x 1		+ x	3		x	3	(1 + x	3	)2
	x 1		+ x			x		(1 + x		)2

учитывая, что t = 1 + x3 , получим:

t − 1

+ C =

1 + x3

− 1

+ C .

∫ x 1 + x3

t + 1

1 + x3 + 1

Пример 10.4. Найти интеграл ∫

(1 + x3 )3

Запишем интеграл в виде:

∫

=∫ x

−2 × (1 + x2 )2 × dx .

(1 + x2 )

Здесь т= - 2,

п=2,

р = -

т + 1

+ р = − 2 + 1 −

= −2 - целое число. Полагая

x−2 +1= t 2 , получим − 2

= 2t dt ,

= −t dt ,

x2 =

. Интеграл находится так:

t 2

− 1

= -∫ (t 2 -1)×

×t dt =

∫

= ∫

t 2 -1

(1 + x2 )3

(1 + x2 )

t 2 -1 ×t 3

= -∫

t 2 -1

t 2 +1

dt = -t -

+ C = -

+ C

1 + x2

Учитывая, что t 2

t =

1 + x2

, получим:

∫

= -

2x2

+ C .

(1 + x2 )3

1 + x2

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Найти неопределенные интегралы

1.01 ∫	x dx		;

	5 - x	2
	5 - x

1.03 ∫e−3x2 x dx ;

1.05 ∫	dx	;
	x ln 2 x

1.07 ∫ x × 3 2 + x2 dx ;

1.09 ∫	sin x dx	;
	1 + cos2 x

1.11 ∫sin7 x × cos x dx ;

1.13 ∫ 1 - x2 arcsin 3 x ;

1.15 ∫

x dx

;

1.17

∫

4 - 5× ln x

dx ;

1.19

∫

dx ;

+ 6

∫

x - (arctg x)4

1.21

dx ;

1 + x

1.23

∫

5arсtg x − x

dx ;

1 + x2

1.25

∫

x dx

;

1.27∫ x3 + 2x dx ;

x4 + 1

cos x dx 1.29 ∫ 5 sin 3 x ;

1.02 ∫

x dx

;

3 + 16x4

1.04

∫

cos x dx

;

4 + sin 2 x

∫

x dx

1.06

;

5 + 3x2

1.08

∫

x2 dx

;

4 - x

1.10

∫e2×sin x

× cos x dx ;

∫

1.12

5 tg 7 x ×

;

cos

1.14

∫ x × e4-x2 dx ;

1.16

∫

(arccos x)3 -1

dx ;

1 - x

∫

tg(2 − x)

1.18

dx ;

cos2 (2 - x)

∫

2x − arctg 2x

1.20

dx ;

1 + 4x

∫

sin x dx

1.22

;

cos4 x

1 -

1.24

∫

dx ;

× (1 + x)

∫

(x2

+1)dx

1.26

(x3 + 3x +1)5 ;

1.28

∫ xx3 dx ;

1.30

∫

x4 dx

3x5 + 4

Задание 2.

Найти неопределенные интегралы

2.01 ∫

10 − 3x

;

2.02 ∫

2 − 3x

dx ;

4x2 − 4x + 13

2x − x2

2.03

∫

6x − 1

dx ;

2.04

∫

1 − x

dx ;

6x2

+ 6x + 1

2 − 2x − 4x2

2.05

∫

2 − 3x

dx ;

2.06

∫

3 − 2x

dx ;

3 − 2x − x

4 −

2x −

2.07

∫

4 − 3x

dx ;

2.08

∫

5 − 4x

dx ;

5 − 2x − 9x

6 −

2x −

2.09

∫

6 − 2x

dx ;

2.10

∫

7 − 3x

dx ;

7 − 2x + 9x

8 −

2x +

2.11

∫

8 − 2x

dx ;

2.12

∫

9 − 4x

dx ;

9 − 2x − 9x

10 − 2x − 4x

2.13

∫

10 − 4x

dx ;

2.14

∫

11 − 2x

dx ;

− 2x + 9x

12 − 2x + 9x

2.15

∫

12 − 3x

dx ;

2.16

∫

13 − 2x

dx ;

− 4x − 4x

14 + 6x + 9x

2.17

∫

2 − 3x

dx ;

2.18

∫

2 + 3x

dx ;

4x2

+ 4x − 2

7 + 4x + 4x2

2.19

∫

x − 2

dx ;

2.20

∫

2x − 1

dx ;

2x2

+ 4x + 1

4x2

− 2x + 1

2.21

∫

7x + 1

dx ;

2.22

∫

5x + 12

dx ;

− 6x − x

4x − 4x

2.23

∫

2x − 1

dx ;

2.24

∫

2x − 7

dx ;

2x2

− 4x − 5

8x2

− 32x + 9

∫

7x − 5

∫

9x + 2

2.25

dx ;

2.26

dx ;

x2 + x − 12

6x − x2

2.27

∫

5x − 3

dx ;

2.28

∫

(x − 5) dx

;

2 + 3x − 3x2

2x2

− 8x + 5

2.29

∫

2 − 3x

dx ;

2.30

∫

4x + 7

dx .

− 12x

− 6x − 8

− 16

Задание 3.

Найти неопределенные интегралы:

3.01 ∫sin3

dx ;

3.03 ∫tg3

dx ;

3.05

∫sin 4

dx ;

3.07

∫ tg 4 x dx ;

cos3

3.09

∫

;

sin 2

cos5

3.11

∫

;

sin 2

3.13

∫cos5

dx ;

cos3 (x - L) 3.15 ∫ 3 sin(x - L) dx ;

					5 π			-	x
		cos
		cos							2
3.17	∫					4			2					dx ;

						π		-	x
			sin
			sin						2
						4			2
3.19	∫sin3					x	× cos2				x	dx ;
3.19	∫sin3				8		× cos2			8		dx ;
					8					8
3.21	∫sin			x		× sin 3x × cos									x	dx ;
3.21	∫sin					× sin 3x × cos										dx ;
	2												4

3.02 ∫cos2

dx ;

3.04 ∫ctg3

dx ;

3.06 ∫cos4

dx ;

sin3

3.08 ∫

;

cos2

sin 5

3.10 ∫

;

cos3

3.12 ∫sin5

dx ;

sin

3.14 ∫

;

+ α

cos

sin

- x

3.16 ∫

dx ;

cos

3.18	∫cos	x	× cos3x × cos	x	dx ;

	2		4
3.20	∫cos5 3x × sin 2 6x dx ;
3.22	∫cos5 3x × cos6x dx ;

cos3

3.23 ∫

dx ;

3.24 ∫sin

× cos

× sin 2x dx ;

sin 2

cos

5x -

3.25 ∫sin

× cos

dx ;

3.26 ∫

dx ;

sin 5x

−

cos

sin

3.27 ∫

dx ;

3.28 ∫

;

−

sin

5 cos

3.29 ∫ cos2 2α × cos x × sin(3x - 2α ) dx ; 3

3.30 ∫sin(5α - 2x)× cos(x - 2α )× sin(3α + 3x) dx .

Задание 4.

Найти неопределенные интегралы:

4.01 ∫(x

+ 5x)× cos2x dx ;

4.02 ∫

x dx

;

cos

4.03

∫ x × sin 2 x dx ;

4.04

∫(7x -10)× sin 5x dx ;

∫(3x + 4)× e

∫ arctg

4.05

dx ;

4.06

dx ;

3x − 1

4.07

∫ x2 × e−3 x

dx ;

4.08

∫ln (4x2

+ 5)dx ;

4.09

∫ x2 arctg x dx ;

4.10

∫ x × cos2 2x dx ;

∫

x × cos x

∫ (3 - 7x

)× cos

4.11

;

4.12

dx ;

sin

∫ arctg

∫ x2 × e−

4.13

dx ;

4.14

dx ;

6x − 1

4.15

∫ x3 × ln2 x dx ;

4.16

∫ x2 × arcsin x dx ;

4.17

∫ x3 × arctg x dx ;

4.18

∫ x2 × arccosx dx ;

∫ ln(x +

)dx ;

∫

x × cos 2x dx

3 + x

4.19

4.20

;

sin

∫cos (ln x) dx ;

4.21

4.22

∫e2 x sin 3x dx ;

4.23

∫l x

× cos 4x dx ;

4.24 ∫ x2 × 23− x dx ;

4.25

∫ x × sin 2x × cos 2x dx ;

4.26

∫ x3 arcctg x dx ;

4.27

∫e−3x (2 - 9x) dx ;

4.28

∫(x + 1)× 3x dx ;

4.29

∫ x2 ln (x + 3) dx ;

4.30

arctg

dx .

Задание 5.

Найти неопределенные интегралы

5.01∫ 5x3 + 9x2 - 22x - 8 dx ;

x3 - 4x

x2 + 2

5.03 ∫ x3 + x2 - 2x dx ;

x+ 2

5.05∫ x3 - x dx ;4

- 5x + 9

5.07 ∫

dx ;

- 5x + 6

5.09 ∫

2x3 + 6x + 6

dx ;

+ 5x

+ 3x

5.11 ∫

-1

dx ;

- x

5.13 ∫

;

(x2 -1)2

5.15

∫

;

(x2 - 4)2

5.17

∫

x3 + 1

dx ;

x ×

(x -1)

5.19

∫

3x + 2

dx ;

x × (x +1)

5.21

∫

x dx

;

-1)× (x + 1)

5.23

∫

2x2 + 41x - 91

dx ;

(x -1) × (x + 3)× (x - 4)

5.25 ∫ x × (x + 1)2 ;

527∫ x4 - 3x3 -11x2 + 4x +15 dx ;

x3 - 5x2 - x + 5

5.29∫ x4 - x3 - 9x2 -10x -14 dx ;

x2 - 2x - 8

5.02

∫

x2 - x + 2

dx ;

- 5x

∫

7x − 22

5.04

(x -1)×

(x2 - 4)

dx ;

∫ (x2

(x2 - 2x + 2)dx

5.06

+ x - 2)×

(x2 - 3x);

∫

(x2

+1)dx

5.08

x(x2

-1) ;

5.10

∫

x3 +1

dx ;

- 5x

+ 6x

5.12

∫

6x + 6

dx ;

(2x +

5.14

∫

;

(x + 1)×

(x -1)

5.16

∫

2x2 - 3x + 3

dx ;

- 2x

+ x

5.18

∫

dx ;

(x +

× (x -1)

5.20

∫

;

- 2x

+ x

5.22

∫

;

- 2x

+ x

5.24

∫

;

(x +1)× (x + 2)× (x + 3)

5.26

∫

5x2

+ 6x + 9

dx ;

(x -

(x + 1)

∫

3x3 -10x2 -11x + 21

5.28

dx ;

- 5x +

5.30

∫

x3 - 2x2 - 3x + 4

dx .

× (x -

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023439.63 Кб04151.pdf
#
21.11.2023439.71 Кб04152.pdf
#
21.11.2023439.74 Кб04153.pdf
#
21.11.2023439.81 Кб04154.pdf
#
21.11.2023439.82 Кб14155.pdf
#
21.11.2023439.82 Кб14156.pdf
#
21.11.2023439.88 Кб04157.pdf
#
21.11.2023439.91 Кб04158.pdf
#
21.11.2023439.99 Кб04159.pdf
#
21.11.2023117.67 Кб0416.pdf
#
21.11.2023440.07 Кб14160.pdf