Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4086

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

434.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Пример 7.3. Найти интеграл ∫		3x + 5			dx .
	2x	2	+ 4x
				− 6

Выполняя тождественные преобразования подынтегральной функции, получим:

3x + 5

(4x + 4) − 3 + 5

(4x + 4) dx

∫

dx =

∫

dx =

∫

+ 2∫

+ 4x −

+ 4x − 6

4x − 6

Второй интеграл вычислен (см. пример 7.1)

В первом интеграле заменяя

2x2 + 4x − 6 = t ,

получим

(4x + 4) dx = dt . Интеграл

запишется в виде:

∫

(4x + 4) dx

∫

2x2

+ 4x

− 6

+ C .

+ 4x

−

Тогда:

3x + 5

dx =

2x + 4x − 6

x −1

+ C .

∫ 2x2 + 4x −

x + 3

Рассмотрим интеграл

∫

при а > 0 и при а < 0.

a x2

+ b x + с

Если а > 0, то интеграл преобразуется к виду:

∫

a x2 + b x + с

x2 + px + q

x +

−

+ q

∫

± k

где

p =

q =

, а знак перед k2 (см. пример I1).

Выполняя замену x + p = t , интеграл сведется к табличному:

t +

+ C .

t 2 ± k 2

∫

t 2 ± k 2

Тогда

x +

∫ a x2 + b x + c

x +

x2 + px + q + R =

+ R

В случае а < 0, так что а = − а , радикал преобразуется к виду:

				p 2
a (x	2	+ px + q) =		p 2		2
			a x +		± k		=
			a x +		± k		=
				2

обозначив x + p = t , получим = at 2 ± k 2 .

Вычисляемый интеграл преобразуется к табличному

∫

= ∫

a x 2

+ bx + c

at 2

+ k 2

k 2

+ at 2

при условии, что знак перед k 2 положительный.

Тогда, выполняя замену а t = U , получим:

arcsin

+ C =

arcsin

x + C .

∫

k 2 + at 2

k 2 − U 2

Интеграл вида:

Ax + B

∫

a x2

+ bx + с

вычисляется с помощью преобразований, аналогичных тем, которые ранее рассмотрены в вычислении интеграла I2:

Ax + B

(2ax + b) + B −

∫

dx = ∫

dx =

a x2

+ bx

+ с

ax2 + bx + с

(2ax + b)dx

∫

+ B −

∫

ax2

+ bx + с

ax2 + bx + с

Выполняя в первом из полученных интегралов подстановку ax2 + bx + C = t ,

получим (2ax + b)dx = dt .

Тогда

(2a x + b)dx

+ R =

+ R .

ax2 + bx + с

2a ∫ ax2 + bx + с 2a ∫ t a

Второй интеграл был рассмотрен (см. I3).

Пример 7.4. Найти интеграл	∫	2x − 3
					dx


		2x	2	+ 8x + 1

Вычисляя производную подкоренного выражения 2a + b = (2x2 + 8x +1)′ , находим,

что 2ax + b = 4x + 8 . Подставляя найденное значение в интеграл, последний запишется в виде:

2x − 3

(4x + 8)− 4 − 3

4x + 8

∫

dx = ∫

dx =

∫

dx − 7∫

2x2 + 8x + 1

2x2 + 8x +1

2x2 + 8x + 1

∫

−

∫

−

∫

x2 + 4x +

(x + 2)2 − 4 +

−

V + V 2 −

+ C =

2x2 + 8x + 1

2 ∫

−

x + 2 + x2 + 4x +

+ C

2x2 + 8x + 1

Пример 7.5.

Найти интеграл ∫

2x + 1

dx .

− 3x

+ 6x

+ 9

В вычисляемом интеграле а < 0. Выполняя тождественные преобразования подынтегральной функции, получим:

2x +1

(- 6x + 6) + 3

∫

dx =

- 3x2

+ 6x + 9

- 3x2

+ 6x + 9

= -

∫

- 6x + 6

dx + 3∫

- 3x2 + 6x + 9

- 3(x -1)2 +12

Производя замену t = −3x2 + 6x + 9 в первом и втором ( x − 1) = U интеграле,

запишем:	= −		1	∫	dt		+ 3∫				dU				= −	2		+	3			3	U + C .
			1		dt						dU					2	− 3x 2 + 6x + 9		3	arcsin		3
																	− 3x 2 + 6x + 9			arcsin
	3					t		(			)2 − (			U )2	3				3		12
	3					t		(		12	)2 − (		3	U )2	3				3		12
Тогда
∫			2x + 1					2											1


									dx = -					- 3x 2 + 6x + 9 + 3 arcsin						(x -1)	+ C .
												3							2
		- 3x 2 + 6x + 9										3							2

a x + b n

§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА R

c x + d

Рассмотрим интеграл

mα

,..., x

nα

∫ R x, x

dx , где R- рациональная функция своих аргументов,

т.е.

– рациональное число.

Пусть k –

наименьшее общее кратное (НОК) чисел {n1 , n2 ,..., nα }. Выполняя

подстановку x = t k , получим dx = k t k −1 × dt , что каждая дробная степень х

выразится через целую степень t. Подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию аргумента t.

В интеграле вида:

				m1
				n1
∫	R x,		a x + b


		c x + d

выполняя подстановку

a x + b = t k , где c x + d

			mα
		nα
		nα
,...,	a x + b			dx
,...,				dx

c x + d

k = НОКi =1−α {ni },

подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t. Приемы интегрирования рациональных функций описаны в § 6.

Пример 8.1.

Найти интеграл

∫

dx .

1 +

В рассматриваемом интеграле n1 = 6,

= 3 ; поэтому k = 6. Выполняем

подстановку x = t 6 , тогда dx = 6t 5 dt и, следовательно,

x 6

t 6

∫

dx = ∫

× 6t

dt = 6

∫

dt =

6∫ t

- t

+ 1 -

dt =

+ t

1 + x 3

t 5

t 3

= 6

+ t - arctgt

+ C

Переходя к «старой» переменной, получим:

6 x

dx =

x 6

- 2x

+ 6x

- 6arctg x

+ C .

∫1 + 3

Пример 8.2.

Найти интеграл

∫

- 2x - 3 (1 -

2x)2

В подынтегральной функции n1 = 2, n2 = 3 , поэтому k = НОК {2,3} т.е. k = 6.

Заменяя 1-2х = t6, получим − 2dx = 6t 5dt . Интеграл запишется в виде:

- 3t 5 dt

t 2 dt

= -3

= 3

t +1

dt =

∫

∫ t -1

∫

- 3 (1 - 2x)2

1 - 2x

t 3 - t 4

1 - t

t -1

=3 t 2 + 3t + 3 ln t − 1 + C . 2

Тогда

∫		dx	=	3	(1 − 2x)	1	+ 3(1 − 2x)	1	+ 3ln	(1 − 2x)	1	− 1	+ C =
						1		1			1
						3		6			6

		− 3 (1 − 2x)2		2
	1 − 2x
	1 − 2x

=3 3 1 − 2x + 36 1 − 2x + 3ln 6 1 − 2x −1 + C . 2

§9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Вэтом параграфе рассматриваются способы интегрирования рациональных функций sin x и cos x, т.е. интегралы виды:

∫R (sin x, cos x)dx

Подстановка tg x = t , которую называют универсальной, рационализирует

рассматриваемый интеграл, т.е. сводит его к интегралу от рациональной функции аргумента t.

Из тригонометрии известно, что

	2 tg	x			1 − tg2	x
	2 tg				1 − tg2
sin x =	2			и cos x =		2	.
sin x =				и cos x =			.
	1 + tg2		x		1 + tg2	x
	1 + tg2		2		1 + tg2	2
			2			2

Тогда в соответствии с подстановкой получим:

sin x =	2t	, cos x =	1	− t	2	.
	+ t 2			+ t	2
1		1

Выражая из подстановки t = tg x , х как функцию от t, получим: 2

arctgt = arctg tg	x	или	x	= arctgt , x = 2arctg t	тогда dx =	2 dt	.
2			2		1+ t 2

Пример 9.1. Найти интеграл ∫ dx . sin x

В соответствии с подстановкой t = tg x интеграл запишется в виде:

∫

= ∫

1+ t 2

dt = ∫

= ln

+ C .

sin x

1+ t 2

Тогда

+ C = ln

1- cos x

= ln

∫ sin x

sin x

= ln

cosecx - ctg x

+ C

Пример 9.2. Найти интеграл ∫

cos x

+ C = ln	1	- ctg x	+ C =

	sin x

Выполним тождественные преобразования:

+ x

∫

= ∫

∫

cos x

sin

+ x

sin

+ x

Обозначая V =

+ x

, получим

∫

= ∫

sinV

sin

+ x

Первообразная последнего интеграла найдена в примере 9.1. Запишем её:

= ln

+ C .

∫ sinV

Искомый интеграл равен:

= ln

+ C .

∫ cos x

Пример 9.3. Найти интеграл

∫

3sin x − 4cos x

Выполняя универсальную подстановку, получим:

∫	dx	= ∫	1+ t 2	2dt	= ∫	dt
			3× 2t - 4(1- t 2 ) ×			3t - 2(1- t 2 ) =
	3sin x - 4cos x			1+ t 2

Нахождение последнего интеграла описано в § 7 (см. Интеграл запишем в виде:

1	∫			dx				=	1	∫			dV		=	1	×	4	ln
2	∫		3		2	9		=	2	∫		2		5 2	=	2	×	2 × 5	ln
		t +			-		-1				V		-
		t +			-	16	-1				V		-
			4			16								4

∫ 2t 2 + 3t - 2 .

I1).

4V - 5 + C =

4V + 5

16t - 8

t -

× ln

+ C =

× ln

+ C

16t + 32

Тогда

∫

× ln

+ C .

3sin x - 4cos x

Основные случаи применения частных подстановок

а. В интеграле

∫sinm x ×cosn x dx , где

m или

n –

нечетное

положительное

целое число.

Допустим, что m = 2k + 1, тогда

∫sin2k +1x ×cosn x dx = ∫cosn x ×sin2k x ×sin x dx = ∫cosn x(1- cos2 x)k sin x dx .

Выполняя замену cos x = t , получим - sin x dx = dt ,

sin xdx = −dt.

Интеграл запишется

∫cosn x × (1- cos2 x)k ×sin x dx = -∫t n × (1- t 2 )k × dt ,

а это есть

интеграл от

рациональной функции.

Пример 9.4. Найти интеграл ∫3sin2 x ×cos3 x dx .

Показатель степени косинуса нечетное число. Выполняя подстановку sin x = t, cos x dx = dt , получим:

∫sin	23 x ×cos2 x ×cos x dx = ∫sin							23 x × (1 - sin2 x)×cos x dx = ∫t						2	3 (1 - t 2 )dt =
= ∫t 23 dt - ∫t 83 dt =			3		t 53 -	3	t113 + C
= ∫t 23 dt - ∫t 83 dt =					t 53 -		t113 + C
	5				11
Тогда
	∫3			× cos3 x dx =					3	(sin x)53	-	3	(sin x)113		+ C .
		sin 2 x							3			3
		sin 2 x
								5			11

б. В интеграле

∫sinm x ×cosn x dx , где m и n – четные неотрицательные числа.

Применение тригонометрических формул

sin2 ax =

1 - cos 2ax

cos2 bx =

1 + cos 2bx

позволяет понизить степень синуса

и косинуса, в конечном счете, свести рассматриваемый интеграл к сумме

интегралов от констант и нечетных степеней синуса и косинуса.

Пример 9.5. Найти интеграл

∫sin 4 x ×cos 2 x dx .

Применяя тождественные преобразования, получим:

1 - cos 2x

2 1 + cos 2x

∫ sin

x × cos

x dx = ∫

× dx =

=18 ∫ (1 - 2 cos 2x + cos2 2x)×(1 + cos 2x)dx =

=18 ∫ (1 - cos 2x - cos2 2x + cos3 2x) dx =

=1 ∫ dx - 1 ∫ cos 2x dx - 1 ∫ 1 + cos 4xdx + 1 ∫ cos 2x × (1 - sin2 2x)dx = 8 8 8 2 8


=	1	x -			1	sin 2x -		1	x -				1				sin 4x +			1			sin 2x -				1	∫ cos 2x ×sin2 2x dx
=		x -				sin 2x -			x -			16 × 4					sin 4x +						sin 2x -					∫ cos 2x ×sin2 2x dx
8		16					16					16 × 4						16								8
Выполняя замену							sin 2x = t ,						cos 2x × 2dx = dt в последнем интеграле, получим:
		-	1	∫cos 2x ×sin2 2x dx = -											1			∫t 2 dt = -			1			×	t 3	+ C .
		-		∫cos 2x ×sin2 2x dx = -														∫t 2 dt = -						×		+ C .
		8										16						16						3
Тогда		∫sin4 x ×cos2 x dx =								1	x -			1		sin 4x -			1			sin3 2x + C .
Тогда		∫sin4 x ×cos2 x dx =									x -					sin 4x -						sin3 2x + C .
							8					64						48

Пример 9.6. Найти интеграл

∫cos 2 x dx .

Преобразуем интеграл к виду:

∫cos2 x dx = ∫

1 + cos 2x

dx =

∫ dx +

∫cos 2x dx .

Тогда

∫cos2 x dx =

x +

sin 2x + C .

в. В интегралах вида:

∫cos m x ×sin n x dx ;

∫cos m x × cos n x dx ; ∫sin m x ×sin n x dx

применяются следующие формулы (m ≠ n):

sin m x × cos n x dx =

[sin(m + n)x + sin(m - n)x] ,

cos m x × cos n x dx =

[cos(m + n)x + cos(m - n)x],

(15)

sin m x ×sin n x dx = 1 [- cos(m + n)x + cos(m - n)x]. 2

Например, подставляя в интеграл и интегрируя, получим:

∫ cos m x ×sin n x dx =

=12 ∫[sin (m + n)x + sin(m - n)x]dx =

=- 1 × cos (m + n)x - 1 × cos (m - n)x + C

2 (m + n) 2 (m - n)

Два других интеграла находятся аналогично.

Пример 9.7. Найти интеграл ∫sin 4x ×sin 6x dx .

Выполняя тождественное преобразование по формуле (15), получим:

∫sin 4x ×sin 6x dx =	1	∫cos 2x dx -	1	∫cos10x dx =	1	sin 2x -	1	sin10x + C .

2		2		4		20

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023433.99 Кб04081.pdf
#
21.11.2023434.04 Кб14082.pdf
#
21.11.2023434.11 Кб04083.pdf
#
21.11.2023434.14 Кб14084.pdf
#
21.11.2023434.14 Кб04085.pdf
#
21.11.2023434.22 Кб04086.pdf
#
21.11.2023434.29 Кб04087.pdf
#
21.11.2023434.33 Кб14088.pdf
#
21.11.2023434.48 Кб24089.pdf
#
21.11.2023117.53 Кб0409.pdf
#
21.11.2023434.72 Кб04090.pdf