Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3963

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

420.58 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

y = u × v = (e x2 + C )× e−x2 , т.е. y = Ce−x2 +1.

Используя начальные условия y(0) = 4 , получим 4 = С + 1; С = 3; т.о. y = 3e−x2 +1 - частное решение заданного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение уравнения 2 ydx + ( y 2 - 6x)dy = 0 . Решение. Если это уравнение разрешить относительно производной

dy	= -	2y	,
		y 2 - 6x
dx

то мы не сможем отнести его ни к одному из рассмотренных ранее типов.

Оно будет линейным относительно функции x( y)

и ее производной

x′ , если

записать его в виде

= -

y 2 - 6x

или

x¢ -

× x = -

2 y

Воспользуемся подстановкой x = u( y) × v( y) . Подставим x и

′

= u v + v u

уравнение

u ¢v + v¢u -

× uv = -

u¢v + u(v¢ -

× v) = -

Получим два уравнения с разделяющимися переменными.

			3
1) v¢ -				× v	= 0
1) v¢ -				× v	= 0
			y
			y
	dv	=	3v		и
					и
	dy		y
	dy		y

dv = 3dy v y ln v = 3ln y

v = y3

		1
Общее решение	x = u × v =
Общее решение	x = u × v =

	2 y

2)u¢v = - y

du × y 3 = - y

du = -		1
du = -		2 y2
		2 y2
u =	1	+ C
u =	2 y	+ C
	2 y

	× y 3 .
+ C	× y 3 .

Задание №4

Решить задачу Коши.

4. 01

y¢ -

= x × arctg x

4. 02

y′ +

3x 2 y

x3 −1

4. 03

y′ - 2 y = 3x -1

4. 04

2 y¢ - 6 y + x2 = 0

4. 05

xy′ + y = x × sin x

4. 06

y′ +

x 2 y

= x 2 + x5

x3 +

y¢ +

4. 07

= x - 2

(x - 2)(x - 4)

4. 08

y′ +

2 y

1 − x

(1 + x)3

1 − x2

4. 09

y¢ -

= x3

2 -

4.10y¢ + xy = x3

		y	1
4.11	y¢ +		= e	x
		x2

4.12(x +1)y¢ - 3y = ex (x +1)4

4.13y¢ + 3 y = 2

xx3

4.14y′ - y sin x = sin x cos x

4.15(1 + x 2 )y′ − 2 xy = (1 + x 2 )2

y(1)= −1 ln 2 2

y(-1) = - 5 8

y(0) = 1 4

y(0) =0

y(π) = 0

y(0) =0

y(5) = 0

y(0) =0

y(5) = 0

y(0) =0

y(1) = 0

y(0) =1

y(1) = 0

y π = 02

y(0) =0

4.16y¢ + y = 1x

4.17y′cos x + y sin x = 1

4.18y′ + y cos x = 1 sin 2x

4.19y′ = y tg x + cos x

4.20y¢ + y = 2 ln x + 1

		x
4.21	y¢ +	2xy		=		1
4.21	y¢ +	x2 -	1	=	x4	-1
		x2 -	1		x4	-1
4.22	y¢ +	xy		=1
4.22	y¢ +	x2 +	1	=1
		x2 +	1

4.23y¢ - y ctg x = sin3 x


	y′ +	xy				1
4.24				=
		x2 + a2
		x2 + a2					x2 + a2
4.25	y′ +	3x 2 y	= 1
4.25	y′ +		= 1
		x3 + 8
4.26	y¢ -	sin 2x				y =1
4.26	y¢ -	cos2 x +			4	y =1
		cos2 x +			4
4.27	y¢ -	2sin x			× y =1
4.27	y¢ -	cos x + 1			× y =1
		cos x + 1

4.28xy′ + y = x cos x


4.29	y¢ - y tg x =	1
4.29	y¢ - y tg x =	cos x
		cos x
	y′ − xy = x 2e		x2
4.30	y′ − xy = x 2e		2

y(0) = 0

y(0) =1

y(0) = 0

y(1) =1

y(0) =1

y(0) = 0

π = y 0

y(a3) = 1 2

y(0) = 1 8

y(0) = 0

y(π ) = 0

y(0) =1

y(0) = 0

3.4. Уравнение Бернулли

Уравнение вида

y¢ + P(x) × y = Q(x) × y n ,

где n ¹ 0, n ¹1, называется уравнением Бернулли. Левая часть у него такая же, как и у линейного уравнения, а в правой части стоит выражение ynQ(x) , где n – вещественное число, отличное от 0 и 1, Для его решения тоже можно

воспользоваться постановкой

y = u(x) ×v(x).

Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

xy¢ + y = y2 ln x

при начальных условиях y(1) = 1.

(1)

Решение. Это уравнение Бернулли ( n = 2 ). Для интегрирования этого

уравнения воспользуемся подстановкой

y = uv, y′ = u′v + uv′ .

Подставляем эти значения у и y′

в заданное уравнение:

x(u′v + uv′) + uv = u 2v2 ln x

или

xu′v + u(xv′ + v) = u 2 v2 ln x

(2)

Потребуем, чтобы

xv′ + v = 0 .

Тогда

xdv

= -v ,

= -

∫

= -∫

= −ln

v =

Подставляем найденное значение v в уравнение (2):

u¢ = u2

ln x

= u 2

ln x

ln x dx

∫

ln x dx

Выполняя интегрирование, получаем:

= -

(ln

+1) + C ,

или

u =

+ 1 − Сx

Так как y = uv, то

y =

общее решение уравнения Бернулли.

1 −

Сx

Решаем задачу Коши:

1 =

1− С = 1,

С = 0 .

ln1

- С

Таким образом,

y =	1			- искомое частное решение уравнения (1).
	ln	x
			+ 1

Уравнение Бернулли можно также решить с помощью подстановки z = y1−n , которая приводит данное уравнение к линейному.

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
y′ − 2xy = 2x3 y2 при начальных условиях y(0) = 1.	(1)

Решение. Это уравнение Бернулли, так как в правой части стоит выражение ynQ(x) = 2x3 y2 , т.е. n = 2.

Разделим обе части уравнения на у2 :

y−2 y′ − 2xy−1 = 2x3

(2)

Положим y−1 = z ,

тогда z′ = − y2 y′.

Умножая обе части уравнения (2) на (-1) и выполняя указанную

подстановку, получим линейное уравнение

z¢ + 2xz = -2x3

(3)

Положим z = uv , z′ = u′v + uv′

и подставим эти значения z и z′

в уравнение

(3):

u¢v + uv¢ + 2xuv = -2x3

или

u′v + u(v′ + 2xv) = −2x3

(4)

Потребуем, чтобы

v′ + 2xv = 0 .

Тогда

= −2xv ,

= −2x dx ,

∫

= −2∫ x dx , ln

= −x2 ,

v = e−x2 .

Подставим v в уравнение (4):

u¢e− x2 = -2x3 ,

= −2x3e x2 ,

du = -2 x3e x2 dx .

Интегрируя это уравнение, находим:

u = С - x2e x2 + e x2 .

Откуда

z = u × v = Сe− x 2 - x2 +1 - общее решение уравнения (3).

Так как z =

, то

y =

общее решение уравнения (1).

Сe− x

2 − x2 +1

Решаем задачу Коши:

1 =	1	,	С =0.
	С ×e0 +1

Таким образом, искомое частное решение имеет вид:

y =	1	.
	1 - x2

Задание №5

Решить задачу Коши.

y¢ +

5. 01

= y3 × x 1 - x2 ,

y(1) =1

5. 02

y2 × y¢ + y3 =1 - x ,

y(0) =0

5. 03

y¢ +

× ln x ,

y(1) = 0

5. 04

y¢ +

= y3 x2 arcsin x ,

y(1) =1

5. 05

y¢ -

× tg 2 x ,

y(π) = 0

5. 06

y¢ - y = e2 x y4 ,

y(0) =1

5. 07

y4 × y¢ + y5 = x2 +1,

y(0) =0

5. 08

y¢ + 2xy = 2x3 y3 ,

y(0) =1

5. 09

xy¢ + y = y2 ln x ,

y(1) =1

5. 10

y′ − 9x2 y = (x5 + x2 )y

y(0) =0

5. 11

y¢ - y = xy2 ,

y(0) =1

y¢ -

y(1) = −

3 5

5. 12

= y 2 x2 + 4 ,

y 3 y′ +

y 4

= sin x ,

5. 13

= 0

2 x

5. 14

2 y′y −

y 2

= x 2 ln x ,

y(1) = 0

5. 15

y¢ - y tg x = -

y 4 × sin x ,

y(0) =1

2(y¢ + xy) = (x -1)e

y(0) = 2

5. 16

× y 2 ,

5. 17

2xy¢ - 3y = -(5x2 + 3y)y3 ,

y(1) =

5. 18	2( y¢ + y) = xy2 ,
5. 19	2 y¢ + y cos x = y−1 × cos x(1 + sin x) ,
5. 20	xy¢ - y = -y2 × (ln x + 2)× ln x ,
5. 21	3y¢ + 2xy = 2xy−2e−2x2 ,
5. 22	4 y 3 y′ +	y 4	=	1	sin 2 x ,

5.23 2xy¢ - 3y = -(20x2 +12)y3 ,

5.24 3xy¢ + 5y = (4x - 5)y4 ,

5.25 3dy = (1 - 3y3 )y sin x ,

5.26 xdy + y - 1 y3 x dx = 0 ,


5. 27	2xy -	dy	- y 2 + x = 0 ,

		dx
5. 28	yy¢ + y2 = cos x ,
	(y¢ - 2xy)×				= x3 ,
5. 29				y
5. 30	yy¢ - y2 = sin 2x ,

y(0) = 2 y(0) =1 y(1) =1 y(0) =1

y(2π ) = 0

y(1) =		1
y(1) =
2		2
y(1) =1

π = y 2 1

y(2) =1

y(1) =1 y(0) = 0 y(0) = 0 y(0) = 0

§4. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае записываются в виде

F (x, y, y′, y′′) = 0

или в форме Коши

y′′ = f (x, y, y′).

Общее решение этого уравнения содержит две произвольные постоянные

y = ϕ(x,C1 ,C2 ),

Частным решением дифференциального уравнения 2го порядка является функция

y = ϕ (x,C1 °,C2 °),

где C1 ° и C2 ° определяются из общего решения путём подстановки в него

начальных условий: y(x0 ) = y0 и	y	′	′
			(x0 ) = y0 .

Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка, суть которого состоит в том, что с помощью подстановки данное уравнение сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка.

I	Уравнение вида		F(x, y′′) = 0 или y′′ = f (x) .
В	этом	случае	порядок	уравнения	понижается	путём


последовательного интегрирования уравнения.
Пример 1.	Найти общее решение уравнения						y′′ = sin 3x
Решение.	Запишем y′′ =	dy′	,	тогда	dy′	= sin 3x , отсюда dy′ = sin 3xdx ;

		dx			dx

y′ = ∫sin 3xdx = − 1 cos3x + C1 . 3

Интегрируя еще раз, получим

	∫		1			1
y =		−		cos3x + C	dx = −		sin 3x + C x + C		- общее решение.
			3			9
				1			1	2

Замечание. Таким же образом можно решать уравнения более высокого порядка, если в уравнении содержится только старшая производная и независимая переменная, т. е. уравнения вида

y(n) = f (x) .

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

′′′

= 60x

при начальных условиях y(0) = 0

′

= 2 .

, y (0) = 1 , y′′′(0)

Решение.

Запишем: y′′′ =

dy′′

тогда

dy′′

= 60x2 ,

отсюда dy′′ = 60x2dx ;

dy′

y′′ = 20x3 + C ,

y′′ =

dy′ = (20x3 + C )dx ,

y′ = 5x 4 + C x + C

И, наконец, последнее интегрирование дает общее решение данного уравнения:

y = x5 + C	x2	+ C	x + C	.
	2
1		2	3

Используя начальные условия, получаем значения произвольных постоянных С1 = 2, С2 = 1, С3 = 0 . Подставляя их в общее решение, получаем частное решение дифференциального уравнения:

y = x5 + x2 + x .

II Уравнение вида	F (x, y′, y′′) = 0 или	y′′ = f (x, у′) .
Введем переменную	z , обозначив	y′ = z , где z = z(x) - новая
неизвестная функция. Тогда	y′′ = z′ и уравнение принимает вид:

F(x, z, z′) = 0.

Общим решением этого дифференциального уравнения I порядка будет функция z = ϕ(x,C1 ) . Заменяя z на y′ , получим еще одно дифференциальное уравнение 1 порядка

y′ = ϕ(x,C1 ) ,

интегрируя которое, получаем общее решение данного уравнения в виде:

y = ∫ϕ(x, C1 ) dx + C2 .

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

	π			π		1		π
y¢¢ - 2ctg x × y¢ = sin3 x при начальных условиях	y		=		-		;	y¢		=1.
		2		4		3			2

Решение. Это уравнение 2го порядка не содержит явно функции у. Полагая y′ = z , получаем уравнение первого порядка относительно этой

вспомогательной функции z, зависящей от х:

z¢ - 2ctg x × z = sin3 x .

Это линейное уравнение 1го порядка относительно функции z.

Заменяем

′

и v –

функции,

зависящие от х.

z = uv , где z (x)

= u v + v u , u

Подставляем:

u¢v + v¢u - 2ctg x × uv = sin3 x .

Группируем 2-е и 3-е слагаемые

и выносим и за скобку

u¢v + u(v¢ - 2ctg x × v) = sin3 x ,

(1)

Получаем два уравнения

( ′

- 2ctgx × v

)

= 0

u¢v = sin3 x

= 2ctgx × dx

u¢sin 2 x = sin 3 x

du = sin xdx

= 2 ln

sin x

v = sin 2 x

u = − cos x + C1

Откуда

z = -sin 2 x × cos x + С sin 2

x .

Так как

z = y′ ,

то, интегрируя, получим общее решение

y = ∫(- sin 2 x × cos x + С1 sin 2

x)dx = -

sin3

sin 2x

x -

+ С2 .

Используя начальные условия, получаем:

С1 = 1,

С2 = 0 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023420.39 Кб03959.pdf
#
21.11.2023116.29 Кб0396.pdf
#
21.11.2023420.42 Кб13960.pdf
#
21.11.2023420.44 Кб03961.pdf
#
21.11.2023420.45 Кб13962.pdf
#
21.11.2023420.58 Кб03963.pdf
#
21.11.2023420.62 Кб03964.pdf
#
21.11.2023420.72 Кб13965.pdf
#
21.11.2023420.73 Кб13966.pdf
#
21.11.2023420.93 Кб03967.pdf
#
21.11.2023421.02 Кб03968.pdf