3884
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образо-
вания «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
О.Л.Любимцева
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекциям (включая рекомендации обучающимся по организации самостоятельной работы) по дисциплине: «Моделирование процессов»,
для обучающихся по направлению подготовки 27.03.01 «Стандартизация и метрология», направленность (профиль) Стандартизация и сертификация
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
УДК
Любимцева О.Л. Моделирование процессов: учебно-методическое пособие / О.Л. Любимцева; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород: ННГАСУ, 2022. – 13 с. : ил. – Текст : электронный.
В учебно-методическом пособии приводятся характеристики содержания курса лекций по разделам с указаниями к самостоятельной работе студентов, включая типовые задания и пример оформления задачи.
Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине: «Моделирование процессов», направления подготовки 27.03.01: Стандартизация и метрология, направленность (профиль) Стандартизация и сертификация.
© О. Л. Любимцева, 2022
© ННГАСУ, 2022.
Содержание |
|
Характеристика содержания лекций ..................................................................... |
4 |
Указания к самостоятельной работе по подготовке к лекциям и |
|
лабораторным занятиям.......................................................................................... |
5 |
Вопросы для самоконтроля .................................................................................... |
5 |
Список рекомендованной литературы .................................................................. |
6 |
Приложение ............................................................................................................. |
8 |
Целью освоения дисциплины «Моделирование процессов» является формирование основных понятий теории моделирования, теоретических зна-
ний относительно классификации моделей и практических навыков построе-
ния регрессионных моделей на основе статистических исследований.
Для освоения дисциплине необходимо знать основные понятия математики,
математической статистики и наиболее часто востребованные математиче-
ские модели.
Характеристика содержания лекций
Материал курса разделен на пяти разделов. Курс лекций начинается с введе-
ния основных понятий и определений. Формулируются цели и принципы мо-
делирования, виды моделей. Этот материал формирует у студентов структуру курса. Во втором разделе «Алгоритм построения модели» студенту предло-
жены алгоритм построения аналитической модели, алгоритм построения эм-
пирической модели, а так же краткая характеристика основных этапов алго-
ритмов построения аналитических и эмпирических моделей . Материал по-
следующих разделов нацелен на более глубокое усвоение студентом. Третий раздел «Линейные и нелинейные регрессионные модели» формирует у студен-
тов теоретические основы моделирования процессов. На основе МНК вычис-
ляется оценка параметров линейной регрессии, анализируется точность оце-
нок коэффициентов регрессии и проводится проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии. В этом же разделе формули-
руется понятие коэффициента детерминации. Особое место отведено нелиней-
ным регрессионным моделям и их линеаризация. Практическое применение моделирования рассматривается в четвертом разделе. Внимание студентов обращено на мультиколлинеарность, её причины и методы устранения; гете-
роскедастичность, её суть и последствия, а так же ее обнаружение и устране-
ние; автокорреляцию, ее причины, методы обнаружение и устранения. На ос-
нове статистических данных студентам поясняется как производить отбор
наиболее существенных факторов в регрессионной модели. С выше указан-
ным разделом неразрывно связана тема Планирования и проведения экспери-
мента. В этой части лекций студенту предлагается освоить полный факторный эксперимент. Его ступени от формулировки задачи и выбора факторов иссле-
дования до выводов и рекомендаций по формулировке задачи.
Указания к самостоятельной работе по подготовке к лекциям и
лабораторным занятиям
Самостоятельная работа по подготовке к лекциям включает повторение мате-
риала предыдущих лекций по конспектам. Рекомендуется обратиться студен-
там к дополнительной литературе рекомендованной преподавателем.
Самостоятельная работа по подготовке к практическому занятию должна включает в себя осмысление задания, выложенного на сайте; прочтение того раздела лекций, к которому относится тема практики. Возможно самостоя-
тельное проведение расчетов.
В конце курса студентам предлагается творческое задание. Самостоятельно собрать статистические данные (социальные сети, опрос, данные с производ-
ства), сформулировать задачу для изучения и построить модель для исследо-
вания данных.
Вопросы для самоконтроля
1.Что такое модель?
2.Что такое объект?
3.Что такое процесс?
4.Что такое гипотеза?
5.Что такое моделирование?
6.Обозначьте цели моделирования.
7.Назовите принципы моделирования.
8.Перечислите аксиомы моделирования.
9.Какие виды моделей существуют?
10. Какие виды моделирования существуют?
11. Что такое фактор, уровень фактора?
12.Что такое аналитическая модель?
13.Что такое эмпирическая модель?
14.Обозначьте преимущества математического моделирования.
15.Перечислите требования, предъявляемые к математической модели.
16.Расскажите о различиях в алгоритмах построения аналитической
и эмпирической моделей.
17.Какие требования предъявляются к входным и выходным факторам?
18.Что такое эксперимент?
19.Что такое планирование эксперимента?
20.Обозначьте цели планирования эксперимента.
21.Что такое полный факторный эксперимент?
22.Что такое рандомизация? Какова цель проведения рандомизации?
Список рекомендованной литературы
1. Ашихмин В. Н.. Введение в математическое моделирование : Учебное пособие. / Ашихмин В. Н., Гитман М. Б., Келлер И. Э. ; Ашихмин В. Н.. –
Москва : Логос, 2004. – 439 с. – URL: URL: http://www.iprbookshop.ru/9063.html. – ISBN ISBN 5-94010-272-7.
2. Беликова Н. А.. Математическое моделирование. Часть 2 : Учебное по-
собие. / Беликова Н. А., Горелова В. В., Юсупова О. В. ; Беликова Н. А.. –
Самара : Самарский государственный архитектурно-строительный уни-
верситет, ЭБС АСВ, 2009. – 64 с. – URL: URL: https://www.iprbookshop.ru/20477.html. – ISBN ISBN 978-5-9585-0359-9. 3. Солдатенко Л. В.. Введение в математическое моделирование строи-
тельно-технологических задач : Учебное пособие. / Солдатенко Л. В. ;
Солдатенко Л. В.. – Оренбург : Оренбургский государственный универси-
тет, ЭБС АСВ, 2009. – 161 с. – URL: URL: http://www.iprbookshop.ru/21566.html.
Методические материалы по дисциплине
1. Любимцев Олег Владимирович. Математические методы и модели в экономике : учеб.-метод. пособие по подгот. к лекциям, практ. занятиям
(включая рекомендации по орг. самостоят. работы) для обучающихся по дисциплине "Мат. методы и модели в экономике" по направлению подгот. 38.03.02 Менеджмент, направленность (профиль) Менеджмент недвижи-
мости. / Любимцев Олег Владимирович ; Нижегор. гос. архит.-строит. ун-
т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2016. – 1 CD ROM. – URL: URL: http://catalog.nngasu.ru/MarcWeb2/.
Приложение
Пример решения задач
Для исследования зависимости годового объема производства Y от основных фондов X получены данные по 20-ти предприятиям.
X |
12,5 |
17,5 |
17,5 |
17,5 |
|
22,5 |
22,5 |
22,5 |
22,5 |
22,5 |
|
27,5 |
27,5 |
||||||||
Y |
20,5 |
21,5 |
21,5 |
22,5 |
|
22,5 |
22,5 |
23,5 |
23,5 |
23,5 |
|
23,5 |
23,5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
27,5 |
27,5 |
|
27,5 |
|
27,5 |
|
27,5 |
27,5 |
27,5 |
27,5 |
|
27,5 |
|
|
||||||
|
23,5 |
24,5 |
|
24,5 |
|
24,5 |
|
24,5 |
24,5 |
24,5 |
24,5 |
|
24,5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты решения данной задачи с помощью функции Регрессия представлены на рис. 1 ‒ 3.
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R |
0,923584 |
R-квадрат |
0,853006 |
Нормированный R-квад- |
|
рат |
0,84484 |
Стандартная ошибка |
0,47647 |
Наблюдения |
20 |
Рис. 1. Результаты расчета: регрессионная статистика
На рис. 1 представлены результаты расчета регрессионной статистики. Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям:
• Множественный R ‒ коэффициент корреляции R;
• R-квадрат ‒ коэффициент детерминации |
R |
2 |
; |
|
|||
|
|
• Нормированный R ‒ нормированное значение коэффициента корреляции;
• Стандартная ошибка ‒ стандартное отклонение для остатков;
• Наблюдения ‒ число исходных наблюдений.
На рис. 2 представлены результаты расчета дисперсионного анализа, которые используются для проверки значимости коэффициента детерминации R 2 .
Дисперсионный анализ
|
|
|
|
|
Значимость |
|
df |
SS |
MS |
F |
F |
Регрессия |
1 |
23,71358 |
23,71358 |
104,4544 |
6,38E-09 |
Остаток |
18 |
4,08642 |
0,227023 |
|
|
Итого |
19 |
27,8 |
|
|
|
Рис. 2. Результаты расчета: дисперсионный анализ
Значения в столбцах на рис. 2 имеют следующую интерпретацию.
• Столбец df ‒ число степеней свободы. Для строки Регрессия число степе-
ней свободы определяется количеством факторных признаков m, для строки
Остаток ‒ числом наблюдений n и количеством переменных в уравнении регрессии m + 1: n ‒ (m + 1), а для строки Итого ‒ суммой степеней свободы для строк Регрессия и Остаток и, следовательно, равно n ‒ 1.
• Столбец SS ‒ сумма квадратов отклонений. Для строки Регрессия значе-
ние определяется как сумма квадратов отклонений расчетных данных от сред-
него:
|
n |
− y ) |
2 |
|
2 |
ˆ |
. |
||
SS1 |
= (yi |
|
||
|
i=1 |
|
|
|
Для строки Остаток это сумма квадратов отклонений фактических данных от теоретических:
|
n |
|
|
2 |
|
2 |
= (yi |
ˆ |
) |
. |
|
SS2 |
− yi |
|
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
Для строки Итого это сумма квадратов отклонений расчетных данных от среднего:
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
SS3 |
= (yi |
− y ) |
или |
SS2 |
= SS1 |
+ SS2 . |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
• Столбец формуле:
Для строки
Для строки
МS содержит значения дисперсии, которые рассчитываются по
MS = |
SS |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
− y ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(yˆi |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Регрессия это факторная дисперсия |
ф |
= |
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
− yi |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(yi |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
Остаток это остаточная дисперсия |
ост2 |
|
= |
i=1 |
|
|
|
|
. |
|||
. |
n − (m +1) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• Столбец F содержит расчетное значение F-критерия Фишера Fр, вычисляемое по формуле:
= MS (Регрессия) . Fp MS (Остатки)
• Столбец Значимость F содержит значение уровня значимости, соответствующее вычисленному значению Fр.
На рис. 3 представлены полученные значения коэффициентов регрес-
сии bi |
и их статистические оценки. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная |
t-стати- |
P-Значе- |
Нижние |
Верхние |
|
|
Коэффициенты |
ошибка |
стика |
ние |
95% |
95% |
|
Y-пересече- |
|
|
|
|
|
|
|
ние |
17,593 |
0,578 |
30,430 |
6,23E-17 |
16,378 |
18,807 |
|
X |
0,242 |
0,024 |
10,220 |
6,38E-09 |
0,192 |
0,292 |
Рис. 3. Результаты расчета: коэффициенты уравнения регрессии и их статистические оценки
Столбцы на рис. 3 содержат следующие значения: |
|
|
• Коэффициенты ‒ значение коэффициентов |
b |
|
i . |
|
|
• Стандартная ошибка ‒ стандартные ошибки коэффициентов |
b |
|
i . |
||
• t-статистика ‒ расчетные значения t-критерия, вычисляемые по формуле:
t − статистика =
коэффициенты стандартная ошибка
.
• Р-значение ‒ значения уровней значимости, соответствующие вычисленным
значениям |
t |
p . |
|
• Нижние 95% и Верхние 95% ‒ нижние и верхние границы доверительных
интервалов для коэффициентов регрессии |
b |
i . |
Переходя к анализу полученных расчетных данных, можно построить уравнение регрессии с вычисленными коэффициентами, которое будет выра-
жать зависимость годового объема производства от основных фондов:
yˆ
=17,593+ 0,242x
.
Выборочный коэффициент детерминации R |
2 |
= 0,853 |
(рис. 1) показывает, |
|
|
|
что 85,3% разброса зависимой переменной y объясняется построенной ре-
грессией |
ˆ |
|
|
|
|
Значимость F |
y . Рассчитанный уровень значимости (показатель |
||||||
рис. 10) |
р = 6,38 10−9 0,05 подтверждает статистическую значимость вели- |
|||||
чины R 2 |
(т.е. гипотеза H |
0 |
: R2 = 0 отвергается в пользу H |
1 |
: R2 |
0 при уровне |
|
|
|
|
|
||
значимости = 0,05). В этом случае говорят еще, что уравнение регрессии зна-
чимо в целом при = 0,05.