3877
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская, В.В. Драгунова
ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине
«Математика» для обучающихся по направлению подготовки_20.03.01_Техносферная безопасность,
профиль Безопасность технологических процессов и производств
Нижний Новгород
2016
0
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская, В.В. Драгунова
ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине«Математика»
для обучающихся по направлению подготовки_20.03.01_Техносферная безопасность, профиль Безопасность технологических процессов и производств
Нижний Новгород ННГАСУ
2016
1
УДК 517.9
Опалева Г.П. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [Электронный ресурс]: учеб.- метод. пос. / Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская, В.В. Драгунова; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 53 с;ил. 1 электрон. опт.
диск (CD-RW)
В пособии раскрываются необходимые формулы, подробно разбираются решения типовых задач, предоставляются задачи для самостоятельного решения.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ при изучении раздела «ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» курса высшей математики по направлению подготовки 20.03.01_Техносферная безопасность, профиль Безопасность технологических процессов и производств
© Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская, В.В. Драгунова, 2016
© ННГАСУ, 2016
2
§1. Определение кратного интеграла
Понятие кратного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла от функции одной переменной при переходе к интегральному исчислению функций нескольких переменных.
Пусть в n-мерном пространстве R n задана ограниченная область Ω и в этой области задана функция f (x1 , x2 ,K, xn ). Произведем разбиение области
на части Ωi , которые пересекаются между собой только по своим границам (т.е. не имеют общих внутренних точек). Выберем в каждой части Ωi по произвольной точке Pi (x1i , x2i ,K, xni ) и составим интегральную сумму
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = ∑ f (Pi ) × DWi , |
|
||
где для n = 2 |
ΔΩi |
|
|
i=1 |
|
|
Ωi , |
||
- |
это площадь подобласти |
||||||||
для n = 3 |
ΔΩi |
- |
это объем |
подобласти |
Ωi . |
||||
Диаметром |
разбиения |
λi будем называть |
наибольшее расстояние |
||||||
между произвольными точками множества |
Ωi . |
|
|||||||
Определение: |
Кратным интегралом от функции f по области Ω |
||||||||
называется |
предел |
интегральной |
суммы |
при стремлении диаметра |
|||||
разбиения |
λi |
к нулю при |
n → ∞ , если этот предел существует и не |
||||||
зависит от выбора точек Pi |
в Ωi |
и способа разбиения области Ω на |
|||||||
части. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для функции двух переменных z = f (x, y) , заданной в некоторой области D плоскости xOy , ограниченной замкнутой кривой, получим
двойной интеграл:
|
∫∫ |
|
n→∞ |
n |
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
∑ |
) |
. |
|
|||||
|
|
f (x, y)ds = lim |
|
f (x |
, y |
s |
|
|||
|
D |
|
λi →0 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл двойного интеграла - это объем |
||||||||||
цилиндрического |
тела, |
ограниченного |
поверхностью z = f (x, y) > 0 , |
|||||||
областью D плоскости xOy и |
цилиндрической |
поверхностью с |
||||||||
образующими, параллельными оси OZ и направляющей - границей области D |
||||||||||
(рис.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический |
смысл |
двойного |
интеграла |
– это |
масса плоской |
|||||
пластинки D , имеющей поверхностную плотность |
μ = f (x, y) . |
|||||||||
3
z
z = f(x, y)
y
D
x
Рис.1
Для функции трех переменных u = f (x, y, z) , заданной в некоторой пространственной области Т, получим тройной интеграл:
∫∫∫ |
|
n→∞ |
n |
i |
i |
i |
|
i |
|
|
∑ |
) |
. |
||||||
|
f (x, y, z)dv = lim |
|
f (x |
, y |
, z |
v |
|||
T |
|
λi →0 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический смысл |
тройного |
интеграла |
– |
|
это масса тела Т, |
||||
имеющего объемную плотность μ = f (x, y, z) .
Вычисление кратных интегралов сводится к последовательному вычислению определенных интегралов от функций одной переменной, в предположении, что переменная, не являющаяся переменной интегрирования, считается постоянной.
§2. Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле
Различают два основных вида областей интегрирования, в результате чего получаем и два вида формул для вычисления двойного интеграла. Будем рассматривать такие области D , что всякая прямая, параллельная координатной оси, пересекает границу области лишь в двух точках. Такие области называются правильными. В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям.
4
1. Пусть область D (рис.2) ограничена кривыми |
y = ϕ1(x) , |
y = ϕ2 (x) , |
||
x = a, x = b , |
причем всюду |
на отрезке [a,b] |
функции |
|
y = ϕ1 (x), y = ϕ 2 (x) непрерывны и |
ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) . |
Тогда |
двойной |
|
интеграл от непрерывной |
|
|
|
|
у |
|
|
|
у |
|
|
|
||
|
у = φ2(х) |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = ψ2(у) |
||||
|
|
|
|
|
х = ψ1(у) |
||||
|
у = φ1(х) |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
a |
b |
|
|
||||||
Рис.2 |
|
|
|
|
|
Рис.3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функции по области D вычисляется следующим образом:
|
b ϕ2 ( x) |
|
b |
ϕ2 ( x) |
|
|
|
|
|
|
∫ f (x, y)dy . |
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ |
∫ f (x, y)dy dx = ∫ dx |
||||
D |
|
|
|
a |
ϕ1 ( x) |
a ϕ1 ( x) |
|
||||
Сначала берется внутренний интеграл по переменной у (переменная х считается фиксированной), а полученный результат интегрируется по х.
2. Если область D (рис.3) ограничена кривыми x = ψ 1 ( y) , |
x = ψ 2 ( y) , |
y = c , y = d , причем всюду на отрезке [c, d ] функцииx = ψ 1 ( y), |
x = ψ 2 ( y) |
5 |
|
непрерывны и |
ψ1( y) ≤ ψ 2 ( y) . |
следующий вид: |
|
|
d ψ 2 ( |
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ ∫ |
|
D |
|
c ψ1 ( |
|
Тогда формула интегрирования примет
y ) |
|
d |
ψ 2 ( y ) |
|
|
|
|
f (x, y)dx dy = ∫ dy ∫ f (x, y)dx . |
|||
y ) |
|
c |
ψ1 ( y) |
|
|||
Здесь внутренний интеграл берется по переменной х при фиксированной переменной у, а полученный результат интегрируется по у. Интегралы, стоящие справа, называются повторными или двукратными.
Таким образом, для того, чтобы двойной интеграл свести к двум повторным интегралам, необходимо:
1.Построить область интегрирования D на плоскости xOy ;
2.По виду области выбрать порядок интегрирования, т.е. выбрать по какой переменной будет проводиться внутреннее интегрирование, а по какой – внешнее.
Заметим, что величина двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования и выбор порядка производится исходя из конфигурации области интегрирования для упрощения вычислений. Кроме того, в некоторых случаях повторное интегрирование при одном порядке вообще невозможно (получаются интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях), тогда как при выборе другого порядка интегрирование легко проводится.
3.В соответствии с выбранным порядком расставить пределы интегрирования. При этом нужно помнить, что пределы внешних интегралов всегда постоянны и указывают границы изменения этой переменной в данной области, пределы интегрирования внутренних интегралов, как правило, являются функциями той переменной, по
которой берется внешний интеграл. Во внутреннем интеграле пределы бывают постоянными числами только в том случае, если D - прямоугольник.
4. Вычислить сначала внутренний интеграл, где переменная, не являющаяся переменной интегрирования, считается постоянной, затем вычисляем внешний интеграл.
Пример. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
∫∫ f (x, y) dx dy ,
D
еслиобластьD ограниченапараболами y = x |
2 |
|
x = y |
2 |
|
x = |
1 |
|
1 |
|
|
, |
|
и прямой |
|
x ³ |
|
. |
|||
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Область D правильная относительно оси Ох, т.к. снизу она
ограничена только частью параболы |
|
y = x2 , а сверху - частью параболы |
|||
х = у2 (рис.4). |
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
A(1;1) |
|
х= |
|
|
Q |
|
|
2 |
|
• |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
• |
P |
|
|
|
|
|
|
0 1 1 x
2
Рис.4
Найдем точки пересечения парабол, решая систему
|
у = х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
х |
= у2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
отсюда действительные корни |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x4 x4 − x = 0 x(x3 − 1)= 0 x = 0, x |
2 |
= 1. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Итак, точки пересечения О(0;0) и |
А(1;1). |
Следовательно, при |
1 |
≤ х ≤ 1 |
|||||||||
|
|||||||||||||
переменная у изменяется от ур = х2 |
|
|
|
yQ = |
|
|
|
|
2 |
|
|||
до |
|
x |
. Заменяя двойной интеграл |
||||||||||
двукратным интегралом, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫∫ f (x, y)dx dy = ∫dx ∫ f (x, y)dy . |
|
|
|
|
|||||||||
D |
|
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание№1
Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если область D ограничена кривыми:
1. 1 |
х + у=2, 4х + 4 = у2 |
1. 2 |
3у – х = 0, у – 2х = 0, х ≤ 3 |
1. 3 |
х ≥ 1, ху ≥ 1, у – х ≤ 0, х ≤ 2 |
7
1. 4 |
х = 0, |
у = 0, у ≤ 1, х + у2 = 4 |
1. 5 |
у = 0, |
х + у = 3, x - 2y2 ≥ 0, у ≤ 1 |
1. 6 х = 0, у – х = 3, х ≤ 3 , у – 2х2 = 0
|
2 |
1. 7 |
х + у ≤ 3, x ≤ 2y2, x ≥ 0 |
1. 8 |
y – x ≤ 3, y - 2x2 ≥ 0, x ≤ 0 |
1. 9 |
y = 2 – x , y2 – 4 = 4x |
1. 10 |
y2 ≤ 25 – x2, 4y – 3x ≥ 0, x ≥ 0 |
1. 11 |
x = 0, y + x = 2, y – x = 0 |
1. 12 х + y = 0, ax = y2 + 2ay |
|
1. 13 |
y – x 2 = 2, y + x2 = 0, x ≤ 2, x ≥ -1 |
1. 14 |
x = 0, y = 0, y = 4, x2 = -y2 + 25 |
1. 15 |
х + у ≤ 1, y ≥ 0, y2 + x2 = 1 |
1. 16 |
х + у = 1, у = cos x, х = π , x ≥ 0 |
|
2 |
1. 17 |
y ≤ 7 – x, 2y ≥ x + 2, x = 0 |
1. 18 |
y - 2x2 ≤ 0, y + x ≤ 3, y = 0 |
1. 19 |
x ≥ 0, y + x ≤ 3, y – 2x2 ≥ 0 |
1. 20 |
x ≥ 0, 4y – 5x ≥ 0, y2 = 9 + x2 |
1. 21 |
x ≤ 0, 4y – 5x ≤ 0, y2 = 9 + x2 |
1. 22 |
x = e y, x = e –y , y = 1 |
1. 23 |
x = e y, x = e –y , x = 3 |
1. 24 |
x = e2y, x = e -2y, y = - 3 |
1. 25 |
x ≤ 0, y - 2x2 ≥ 0, y + x ≤ 3 |
|
8 |
1. 26 |
x = e2y, x = e -2y, х = 0,1 |
||
1. 27 |
y = e x, y = e –x , x = -5 |
||
1. 28 |
y = e 2x, y = e –2x , y = 0,5 |
||
|
|
|
|
1. 29 |
х = 0, |
x = 2a, у2 ≤ 2ax, y = 2ax - x2 |
|
1. 30 |
x = 1, |
y3 – x ≤ 0, y + x2 = 0 |
|
§3. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах
Пример. Вычислить интеграл
1 |
x |
I = ∫ dx ∫(2x − y)dy |
|
0 |
x2 |
Решение. Сначала вычисляется внутренний интеграл при условии, что x=const, затем полученную функцию, зависящую от х, интегрируем по х. Получаем
1 |
|
x |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫dx ∫ (2x - y)dy = ∫ |
2xy - |
|
y |
|
|
|
dx = ∫ |
2x x - |
|
|
x |
- |
2x |
|
+ |
|
|
|
x |
|
dx = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
x2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
x2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
3 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
2x4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x5 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 = |
|||||||||||||||||||||
= 2∫ x |
|
dx - |
∫ xdx - 2∫ x3dx + |
∫ x4 dx = 2 |
|
|
- |
× |
|
|
|
- |
|
+ |
× |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
2 |
0 |
|
0 |
|
|
2 |
0 |
|
|
5 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
2 |
5 |
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=4 - 1 - 1 + 1 = 3 . 5 4 2 10 20
Задание №2
Вычислить двойной интеграл в прямоугольных координатах
9