3849
.pdf
4. Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли
Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p и не появиться с вероятностью q =1− p . Вероятность того, что при n независимых испытаниях событие A
появится ровно m раз безразлично в какой последовательности (и не появится
n − m – раз), обозначим через Pn (m), тогда |
|
|||
|
|
P (m) = C m × pm × qn−m |
, |
|
|
|
n |
n |
|
где Cnm = |
n! |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
m!×(n - m)! |
|
|
|
Эта формула называется формулой Бернулли.
Пример. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?
Решение. Событие A – « двукратное выпадение герба при десятикратном подбрасывании монеты». По условию задачи n = 10 – число независимых испытаний (подбрасываний монеты), в каждом из которых вероятность
появления герба одинакова и равна p = 1 , а вероятность выпадения решки
2
q = |
1 |
. Применяя формулу Бернулли, учитывая, |
что m = 2, находим искомую |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вероятность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p(A) = P (2) = C |
2 |
|
1 2 |
|
|
1 8 |
|
10! |
|
1 |
10 |
||||||||||
|
|
|
× |
|
|
|
× |
|
|
|
= |
|
|
× |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2!×8! |
|
||||||||||||||||
|
|
|
10 |
|
|
|
10 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
9 ×10 |
|
1 |
10 |
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
|
|
× |
|
|
= |
|
|
|
|
|
» 0,044. |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
2 |
1024 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: 0,044.
20
Пример. Число годных деталей в ящике относится к числу бракованных как 2 : 3 . Найти вероятность того, что из четырех, наудачу выбранных деталей, хотя бы одна годная.
Решение. Событие A «из четырех, наудачу выбранных деталей, хотя бы одна годная». По условию задачи n = 4 – число независимых испытаний (выбор деталей из ящика), в каждом из которых вероятность того, что деталь годная, одинакова и равна
p = |
|
2 |
= |
2 |
= 0,4; |
|
+ 3 |
|
|||
2 |
5 |
|
|||
вероятность того, что деталь бракованная, равна
q =1− p = 1− 0,4 = 0,6.
Тогда p(A) = P4 (1)+ P4 (2) + P4 (3) + P4 (4), где каждое из слагаемых находится по формуле Бернулли. Однако удобнее найти вероятность
противоположного события A – « из четырех, наудачу выбранных деталей, нет ни одной годной». Применяя формулу Бернулли, находим:
p( |
|
)= P (0) = C 0 |
× 0,40 × 0,64 |
= |
4! |
|
×1× 0,64 = 0,1296 , |
||
A |
|||||||||
|
|
||||||||
4 |
4 |
|
0!×4! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
тогда
p(A) = 1− p(A)= 1− 0,1296 = 0,8704.
Ответ: 0,8704.
5. Случайные величины
Случайной величиной называют величину, принимающую в результате испытаний те или иные возможные значения, наперед неизвестные и зависящие от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
21
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: X , Y , Z и т.д. или заглавными буквами латинского алфавита с
правым нижним индексом: X i , i N .
Значения, принимаемые случайной величиной, называются ее возможными значениями и обозначаются соответствующими маленькими буквами латинского алфавита с правым нижним индексом, то есть, если X –
случайная величина, то ее возможные значения – |
xi , i N . |
|||
Понятие случайного события тесно связано с понятием случайной |
||||
величины. |
Принятие |
некоторой |
случайной |
величиной X конкретного |
возможного |
значения |
m , то |
есть X = m , есть случайное событие, |
|
характеризуемое вероятностью pi = P(X = m).
На практике различают два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.
5.1.Дискретные случайные величины
5.1.1.Способы задания дискретных случайных величин
Дискретной называют случайную величину, число возможных значений которой является конечным или счетным, то есть таким, что возможные значения можно пронумеровать.
Примеры дискретных случайных величин:
1) X – число выпадений «герба» при двух бросаниях монеты; возможные значения дискретной случайной величины X : 0,1, 2 .
2) Y – число новорожденных за сутки в некотором роддоме; возможные значения дискретной случайной величины Y : 0,1, 2,…, n .
Каждому значению xi дискретной случайной величины X отвечает определенная вероятность pi . Соответствие, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их
22
вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения можно задать таблично (в виде ряда распределения) либо графически (в виде многоугольника или полигона распределения).
При табличном задании дискретной случайной величины X первая строка таблицы содержит ее возможные значения xi , расположенные в возрастающем
порядке, а |
вторая |
строка –– |
соответствующие им вероятности pi , причем |
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
p1 + p2 + …+ pn = ∑ pi = 1. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
x1 |
|
x2 |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
|
p1 |
|
p2 |
|
|
pn |
|
Для того чтобы закон распределения дискретной случайной величины изобразить графически, в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают возможные значения xi , а по оси ординат – соответствующие им
вероятности pi (см. рис.1); отмеченные точки (xi ; pi ), i = 1, n соединяют отрезками прямых. Построенная ломаная называется многоугольником или
полигоном распределения.
pi
pn
pn−1
p3 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
x1 x2 0 |
|
|
xi |
|||
x3 … xn−1 xn |
||||||
Рис. 1
23
Пример. Охотник, имеющий четыре патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания по дичи при первом выстреле равна 0,8 и уменьшается при каждом следующем выстреле на 0,1. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа патронов, израсходованных охотником, и изобразить его графически.
Решение. Введем обозначение событий:
Ai – « попадание по дичи при i -ом выстреле», i = 1,4 ;
Ai – « промах по дичи при i -ом выстреле», i = 1,4 .
По условию задачи:
p(A1 ) = 0,8; p(A2 ) = 0,8 − 0,1 = 0,7 ;
p(A3 ) = 0,7 − 0,1 = 0,6 ; p(A4 ) = 0,6 − 0,1 = 0,5 .
Тогда:
p(A1 )= 1− p(A1 ) = 1− 0,8 = 0,2; p(A2 )= 1− p(A2 ) = 1− 0,7 = 0,3; p(A3 )= 1 − p(A3 ) = 1 − 0,6 = 0,4 ;
p(A4 )= 1− p(A4 ) = 1− 0,5 = 0,5.
Дискретная случайная величина X принимает следующие возможные значения:
x1 = 1 – охотник израсходовал один патрон, то есть попал по дичи при первом выстреле – произошло событие A1 ;
x2 = 2 – охотник израсходовал два патрона, то есть промахнулся по дичи при первом выстреле и попал при втором выстреле – произошло событие A1 × A2 ;
24
x3 = 3 – охотник израсходовал три патрона, то есть промахнулся по дичи при первом и втором выстрелах и попал при третьем выстреле – произошло событие A1 × A2 × A3 ;
x4 = 4 – охотник израсходовал четыре патрона, то есть промахнулся по дичи при первом, втором и третьем выстрелах и попал при четвертом выстреле или промахнулся по дичи при всех четырех выстрелах – произошло событие
A1 × A2 × A3 × A4 + A1 × A2 × A3 × A4 .
Применяя теорему умножения независимых событий, находим: p1 = P(X = 1) = p(A1 ) = 0,8;
p2 = P(X = 2) = p(A1 × A2 ) = p(A1 )× p(A2 ) = 0,2 × 0,7 = 0,14 ; p3 = P(X = 3) = p(A1 × A2 × A3 ) = p(A1 )× p(A2 )× p(A3 ) =
= 0,2 ×0,3×0,6 = 0,036;
p4 = P(X = 4) = p(A1 × A2 × A3 × A4 + A1 × A2 × A3 × A4 ) =
=p(A1 )× p(A2 )× p(A3 )× p(A4 ) + p(A1 )× p(A2 )× p(A3 )× p(A4 ) =
=0,2 ×0,3×0,4 ×0,5 + 0,2 ×0,3×0,4 ×0,5 = 0,024.
Контроль:
n |
= p1 + p2 + p3 + p4 = 0,8 + 0,14 + 0,036 + 0,024 |
= 1 − верно. |
∑ pi |
||
i =1 |
|
|
Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
pi |
0,8 |
0,14 |
0,036 |
0,024 |
|
|
|
|
|
Построим многоугольник распределения. (См. рис.2)
25
pi
0,8
0,14 |
|
|
|
|
|
0,036 |
|
|
|
|
|
0,024 |
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Рис. 2
5.1.2. Биномиальный закон распределения
Предположим, что в одинаковых условиях производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться событие A с
вероятностью p или противоположное событие A с вероятностью q = 1− p . В
каждой серии из |
n испытаний событие A может либо не появиться (появиться |
||||||||||
0 раз), либо |
появиться 1 раз, 2 раза, |
... , n раз. |
Введем в рассмотрение |
||||||||
дискретную случайную величину X – |
число появлений события |
A при |
n |
||||||||
испытаниях, |
которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, ... , |
n . |
|||||||||
Вероятность |
pi |
того, |
что случайная |
величина |
X принимает |
значение |
|||||
m = 0,1, 2,…, n, вычисляется по формуле Бернулли: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
p |
i |
= P(X = m) = P (m) = C m × pm |
× qn−m , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
где Cnm = |
|
n! |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
m!(n − m)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным. Постоянные n и p
называются параметрами биномиального распределения.
26
Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,8. Производятся три выстрела. Составить закон распределения случайной величины X – числа попаданий в цель.
Решение. Дискретная случайная величина X – число попаданий в цель – распределена по биномиальному закону с параметрами n = 3 – число независимых испытаний (выстрелов) и p = 0,8 – вероятность попадания в цель
при одном выстреле и может принимать значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли:
p = P(X = 0) = P (0) = C0 × 0,80 × 0,23 = |
3! |
|
×1× 0,008 =1×1×0,008 = 0,008; |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
1 |
3 |
3 |
|
|
|
0!×3! |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p |
|
|
= P(X = 1) = P (1) = C1 |
× 0,81 × 0,22 = |
|
|
3! |
|
×0,8 × 0,04 = |
||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
3 |
1!×2! |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= 3×0,8×0,04 = 0,096; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = P(X = 2) = P (2) = C2 |
×0,82 ×0,21 = |
|
|
3! |
×0,64×0,2 = 3×0,64×0,2 = 0,384; |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
3 |
3 |
3 |
2!×1! |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p |
|
= P(X = 3) = P (3) = C |
3 ×0,83 × 0,20 = |
|
3! |
×0,512 ×1 = |
|||||||
4 |
|
||||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
3!×0! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
=1×0,512 ×1 = 0,512. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контроль: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
+ p4 |
= 0,008 + 0,096 + 0,384 + 0,512 = 1 − верно. |
|||||||||
∑ pi = p1 + p2 + p3 |
|||||||||||||
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Закон распределения случайной величины X имеет вид:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
pi |
0,008 |
0,096 |
0,384 |
0,512 |
|
|
|
|
|
27
5.1.3. Математические операции над дискретными
случайными величинами
Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина.
Рассмотрим независимые дискретные случайные величины X и Y , заданные законами распределения, соответственно:
xi |
|
x1 |
|
x2 |
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
y j |
|
y1 |
y2 |
|
ym |
|||||
pi |
|
p1 |
|
p2 |
|
pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
j |
|
p′ |
p′ |
|
p′ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где ∑ pi = 1 и |
∑ pi′ = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
i=1 |
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выполнении математических операций над случайными величинами |
||||||||||||||
X |
и Y получается новая случайная величина с соответствующими законами |
||||||||||||||
распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. Произведение случайной величины X на постоянную величину c : cX |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cxi |
cx1 |
cx2 |
|
cxn |
|
n |
|
= 1. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, где ∑ pi |
|
|
|
||||
|
|
pi |
|
p1 |
p2 |
|
pn |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Квадрат случайной величины X : |
X 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x2 |
x2 |
|
x2 |
|
n |
|
|
i |
1 |
2 |
|
n |
|
, где ∑ pi = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
p1 |
p2 |
|
pn |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Сумма случайных величин X и Y : Z = X + Y |
|||||||
28
|
|
|
|
zk |
|
x1 + y1 |
|
x1 + y2 |
|
|
|
xn + ym |
|
|
n m |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где ∑ ∑ pi × p¢j =1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 j=1 |
|
|
|
|
|
pk |
|
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
p1 × p1 |
|
p1 × p2 |
|
|
|
pn × pm |
|
|
|
|
|
||||||||||
4. Разность случайных величин X и Y : Z = X − Y |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
zk |
|
x1 - y1 |
|
x2 - y1 |
|
|
|
xn - ym |
|
|
n m |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
∑ ∑ pi |
× p¢j |
=1. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|||||||
|
|
|
pk |
|
p1 × |
|
|
|
|
|
|
pn × |
|
i=1 j=1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
p1 |
|
|
p2 × p1 |
|
|
|
|
pm |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. Произведение случайных величин X и Y : Z = X ×Y |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
zk |
|
|
x1 × y1 |
|
|
x2 × y1 |
|
|
|
|
xn × ym |
|
|
n m |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
∑ ∑ pi |
× p¢j |
=1. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
pn × |
′ |
|||||||
|
|
|
pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 j=1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
p1 × p1 |
|
|
p2 × p1 |
|
|
|
|
pm |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример. Случайные величины X и Y заданы законами распределения: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
xi |
|
-1 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
и |
y j |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
pi |
|
0,2 |
|
|
0,5 |
|
0,3 |
|
|
|
|
p j |
|
0,3 |
|
0,7 |
|
|
||||||
Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y . Решение. Для удобства решение оформим в виде таблицы:
|
X |
-1 |
0 |
1 |
|
Y |
|
|
|
||
|
0,2 |
0,5 |
0,3 |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
0,3 |
1+ (−1) = 0 |
1 + 0 = 1 |
1 + 1 = 2 |
|
0,3 × 0,2 = 0,06 |
0,3 × 0,5 = 0,15 |
0,3 × 0,3 = 0,09 |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
0,7 |
2 + (− 1) = 1 |
2 + 0 = 2 |
2 + 1 = 3 |
|
0,7 × 0,2 = 0,14 |
0,7 × 0,5 = 0,35 |
0,7 × 0,3 = 0,21 |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|