3702

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская

Дифференциальные уравнения первого и высших порядков

часть VI

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине

«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.02_ Информационные системы и технологии (без профиля)

Нижний Новгород

2016

0

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская

Дифференциальные уравнения первого и высших порядков

часть VI

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине

«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.02_ Информационные системы и технологии (без профиля)

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

1

УДК 517.9

Опалева Г.П. Дифференциальные уравнения первого и высших порядков, часть VI, [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 40 с;ил. 1 электрон.

опт. диск (CD-RW)

В пособии приводятся необходимые формулы, подробно разбираются решения типовых задач, предоставляются задачи для самостоятельного решения.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ при изучении раздела «Дифференциальные уравнения первого и высших порядков» курса высшей математики по направлению подготовки 09.03.02_ Информационные системы и технологии (без профиля)

© Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская, 2016

© ННГАСУ, 2016

2

§1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения п-го порядка называется функция

y = ϕ (x, C1 , C2 ,..., Cn ) ,

содержащая n произвольных постоянных, обращающая вместе со своими производными уравнение (1) в тождество.

Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция, полученная из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных. Чтобы найти эти значения нужно задать дополнительные условия, которые называются начальными условиями дифференциального уравнения. Задача отыскания частного решения по заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Если решение дифференциального уравнения найдено в неявном виде, то такое решение называется интегралом дифференциального уравнения

(общим или частным).

Решить дифференциальное уравнение - значит найти либо его общее решение, либо частное, удовлетворяющее начальным условиям.

Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения – интегральной кривой.

Дифференциальные уравнения играют важную роль в изучении окружающих нас динамических процессов. Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.

3

§2. Задачи на составление дифференциальных уравнений

Задача №1

Вода в открытом резервуаре вначале имела температуру 70˚С, через 10 мин. температура воды стала 65˚С, температура окружающей резервуар среды 15˚С. Найти: 1) закон охлаждения воды;

2)температуру воды в резервуаре через 30 мин. от начального

момента;

3)в какой момент времени температура воды в резервуаре будет 20˚С.

Решение. 1) В силу закона Ньютона скорость охлаждения воды dT dt

пропорциональна разности температур воды в резервуаре и окружающей резервуар среды, т.е.

где k – коэффициент пропорциональности, Т – переменная температура воды, t – время.

Мы получили дифференциальное уравнение процесса (1). Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделив переменные и

4

2) Найдём температуру воды через 30 мин от начального момента. В уравнение (4) подставим значение t = 30 мин:

Т = 55°е-0,009532 ×30 + 15° , откуда T = 56° .

3) Найдём через сколько времени температура воды в резервуаре будет иметь 20˚С. Для этого в уравнение (4) подставим значение T = 20° :

20° = 55°е-0,009532 t + 15° , откуда T = 251мин = 4ч11мин.

Задача №2

Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна A0 . Найти стоимость оборудования At по истечении

образованный осью Оу, касательной и кривой в произвольной её точке и радиусом-вектором точки касания, - равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Решение. Пусть y = f (x) - искомое уравнение кривой. Проведём касательную MN в произвольной точке M (x; y) кривой до пересечения с осью Оу в точке N (рис.1). Согласно условию, должно соблюдаться равенство

5

x2 = С(С − 2 y) - общее решение (семейство парабол, осью которых является ось Оу).

Подставляя координаты точки А в найденное общее решение, получим

Задача №4

В гидравлике выводится закон, по которому скорость V истечения воды из отверстия, находящегося на глубине h от свободной поверхности, дается формулой:

где g - ускорение силы тяжести.

Пусть мы имеем коническую воронку, наполненную водой, высотой 10см, с углом при вершине α = 60° ; внизу находится отверстие площадью 0,5см2 (рис.2). Найти закон вытекания воды.

Решение. Искомая функция – высота воды h в любой момент времени t. Скорость истечения V всё время меняется вместе с h; но если взять

6

бесконечно малый промежуток времени dt, то её можно считать постоянной. Подсчитаем двумя способами объём воды, вытекающей в промежуток времени от t до t + dt .

dh

Vdt

Рис.2

Содной стороны, через отверстие вытечет объём, занимающий цилиндр с основанием 0,5 см2 и высотой Vdt; таким образом, искомый объём есть

-dV = -0,5Vdt = -0,32gh dt .

Сдругой стороны, вследствие утечки воды высота h получит отрицательное приращение dh, дифференциал объёма вытекшей воды выразится так:

-dV = π r 2dh = π (htg30°)2 dh = π h2dh .

3

Приравнивая оба найденных выражения для – dV, получим дифференциальное уравнение, связывающее h и t:

π 2 = - 1

h dh 0,3 2g h 2 dt .

3

Разделяя переменные и интегрируя, находим:

Произвольная постоянная С определится из начальных условий: при t = 0

Если требуется узнать время t, в течение которого вытечет вся вода, то надо

Задание №1

Задача. В комнате, где температура воздуха Тв некоторое тело остыло за t мин от Т0 до Т. Найти закон охлаждения тела. Через сколько минут t1 оно остынет до Т1. Повышением температуры в комнате пренебречь (по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур).

Задача. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М0, если отрезок любой её касательной, заключённый между осями координат, делится в точке касания в отношении a : b (считая от оси Оу).

пройденный телом за t1 сек.

8

Задача. Найти кривую, проходящую через точку М (х; у), если угловой коэффициент касательной к ней в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

1.16М(2, 1)

1.17М(−3, 2)

1.18М(−1, − 3)

1.19М(3, − 2)

1.20М (2, − 1)

Задача. Найти закон движения и скорость движущегося тела, если скорость его возрастает пропорционально пройденному пути, и если в начальный момент движения тело находилось в S0 м от начала отсчёта пути и имело скорость V0 м/сек.

Задача. Исследовать закон истечения воды из полусферической чаши. За какое время t вода, заполняющая чашу диаметром D, вытечет через круглое отверстие в дне чаши диаметром d?

9