3636
.pdfКкр={k>kкр}. Задаваясь уровнем значимости ошибки I-рода (отвергнуть верную ги-
потезу) α находим критическую точку kкр однозначно из решения уравнения
∞
P(k>kкр) = ∫ χ 2 (k, m − r − 1)dk = α
kкр
Решение этого уравнения kкр= χ2кр(α, m-r-1) представляет собой обращение функции распределения «хи-квадрат» случайной величины и приводится в много-
численных таблицах, например в [1].
Вычислив по выборке наблюдаемое значение критерия kнабл строим критерий
проверки основной гипотезы Н0 о распределении выборочного признака Х:
если kнабл ≤ kкр гипотеза принимается (отклонения теоретических и наблюдаемых частот не значительны),
если kнабл> kкр гипотеза отвергается (отклонения значительны).
Важным свойством этого критерия является его независимость от предполагаемого вида закона распределения, что позволяет проверить сразу несколько гипотез о виде распределения, а среди допустимых выбрать наиболее правдоподобную, соответствующую min kнабл .
20
Основная гипотеза |
Критерий К и его |
Конкурирующая |
Критическая |
Критические точки |
||
Н0 |
распределение |
гипотеза Н1 |
область Ккр |
kкр |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
О значении дисперсии |
К=(n-1)S2/s02 |
s2 > s02 |
k>kкр |
kкр = c2кр(a, n-1) |
||
s2 = s02 |
Критерий “ Хи-квадрат” |
|
|
|
||
по выборке {xj} объема n с |
с n-1 степеней свободы. |
|
|
|
||
s2 < s02 |
k<kкр |
kкр = c2кр(1-a, n-1) |
||||
со средним значением Хср |
Закон распределения |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
и выборочным |
fК(k)= c2(k , n-1) |
|
|
|
||
s2 ¹ s02 |
k>kкр.п ; |
kкр = c2кр.п(a/2, n-1); |
||||
стандартом S. |
М[K] = n-1, D[K]=2(n-1) |
|
k<kкр.л |
kкр = c2кр.л(1-a/2, n-1) |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
О значении |
|
|
|
a ¹ a0 |
abs (k)>kкр |
kкр = Ткр(a/2, n-1) |
К=(Хср – а0) n /S |
||||||
математического |
Критерий Стьюдента |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
ожидания |
с n-1 степеней свободы. |
a > a0 |
k>kкр |
kкр = Ткр(a, n-1) |
||
а=а0 |
Закон распределения |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
по выборке {xj} объема n |
|
|
|
|
||
fК(k)= T(k , n-1) |
a < a0 |
k<kкр |
kкр = -Ткр(a, n-1) |
|||
с параметрами Хср , S. |
М[K] = 0, D[K]=n-2/n-3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
О сравнении дисперсии |
К=(S1/S2)2>1 |
|
|
|
||
двух случайных величин |
S1=max(Sx,Sy) ~ n1 |
sx2 > sу2 |
k>kкр |
kкр =Fкр(a, n1, n2) |
||
sx2 = sу2 |
S2=min(Sx,Sy) ~ n2 |
|
|
|
||
по выборкам {xj}, {yj} |
|
|
|
|
||
Критерий Фишера |
sx2 < sу2 |
k>kкр |
kкр =Fкр(a, n1, n2) |
|||
объемов nx, ny со средн. |
с n1, n2 степен. cвободы. |
|
|
|
||
значениями Хср ,Yср и стан- |
Закон распределения |
|
|
|
||
|
|
|
||||
дартами Sx, Sy |
fК(k)= F(k , n1, n2) |
sx2 ¹ sу2 |
k>kкр |
kкр =Fкр(a/2, n1, n2) |
||
|
||||||
|
М[K]= n2/( n2-2)>1 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
21
Основная гипотеза |
Критерий К и его |
Конкурирующая |
Критическая |
Критические точки |
||||||||
Н0 |
распределение |
гипотеза Н1 |
область Ккр |
kкр |
||||||||
|
||||||||||||
О сравнении мат.ожидан. двух |
K=( Хср -Yср)*(В1/В2)1/2 |
аx ¹ ау |
abs (k)>kкр |
kкр = Ткр(a/2, n) |
||||||||
случайных величин |
В1=nx ny(nx+ny -2)/(nx+ny) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
аx = ау |
В2= ( nx-1 )Sx2 + ( ny-1 )Sy2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
по выборкам {xj}, {yj} |
Критерий Стьюдента с |
аx >ау |
k>kкр |
kкр = Ткр(a, n) |
||||||||
объемов nx, ny со средн. |
n= nх+ny-2 степ. свободы |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||
значениями Хср ,Yср и стандар- |
Закон распределения |
|
|
kкр = -Ткр(a, n) |
||||||||
тами Sx, Sy |
fК(k)= T(k , n) |
|
|
|
аx<ау |
k<kкр |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
М[K] = 0, D[K]=n-1/n-2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О сравнении дисперсии |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
неск. случайных величин |
К= max(Si2 ) ∑ Si2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
||
σ12 = σ22= ..= σm2 |
Критерий Кочрена со |
σs2 ¹ σr2 |
k>kкр |
kкр = Gкр(a, n-1,m) |
||||||||
по выборкам объема n с |
степен. свободы n-1 и m. |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
выборочными стандарт. |
Закон распределения |
|
|
|
||||||||
S1, S2, … , Sm. |
fК(k)= G(k , n-1, m) |
|
|
|
||||||||
О значимости коэффиц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К= ρв n − 21 − ρ 2 |
ρ xу ¹ 0 |
abs (k)>kкр |
kкр = Ткр(a/2, n-1) |
|||||||||
корреляции двух нормал. слу- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
в |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
чайных величин X, Y |
ρв = |
n ( XY ) |
ср − X срYср |
|
|
|
||||||
ρ xу = 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n − 1 |
S x S y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
по выборкам {xj}, {yj} |
|
|
|
|
||||||||
Критерий Стьюдента |
ρ xу > 0 |
k>kкр |
kкр = Ткр(a, n-1) |
|||||||||
объемов n со средними |
||||||||||||
с n-1 степеней свободы, |
|
|
|
|||||||||
значениями Хср ,Yср и |
|
|
|
|||||||||
стандартами Sx, Sy |
fК(k)= T(k , n-1) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
М[K] = 0, D[K]=n-2/n-3 |
ρ xу < 0 |
|
|
|||||||||
|
k<kкр |
kкр = -Ткр(a, n-1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
8. Задания для выполнения расчетно-графической работы.
ЗАДАНИЕ 1
Для заданной выборки Хк={х1, х2, …., хn} из наблюдений за случайной величиной
Хк , где n – объем выборки, к – номер варианта данных в предлагаемой к выполне-
нию РГР, выполнить следующие операции:
1.1. Придумать случайную величину из определенной предметной области, ко-
торая может быть наблюдаема заданной выборкой.
1.2.Построить выборочный ряд и полигон частот ni,
1.3.Вычислить выборочное среднее Хср, выборочную дисперсию DВ, выборочное среднеквадратическое отклонение σВ, выборочную симметрию AВ, выборочный эксцесс EВ. Вычислить исправленную дисперсию DУТ и выборочный стандарт S
ЗАДАНИЕ 2
Полагая, что наблюдаемая случайная величина Хк имеет нормальное распределение выполнить следующее:
2.1. Для заданного уровня надежности γ построить доверительные интервалы для точечных оценок математического ожидания а*=Хср и среднеквадратического от-
клонения σ*=S
2.2. Проверить гипотезы о значении параметров нормального распределения сле-
дующим величинам: а=1,2Хср; σ=0,8S, при уровне значимости α1.
2.3. При уровне значимости гипотезы α2 проверить гипотезу об однородности выборки т.е. гипотезу о равенстве параметров случайных величин, наблюдаемых в первой и второй половине заданной в варианте выборки.
ЗАДАНИЕ 3
Используя критерий Пирсона проверить гипотезы о виде распределения наблюдае-
мой случайной величины Хк при заданном уровне значимости ошибки α3. 3.1.Построить гистограмму частот nj, j=1,….m , где m – число групп наблюдае-
мых значений
3.2. Проверить гипотезу о нормальном распределении наблюдаемой случайной величины Хк с параметрами а=Хср ; σ=S, построить графики теоретических частот nтj на плоскости гистограммы
3.3. Проверить гипотезу о показательном (экспоненциальном) распределении на-
блюдаемой случайной величины Хк с параметром Λ=1/Хср, построить графики тео-
ретических частот nтj на плоскости гистограммы
ЗАДАНИЕ 4
Для заданных выборок Хк={х1, х2, …., хn} и Хр={х1, х2, …., хn} из наблюдений одно-
временно за двумя случайными величинами ХК и ХР , где к, р – номера сопряжен-
ных вариантов данных в предлагаемой РГР, выполнить следующие операции:
4.1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции ρВ(ХК,ХР) для наблюдае-
мых величин ХК, ХР. Построить прямую линейной среднеквадратической регрес-
сии хК” =АхР+В, изобразить ее вместе с наблюдаемыми точками на плоскости хК, хР . 4.2. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции
ρВ(ХК, ХР) при заданном уровне значимости α4.
24
Данные выборки для величин ХК, где к номер варианта РГР
к= |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
x1 |
308 |
0,6 |
2,9 |
512 |
21,2 |
449 |
10 |
23 |
12 |
x2 |
424 |
4,5 |
3,1 |
659 |
32,6 |
1062 |
11,6 |
17 |
18 |
x3 |
359 |
0 |
2,95 |
815 |
44,4 |
1971 |
10,7 |
36 |
22 |
x4 |
438 |
-5,6 |
3,1 |
594 |
64,4 |
4147 |
11,6 |
10 |
-2 |
x5 |
468 |
6 |
3,9 |
678 |
39,5 |
1560 |
17,2 |
19 |
8,4 |
x6 |
149 |
-3,5 |
3,1 |
714 |
32,1 |
1030 |
11,6 |
22 |
14 |
x7 |
534 |
8 |
3,35 |
426 |
31,7 |
1004 |
13,22 |
6 |
11 |
x8 |
151 |
3,3 |
3,3 |
503 |
30,2 |
912 |
12,9 |
14 |
20 |
x9 |
803 |
11,3 |
3,27 |
487 |
33,5 |
1122 |
10,7 |
2 |
15,4 |
x10 |
723 |
12,2 |
3,8 |
543 |
22,7 |
515 |
16,4 |
34 |
-3 |
x11 |
1000 |
22,3 |
3,7 |
746 |
21,2 |
449 |
15,7 |
25 |
12,3 |
x12 |
957 |
20,7 |
3,9 |
673 |
20,4 |
416 |
17,2 |
18 |
20,1 |
x13 |
1086 |
12,3 |
2,6 |
678 |
15,7 |
247 |
8,7 |
20 |
11 |
x14 |
44 |
-6,7 |
4,1 |
874 |
36,6 |
1339 |
9,3 |
38 |
13,6 |
x15 |
182 |
0 |
2,85 |
713 |
48,7 |
2371 |
10,12 |
22 |
-1,4 |
x16 |
550 |
8,5 |
2,78 |
743 |
36,5 |
1332 |
9,7 |
25 |
14,1 |
x17 |
239 |
-0,8 |
4,1 |
700 |
42,8 |
1831 |
18,8 |
21 |
4 |
x18 |
741 |
24,5 |
2,67 |
763 |
38,1 |
1451 |
9,3 |
14 |
-20 |
x19 |
856 |
11,5 |
4,4 |
743 |
35,4 |
1253 |
21,4 |
5 |
-11 |
x20 |
401 |
-4,6 |
2,8 |
1012 |
40 |
1400 |
9,8 |
35 |
-5,6 |
x21 |
442 |
5,3 |
4,35 |
699 |
34,2 |
1169 |
21 |
12 |
2,2 |
x22 |
743 |
14,3 |
3,7 |
972 |
33,8 |
1142 |
15,7 |
34 |
2 |
x23 |
810 |
15,4 |
2,54 |
820 |
64,5 |
4160 |
8,5 |
31 |
11 |
x24 |
446 |
9,7 |
3,7 |
630 |
40,5 |
1640 |
15,7 |
14 |
7 |
x25 |
144 |
-3,7 |
2,95 |
590 |
40 |
1600 |
10,6 |
10 |
5 |
x26 |
876 |
-0,5 |
2,9 |
610 |
22 |
484 |
10,4 |
12 |
0,3 |
x27 |
598 |
9,9 |
3,2 |
450 |
31 |
961 |
12,2 |
9 |
13 |
x28 |
977 |
21,3 |
3,5 |
720 |
45 |
2025 |
14,3 |
23 |
14,8 |
x29 |
690 |
3,7 |
2,7 |
512 |
36 |
1296 |
9,2 |
12 |
8,6 |
x30 |
624 |
10,7 |
2,65 |
431 |
28 |
784 |
9 |
7 |
3,4 |
γ |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
α1 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
α2 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
α3 |
0,01 |
0,025 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
0,05 |
0,025 |
0,05 |
0,01 |
α4 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,1 |
р= 2 |
3 |
17 |
5 |
6 |
7 |
8 |
4 |
25 |
25
Данные выборки для величин ХК, где к номер варианта РГР
к= |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
x1 |
16,4 |
92 |
25 |
10 |
444 |
2,63 |
10 |
8,1 |
140 |
930 |
x2 |
20,5 |
215 |
36 |
9 |
370 |
2,81 |
9 |
7,6 |
260 |
900 |
x3 |
6 |
397 |
48 |
15 |
292 |
0,06 |
73 |
8,2 |
140 |
860 |
x4 |
17,6 |
832 |
68 |
12 |
403 |
1,51 |
25 |
7,6 |
70 |
790 |
x5 |
18,7 |
315 |
43 |
2 |
361 |
7,99 |
33 |
8 |
90 |
750 |
x6 |
12,1 |
209 |
36 |
5 |
343 |
6,04 |
37 |
7,8 |
210 |
710 |
x7 |
14,4 |
203 |
35 |
5 |
487 |
0,2 |
54 |
8,3 |
100 |
560 |
x8 |
16,2 |
185 |
34 |
10 |
448 |
2,77 |
20 |
8,1 |
110 |
320 |
x9 |
12,4 |
227 |
37 |
9 |
456 |
2,94 |
48 |
7,3 |
50 |
270 |
x10 |
15 |
106 |
26 |
8 |
428 |
1,23 |
5 |
7,5 |
470 |
2830 |
x11 |
17,5 |
92 |
25 |
9 |
327 |
3,37 |
63 |
7,9 |
380 |
2440 |
x12 |
20,2 |
86 |
24 |
8 |
363 |
7,55 |
42 |
7,6 |
340 |
2270 |
x13 |
19,6 |
52 |
19 |
12 |
361 |
1,75 |
26 |
8 |
360 |
1760 |
x14 |
20 |
270 |
40 |
10 |
263 |
2,46 |
89 |
7,9 |
330 |
1720 |
x15 |
17,7 |
477 |
52 |
11 |
343 |
2,59 |
53 |
8,3 |
260 |
1580 |
x16 |
7,2 |
469 |
40 |
13 |
328 |
0,99 |
99 |
8,2 |
270 |
1530 |
x17 |
19,3 |
369 |
46 |
16 |
350 |
0 |
1 |
7,6 |
260 |
1460 |
x18 |
7 |
293 |
42 |
13 |
318 |
0,95 |
90 |
7,7 |
190 |
1070 |
x19 |
6,4 |
253 |
39 |
3 |
328 |
1,14 |
25 |
8 |
160 |
1050 |
x20 |
10 |
289 |
44 |
11 |
194 |
1,25 |
29 |
8 |
200 |
930 |
x21 |
12,3 |
236 |
38 |
9 |
350 |
2,41 |
12 |
7,9 |
230 |
2560 |
x22 |
13,7 |
231 |
37 |
13 |
214 |
1,27 |
80 |
8,3 |
140 |
910 |
x23 |
18,3 |
835 |
68 |
14 |
290 |
0,54 |
79 |
7,7 |
170 |
860 |
x24 |
13,5 |
331 |
44 |
13 |
385 |
1,06 |
99 |
7,8 |
100 |
550 |
x25 |
13,7 |
323 |
43 |
10 |
405 |
2,51 |
70 |
7,9 |
90 |
790 |
x26 |
11 |
99 |
26 |
10 |
395 |
2,37 |
66 |
8,05 |
110 |
330 |
x27 |
16,8 |
195 |
35 |
11 |
475 |
2,24 |
6 |
8 |
480 |
2450 |
x28 |
11,9 |
405 |
49 |
8 |
340 |
3,9 |
57 |
7,9 |
310 |
1780 |
x29 |
13,8 |
262 |
40 |
7 |
444 |
3,7 |
47 |
8,3 |
260 |
1100 |
x30 |
16,1 |
159 |
32 |
2 |
484 |
8,18 |
17 |
7,55 |
210 |
840 |
γ |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
α1 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
α2 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
α3 |
0,025 |
0,05 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
0,05 |
0,025 |
0,05 |
0,01 |
0,05 |
α4 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
р= |
30 |
8 |
5 |
26 |
4 |
11 |
12 |
13 |
19 |
15 |
26
Данные выборки для величин ХК, где к номер варианта РГР
к= |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
x1 |
14,7 |
3 |
12,4 |
341 |
140 |
97,5 |
3,42 |
2120 |
340 |
0,71 |
51,3 |
x2 |
14,4 |
2 |
11,2 |
405 |
260 |
90 |
3,51 |
1820 |
260 |
0,75 |
65 |
x3 |
19,9 |
2 |
10,9 |
344 |
140 |
85 |
2,03 |
1750 |
240 |
0,02 |
16,5 |
x4 |
16,9 |
1 |
13 |
830 |
70 |
115 |
2,87 |
1560 |
320 |
0,44 |
55,4 |
x5 |
4 |
2 |
12,9 |
244 |
90 |
102 |
5,41 |
1540 |
345 |
1,7 |
59,1 |
x6 |
7,9 |
3 |
11 |
237 |
210 |
95,1 |
4,76 |
1490 |
280 |
1,38 |
37,1 |
x7 |
19,6 |
4 |
12 |
178 |
100 |
98,2 |
4,73 |
1370 |
170 |
1,36 |
44,6 |
x8 |
14,5 |
1 |
10 |
161 |
110 |
87 |
3,47 |
1340 |
290 |
0,74 |
50,7 |
x9 |
14,2 |
1 |
10,5 |
31 |
50 |
93,3 |
3,56 |
1270 |
210 |
0,78 |
38 |
x10 |
17,4 |
5 |
13,1 |
917 |
470 |
116,1 |
3,97 |
1245 |
150 |
0,98 |
46,6 |
x11 |
13,3 |
2 |
10,7 |
752 |
380 |
91,5 |
3,76 |
540 |
220 |
0,87 |
55 |
x12 |
4,9 |
3 |
10,2 |
704 |
340 |
87,3 |
3,85 |
1040 |
280 |
0,93 |
64 |
x13 |
16,5 |
1 |
9,2 |
515 |
360 |
98,7 |
3 |
2260 |
320 |
0,5 |
62 |
x14 |
15,1 |
2 |
9,3 |
445 |
330 |
95,5 |
3,34 |
2460 |
390 |
0,67 |
63 |
x15 |
14,8 |
3 |
11 |
494 |
260 |
94 |
3,2 |
1270 |
100 |
0,7 |
55,5 |
x16 |
18 |
2 |
10,7 |
476 |
270 |
94,8 |
2,61 |
580 |
140 |
0,3 |
22,4 |
x17 |
20 |
5 |
13 |
504 |
260 |
107,5 1,98 |
920 |
135 |
-0,01 |
61 |
|
x18 |
18 |
3 |
13 |
720 |
190 |
137,5 |
2,57 |
1160 |
200 |
0,29 |
20 |
x19 |
17,7 |
1 |
12,5 |
399 |
160 |
127 |
2,68 |
1300 |
240 |
0,34 |
18,1 |
x20 |
17,5 |
3 |
11,9 |
473 |
200 |
119,5 |
2,7 |
1350 |
250 |
1,23 |
30,3 |
x21 |
15,2 |
2 |
12,8 |
369 |
230 |
109,7 |
3,31 |
1440 |
200 |
0,66 |
37,1 |
x22 |
17,5 |
1 |
11,6 |
230 |
140 |
110 |
2,75 |
1650 |
350 |
0,376 |
42,3 |
x23 |
18,9 |
3 |
12,4 |
231 |
170 |
98,1 |
2,34 |
2310 |
270 |
0,17 |
57,7 |
x24 |
17,9 |
4 |
12,5 |
265 |
100 |
103 |
2,63 |
1720 |
260 |
0,32 |
41,8 |
x25 |
15 |
2 |
11 |
158 |
80 |
105,5 |
3,36 |
1040 |
280 |
0,68 |
42,5 |
x26 |
15,3 |
3 |
13,3 |
871 |
350 |
92,7 |
3,31 |
1380 |
150 |
0,65 |
63,1 |
x27 |
15,5 |
5 |
10,2 |
478 |
290 |
93,1 |
3,24 |
1920 |
290 |
0,62 |
52,7 |
x28 |
12,2 |
3 |
9,6 |
265 |
170 |
94 |
3,95 |
1490 |
280 |
0,98 |
36,3 |
x29 |
12,6 |
2 |
13,7 |
190 |
120 |
101,7 |
3,89 |
1560 |
320 |
0,94 |
43,1 |
x30 |
3,7 |
3 |
12,6 |
457 |
410 |
108,3 |
5,46 |
2110 |
110 |
1,73 |
50,4 |
γ |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
α1 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
α2 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
α3 |
0,05 |
0,025 |
0,05 |
0,05 |
0,01 |
0,025 |
0,05 |
0,05 |
0,025 |
0,05 |
0,01 |
α4 |
0,01 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,1 |
0,05 |
р= |
16 |
22 |
18 |
19 |
23 |
14 |
27 |
28 |
29 |
26 |
9 |
27
9. Пример выполнения расчетно-графической работы
Пусть задана выборка
XB ={2;5;7;1;12; 5;9;6;8;6; 8;6;2;3;7; 6;8;3;8; 12; 6;7;3;9;4; 7;6;8;11;6}
объема n=30, полученная при наблюдении за случайной величиной Х (признак вы-
борки). Заданы так же надежность γ=0,95 для построения доверительных интерва-
лов оценок параметров распределения случайной величиной Х, уровни значимости
α1=0,05; α2=0,05; α3=0,014 α4=0,05 для проверки статистических гипотез.
Задание 1
1.1. Наблюдаемая выборка может представлять собой стаж работы по специ-
альности сотрудников строительного предприятия.
1.2. Построим вариационный ряд выборки, исключив из нее повторяющиеся варианты xj и подсчитав их частоты nj. Получим так же и относительные частоты ωj
=nj/n. Результат приведен в таблице 2, а на рис. 2 построен полигон частот для за-
данной выборки
Таблица 2
xj |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nj |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
7 |
4 |
5 |
2 |
0 |
1 |
2 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωj |
0,0330,067 |
0,1 |
|
0,0330,0670,2330,133 |
|
0,1670,067 |
0 |
0,03 |
0,067 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nj*xj |
1 |
4 |
9 |
4 |
10 |
42 |
28 |
40 |
18 |
0 |
11 |
24 |
191 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj-Xср |
-5,37 -4,37 |
-3,367 |
-2,37 |
-1,37 -0,37 |
0,633 |
1,6332,633 |
3,63 |
4,63 |
5,633 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nj*(xj-Xср)2 |
28,8 38,14 |
34 |
|
5,6013,7360,9411,604 |
|
13,3413,87 |
0 |
21,5 |
63,47 |
224,97 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nj*(xj-Xср)3 |
-155 |
-167 |
-114,5 |
-13,3 |
-5,11 -0,35 |
1,016 |
21,7936,52 |
0 |
99,5 |
357,5 |
62,058 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nj*(xj-Xср)4 |
829,5727,2 |
385,4 |
|
31,376,9770,1270,644 |
|
35,5996,17 |
0 |
461 |
2014 |
4588 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
|
|
ПОЛИГОН ЧАСТОТ |
|
|
|
||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3. Подсчитаем выборочные параметры по формулам: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
= 1 |
n |
|
|
|
= 191 =6,367 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Выборочное среднее X ср |
∑ хi , |
X ср |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
i=1 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 224,97 =7,499 |
||||||
Выборочную дисперсию DВ |
∑(хi − Хср )2 |
, |
DВ |
|||||||||||||||
|
|
n |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
||
Выборочное среднеквадратическое отклонение σ В = |
DВ |
, σ В = 2,738 |
||||||||||||||||
|
|
= |
1 |
|
n |
|
− X ср )3 , |
|
|
= |
62,058 |
|
=0,101 |
|||||
Выборочную симметрию AВ |
3 |
∑(хi |
AВ |
3 |
||||||||||||||
|
|
nσ |
В |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 * 2,738 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
4588 |
|
|
|
|
Выборочный эксцесс EВ |
= −3 + |
4 |
∑(хi − X ср )4 , |
EВ |
= |
4 |
- 3 = -0,28 |
|||||||||||
|
|
nσ |
В |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 * 2,738 |
|
|
|
||
Уточненную выборочную дисперсию D |
|
= |
n |
D |
В |
= 30 7,499 =7,758 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
УТ |
|
n − 1 |
|
|
29 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выборочный стандарт S = |
DУТ |
|
=2,785 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2 |
|
|
|
|
|
|
Величины Хср, Dут, S случайные и являются точечными оценками математиче-
ского ожидания М[X] дисперсии D[X] и среднеквадратического отклонения
σ= D[ X ] наблюдаемой в выборке случайной величины Х.
29