3553

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Р.М. Айнбиндер, Н.Х. Селиванова

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Учебно-методическое пособие

по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика» для обучающихся по направлению подготовки 20.03.01_Техносферная безопасность, профиль Безопасность технологических процессов и производств

Нижний Новгород

2016

УДК 519

Р.М. Айнбиндер. Кривые и поверхности второго порядка [Электронный ресурс]: учеб. - метод. пос. / Р.М. Айнбиндер, Н.Х. Селиванова; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 46 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

В методической разработке приведены определения и классификация кривых и поверхностей второго порядка. Рассмотрены кривые в полярной системе координат и методы приведения уравнений кривых второго порядка к простейшему виду. Даны контрольные задания по теме «Кривые и поверхности второго порядка».

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика» по направлению подготовки 20.03.01_Техносферная безопасность, профиль Безопасность технологических процессов и производств.

© Р. М. Айнбиндер, Н.Х. Хусаинова, 2016 © ННГАСУ, 2016.

§ 1. Понятие кривой на плоскости

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy . Кривой (или линией) на плоскости называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 , где F (x, y)– некоторая функция двух переменных. Для того, чтобы множество точек, координаты которых являются решениями уравнения F (x, y) = 0 , соответствовало наглядному представлению о кривой, на функцию накладывают соответствующие ограничения. Например, множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению Ax + By + C = 0 , есть прямая.

Знание уравнения линии позволяет для любой точки определить, принадлежит ли она линии. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка принадлежит этой линии, если не удовлетворяют

получим 3 -1 +1 - 3 = 0 , 0 = 0 ; 1 -1 -1 - 3 = -4 , - 4 ¹ 0 . Следовательно, точка M1 принадлежит, а точка M 2 – не принадлежит данной линии.

Важный класс линий составляют те, для которых функция F (x, y) есть многочлен от двух переменных. В этом случае линия называется алгебраической кривой, а степень многочлена – порядком кривой. Алгебраическая кривая первого порядка – это прямая линия. Алгебраические кривые второго порядка – это окружность, эллипс, гипербола и парабола – будут изучаться в дальнейшем.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

где хотя бы один из коэффициентов A, B,C не равен нулю.

§ 2. Окружность. Каноническое уравнение окружности

Окружностью называется множество, состоящее из всех точек плоскости (геометрическое место точек), находящихся на равном расстоянии R от фиксированной точки C . Число R называется радиусом окружности, а точка C – её центром.

Найдем уравнение окружности в заданной системе координат oxy . Пусть точка C совпадает с началом координат O(0,0), а M (x, y) – текущая точка окружности, т.е. точка, описывающая окружность.

y

M(x,y)

R

О x

Рис. 1.

Из определения окружности следует, что точка M (x, y) тогда и только

Это есть каноническое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом

R .

Если центр окружности находится в точке C(x0 , y0 ), то уравнение такой

Возводя двучлены, стоящие в левой части равенства (3), в квадрат, получим

x2 + y 2 − 2x0 x − 2 y0 y + x02 + y02 − R2 = 0 .

Мы видим, что уравнение окружности есть алгебраическое уравнение второй степени, и, сравнивая с уравнением (1), получаем, что уравнение (1) есть окружность, если B = 0 и A = C . Обратное тоже верно.

Пример. Показать, что уравнение x2 + y 2 − 8x + 2 y + 8 = 0 задает окружность. Найти ее центр и радиус.

Решение. Т.к. B = 0 , A = C = 1 – это окружность. Выделим полные квадраты x2 − 8x + 16 − 16 + y 2 + 2 y + 1 − 1 + 8 = 0

(x − 4)2 − 16 + (y + 1)2 − 1 + 8 = 0

(x − 4)2 + (y + 1)2 = 9.

Получили уравнение окружности с центром в т. C(4,−1) и радиусом R = 3 .

§ 3. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество, состоящее из точек плоскости, сумма расстояний

от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Рис. 2.

Выведем уравнение эллипса в специально выбранной системе координат, где ось

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллипса.

Основные характеристики эллипса:

1. Оси ox и oy – оси симметрии, начало координат – центр симметрии эллипса.

«Вырождения» эллипса:

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки M1 (2, 22 ) и M 2 (1, 23). Построить кривую.

y

4

23 F2

F1

− 23

Рис. 4. -4

§ 4. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами, и отличная от нуля.

Пусть 2c – расстояние между фокусами F1 и F2 , 2a – постоянная абсолютная величина разности расстояний. В силу определения

Пусть M – произвольная точка гиперболы, тогда

F1 M − F2 M = 2a .

Векторы F1M и F2 M , а так же их модули называют фокальными радиусами гиперболы. Выведем уравнение гиперболы в специально выбранной системе координат.

y

M(x,y)

Рис. 5.

Пусть точка M (x, y) – произвольная точка гиперболы, тогда для нее выполняется равенство (8).

Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Преобразуем (9) к более простому виду, дважды возведя в квадрат и упрощая, получим

Уравнение (10) называется каноническим уравнением гиперболы.

Основные характеристики гиперболы:

1.Оси ox и oy – оси симметрии гиперболы, начало координат – центр симметрии гиперболы.

2.Область расположения гиперболы x ³ a , с осью oy гипербола не

пересекается. Точки ) называются вершинами гиперболы. Действительной осью называется ось, пересекающаяся с

кривой (в уравнении (10) ось ox ), а мнимой – ось, не пересекающаяся с кривой ( oy ).

3.а – действительная полуось, b – мнимая полуось, c = a 2 + b2 – полу фокусное расстояние.

F1 M = ε x + a u F2 M = ε x − a .

y

Рис. 6.