3510
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Уравнение |
x2 |
- |
|
y 2 |
= -1 задает гиперболу, сопряженную к (10). Для |
||||||||||||||||||||||||
a2 |
|
b2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сопряженной гиперболы b |
– действительная полуось, |
a – |
мнимая |
||||||||||||||||||||||||||
полуось. Она расположена в области |
|
y |
|
³ b .(на рис. |
6 |
изображена |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
пунктиром). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Вырождения» гиперболы: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 2 |
y 2 |
x |
|
|
y x |
|
y |
x |
|
y |
|
|
x |
|
y |
|
||||||||||||
|
|
- |
|
= 0 , |
|
|
- |
|
|
|
+ |
|
= 0 отсюда |
|
- |
|
= 0 |
и |
|
+ |
|
= 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a 2 |
b 2 |
a |
|
|
b a |
|
b |
a b |
|
|
a b |
|
или y = |
b |
x и |
y = - |
b |
x – |
пара пересекающихся прямых. |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример. Точка M (6,-2 |
|
|
) лежит на гиперболе, уравнения асимптот |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||
которой y = ± |
2 |
x . Составить уравнение гиперболы и построить ее. |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Каноническое уравнение гиперболы |
x2 |
- |
y 2 |
=1, т.к. |
||||||||||||||||||
a2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
||
асимптоты y = ± |
2 |
x , то |
b |
= |
2 |
|
, b = |
2 |
a . Подставим последнее в уравнение |
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
- |
y 2 |
× 9 =1, далее т. M (6,-2 |
|
) лежит на |
||||||||||||||
гиперболы: |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
a2 |
4a2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
36 |
- |
|
8 × 9 |
=1, |
|
144 - 72 |
=1, 72 = 4a2 , a2 =18 , |
a = 3 |
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
; |
||||||||||||||||||||||||
|
a 2 |
4a 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b = |
2 |
× 3 |
|
|
= 2 |
|
|
|
. Итак, искомое уравнение |
x2 |
|
- |
y 2 |
=1. |
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
8 |
|
|
|
y
22
- 3 2 |
3 2 |
- 22
гиперболе, т.е.
тогда
x
Рис. 7.
11
§ 5.Парабола. Каноническое уравнение параболы
Параболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F , называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной
прямой, называемой директрисой (не содержащей т. F ). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть |
p |
– |
расстояние от F |
до |
директрисы. |
По |
определению |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(11) |
|
параболы |
|
|
|
MF |
|
|
MN |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где точка |
M |
– |
произвольная |
точка |
параболы, N – |
ее |
проекция на |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
директрису. |
Выберем систему |
координат |
так, чтобы |
т. |
F |
|
,0 была |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
фокусом, а x = − p – директрисой. 2
y
N |
M(x,y) |
− |
p |
0 |
F |
p |
,0 |
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
|
|
Рис. 8.
Запишем соотношение (11) в координатах:
|
p |
2 |
2 |
|
|
p 2 |
||
x − |
|
|
+ y |
|
= |
x + |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
это и есть уравнение параболы. После упрощения получим: y 2 = 2 px
Уравнение (13) называется каноническим уравнением параболы. Основные характеристики параболы:
(12)
(13)
1.Парабола (13) симметрична относительно оси ox .
2.Точка O(0,0) – вершина параболы (13).
3.Фокальный радиус точки M(x,y) параболы: FM = x + p .
2
|
12 |
|
Уравнение вида |
y2 = −2 px |
(14) |
определяет параболу, для которой x ≤ 0 , т.е. график этой параболы:
y
M(x,y)
|
− |
p |
|
0 |
p |
x |
|
F |
|
,0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения вида |
x2 |
= 2 py |
|
|
|
|
(15) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
= −2 py |
|
|
|
|
(16) |
|||
задают параболы симметричные относительно оси oy : |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p |
|
|
|
|
0 |
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
F 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
M |
|
|
|
p |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 0,− |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
p |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 11. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рис. 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
«Вырождения» параболы: |
|
|
|||||||
1. |
x2 = −k 2 , |
y 2 = −k 2 . |
Эти уравнения не определяют никакого |
||||||||||||||
|
точечного множества при k ¹ 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
x2 = k 2 , |
|
y2 |
= k 2 , |
эти |
|
уравнения определяют пару |
параллельных |
|||||||||
|
прямых: |
x = ±k и y = ±k . При k = 0 эти прямые совпадают. |
13
Пример. Парабола, симметричная относительно оси oy , имеет вершину в начале координат и проходит через точку (6,-2). Написать уравнение параболы и определить координаты ее фокуса.
Решение. Уравнение параболы, симметричной относительно оси oy : x2 = 2 py либо x2 = -2 py . Подставим координаты точки в оба уравнения:
62 ¹ 2 p × (- 2), т.к. p > 0 . |
62 = -2 p × (- 2) |
|
36 = 4 p |
|
p = 9 |
Уравнение параболы x2 = -18y , ветви вниз и F (0;−4,5)
y
0 |
6 |
x
-2
F(0;-4,5)
Рис. 12.
§ 6. Применение преобразования координат к приведению уравнений кривых второго порядка к каноническому виду
Значения коэффициентов A, B,C общего уравнения (1) кривой II-го порядка Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 определяют, к какому типу относится кривая (эллиптическому, гиперболическому или параболическому). Так, например, если A = C и B = 0 , то кривая – окружность или ее «вырождения». В общем случае, если:
A B
1.= AC - B2 > 0 , то кривая эллиптического вида.
B C
2.A B = AC - B2 < 0 , то кривая гиперболического вида.
B C
3.A B = AC - B2 = 0 , то кривая параболического вида.
B C
14
С помощью преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей общее уравнение кривой II-го порядка можно привести к каноническому виду.
Рассматриваются следующие преобразования координат: 1) параллельный перенос координатных осей:
y y′
M
|
|
|
|
′ |
x |
′ |
|
|
|
|
|
o (a,b) |
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
x |
|
Рис. 13. |
|
|
|
|
|
||
M (x, y) – |
точка с координатами в старой системе координат oxy , |
|
|||||
′ |
′ |
) |
|
|
|
′ ′ ′ |
, |
M (x , y |
– точка с координатами в новой системе координат o x y |
||||||
′ |
|
|
начало координат новой системы с координатами в старой |
||||
O (a,b) – |
|||||||
системе. |
|
|
|
|
|
|
|
x = x′ + a |
формулы параллельного переноса координатных осей, |
||||||
|
|
|
– |
||||
y = y′ + b |
|
|
|
|
|||
выражающие старые координаты через новые. |
|
||||||
x′ = x − a |
обратные формулы. |
|
|
|
|||
|
|
|
– |
|
|
|
|
y′ = y − b |
|
|
|
|
|||
2) |
Поворот координатных осей на угол α : |
|
|||||
|
y′ |
|
y |
x′ |
|
|
|
|
|
M |
|
|
α
0 |
x |
|
Рис. 14.
M (x, y) – точка с координатами в старой системе координат oxy , M (x′, y′) – точка с координатами в новой системе координат o′x′y′ .
15
x = x′ × cosα - y′ × sinα
= ¢ × α + ¢ × α
y x sin y cos
при повороте осей на угол α .
x′ = x × cosα + y × sinα
¢ = - × α + × α
y x sin y cos
–формулы преобразования координат т. M
–обратные формулы.
Пример 1. С помощью параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду уравнение кривой x2 + 2 y 2 − 4x + 8 y − 10 = 0 и построить ее.
|
|
|
Решение. |
AC − B2 = 2 > 0 – |
кривая |
эллиптического типа. |
||||||||||||
Преобразуем данное уравнение – |
сгруппируем полные квадраты |
|||||||||||||||||
|
|
|
x2 − 4x + 4 − 4 + 2(y 2 + 4 y + 4 − 4)− 10 = 0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
(x - 2)2 + 2(y + 2)2 = 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(x − 2)2 |
+ (y + 2)2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
22 |
|
11 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Положим |
x − 2 = x |
эта |
система задает |
формулы параллельного |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y + 2 = y′ |
в т. O1 (2,−2). |
|
|
|
|
||||||
переноса |
осей |
координат |
Получим уравнение эллипса: |
|||||||||||||||
|
x12 |
+ |
y12 |
|
= 11, |
|
|
a = |
|
|
|
b = |
|
|
|
|
||
|
|
с |
полуосями |
22 , |
11 |
и центром симметрии в |
||||||||||||
22 |
|
|||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т. O1 (2,−2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
-a |
|
|
O1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-b
Рис. 15.
Замечание. С помощью параллельного переноса координатных осей удается в общем уравнении избавиться от слагаемых, содержащих x и y в первой степени.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. |
|
Преобразовать уравнение |
xy = m (m > 0) |
к простейшему |
||||||||||||||||||||||||||||
виду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC − B2 = −1 < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение: |
|
– |
кривая гиперболического |
типа. |
||||||||||||||||||||||||||||
Повернем заданную систему координат на угол α . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Подставим в заданное уравнение формулы |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x = x′ × cosα - y′ × sinα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
= x¢ × sinα + y¢ × cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(x′cosα − y′sinα )(x′sinα + y′cosα ) = m |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
′2 |
cosα sin |
α − y |
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ ′ |
|
2 |
α − sin |
2 |
α )= m |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
sinα cosα + x y (cos |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
cos2 α − sin 2 α = 0 , |
cos 2α = 0 , |
2α = π , |
α = π . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||
Итак, |
при |
|
|
мы |
|
избавились |
|
в |
уравнении |
от слагаемого, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
содержащего произведение x′ × y′ и получили уравнение вида |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x¢2 |
× |
|
2 |
× |
|
|
2 |
- y¢2 |
|
× |
2 |
× |
|
|
2 |
= m |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x′2 |
|
- |
y′2 |
|
=1 – это уравнение гиперболы с полуосями a = b = |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2m . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2m |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
y |
|
x′ |
||
|
2m
2m
x
- 2m
- 2m
Рис. 16.
Замечание. С помощью поворота координатных осей удается избавиться от слагаемого, содержащего произведение xy .
17
Пример. 3. Привести к простейшему виду и построить кривую, заданную уравнением: x2 + 4x + 3y + 6 = 0 .
Решение. AC − B2 = 0 – кривая параболического типа. Сгруппируем
полный квадрат и преобразуем данное уравнение: x2 + 4x + 4 − 4 + 3y + 6 = 0
2 |
|
2 |
|
x + 2 |
= x¢ |
|
|
|
|
|
|
||||
(x + 2) |
= -3 y + |
|
.Положим, что |
|
2 |
= y¢ |
являются формулами |
|
|||||||
|
|
3 |
|
y + |
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
параллельного переноса в т.O1 |
|
- 2,- |
2 |
|
. Получим уравнение: |
x′2 = -3y′ – |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
парабола с вершиной в т. O1 |
|
- 2,- |
|
|
|
и симметричная относительно оси |
|||||
|
|
||||||||||
oy′ . |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|||
|
O |
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Пример 4. Построить кривую y = |
|
x + 3 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 1 |
||
|
|
Решение. Перепишем уравнение 2xy - x + y - 3 = 0 , 2x + 1 ¹ 0 . |
|||||||||||||||||||||||
AC − B2 = −4 < 0 – |
кривая гиперболического типа. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
Преобразуем данное уравнение: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 y x + |
|
|
− |
x |
+ |
|
− |
|
= 0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x + |
|
y − |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Положим x + |
|
|
|
= x |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
. Получим x¢ × y¢ = |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y − |
1 |
= y′ |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O¢ |
- |
1 |
, |
1 |
|
– |
|
новое начало координат после параллельного переноса. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
′ |
′ |
на угол 45 |
o |
(см. пример 2). |
||||||||||||
Повернем оси координат o x |
|
и o y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x′ = x′′ |
|
|
− y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y′ = x′′ |
2 |
|
|
− y′′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Получим уравнение (x¢¢)2 × |
1 |
- (y¢¢)2 × |
1 |
= |
5 |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(x |
′′ |
|
|
′′ 2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
− (y |
|
гипербола, где |
a = b = 2,5 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
) |
) |
= 1 – |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2,5 |
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′′ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O′ |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 18.
Задание 1
1.01. Составить уравнение эллипса, имеющего общие фокусы с
гиперболой x2 − 2 y 2 |
= 24 , если эксцентриситет равен |
3 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
1.02. Найти |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
расстояние |
от |
центра |
|
|
окружности |
||||||
x2 + y 2 + 6x + 2 y − 5 = 0 до асимптот гиперболы 9x2 |
− 16 y 2 |
= 144 . |
|||||||||
1.03. На параболе y 2 = 32x взяты две точки |
M |
1 |
и |
M |
2 |
, расстояния |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которых до фокуса этой параболы равны 10. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок M1 M 2 .
1.04. Вершины эллипса, большая ось которого лежит на оси абсцисс, совпадают с вершинами равносторонней гиперболы. Составить уравнения
19
обеих кривых, если известно, что точка M (6, 2), лежащая на гиперболе, равноудалена от ближайших к ней фокусов эллипса и гиперболы.
1.05. Ось симметрии параболы параллельна оси ординат, а уравнение директрисы y − 10 = 0 . Составить уравнение параболы, если она пересекает ось ox в точках (− 5,0) и (11,0).
1.06. Вершина параболы совпадает с одним из фокусов гиперболы 9x2 − 16 y 2 = 144 . Составить уравнение параболы, если известно, что ее директриса проходит через точки (− 4,−3) и (− 4,3).
1.07. Директриса параболы пересекает эллипс 9x2 + 20 y 2 = 324 в точках (− 4,3) и (4,3), а расстояние от этих точек до фокуса параболы
равно 25 . Составить уравнение параболы.
1.08. Равносторонняя гипербола x2 − y 2 = 16 проходит через фокусы эллипса. Составить простейшее уравнение этого эллипса, если отношение
эксцентриситетов гиперболы и эллипса равно |
3 . |
|
|
|||
1.09. Найти |
длину |
стороны |
квадрата, |
вписанного |
в эллипс |
|
9x2 + 16 y 2 = 576 . |
|
|
|
|
|
|
1.10. Найти |
угол, |
под |
которым |
из фокуса |
параболы |
|
x2 − 4x + 8 y − 20 = 0 видна большая ось эллипса x2 |
+ 2 y 2 = 16 . |
|
1.11.Написать каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна 16 , а фокусы отстоят от вершин на 0, 2 от ее длины.
1.12.Меридиан земного шара имеет форму эллипса, отношение осей
которого равно 299 . Определить эксцентриситет земного меридиана. 300
1.13. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (− 1, 2) и (3,0), зная, что ее центр лежит на прямой x − y + 2 = 0 .
1.14. Написать уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом x2 + y 2 = 1, если ее эксцентриситет равен 1, 25.
4924
1.15.На эллипсе x2 + y 2 = 1 найти точку, отстоящую на расстояние
30 24
пяти единиц от его малой оси.
1.16.Прямые x = 8, x = −8 служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 8 . Найти уравнение этого эллипса.
1.17.Эллипс проходит через точки M (3,−2) и N (− 23,1).
Составить уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат.
1.18. Составить уравнение гиперболы, |
проходящей через точку |
||
A(9,−8), если асимптоты ее заданы уравнениями |
|
|
x ± 3y = 0 . |
|
2 |
1.19. Написать каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4x − 3y − 4 = 0 с осью ox .