3480

[Введите текст]

3. Выведем полярное уравнение окружности радиуса R в случае, когда полюс лежит на ней, а полярная ось проходит через центр окружности.

Рис. 24.

Возьмем произвольную точку M на окружности. Треугольник OMN прямоугольный. Получаем уравнение окружности в виде ρ = 2R cosϕ .

4.Покажем, что уравнение ρ = 2a sinϕ и полярных координатах

определяет окружность радиуса a . Подставим выражения для ϕ и ρ через

декартовым координатам здесь довольно громоздкий и приводит к алгебраическому уравнению высокой степени. Поэтому посмотрим эту кривую, исходя из качественных соображений.

свойствам функции ρ = a sin 3ϕ , см. рис. 22, видно, что полярный радиус

При π £ ϕ £ 2π правая часть уравнения ρ = a sin 3ϕ отрицательна, для этих

3 3

31

[Введите текст]

значений ρ точек кривой нет. Для остальных значений кривая получается

− a

Рис. 25.

Задание 3.

Построить кривые в полярной системе координат.

3.01. ρ = 4sin 2ϕ 3.02. ρ = 2(1 + sinϕ ) 3.03. ρ = 3cos3ϕ 3.04. ρ = 2sin 2 2ϕ 3.05. ρ = 3cos2 2ϕ 3.06. ρ = 4cos 2ϕ 3.07. ρ = 3(1 − cosϕ )

3.08. ρ = 2(cosϕ + sinϕ ) 3.09. ρ = 6(sinϕ − cosϕ )

3.10. ρ = 4cos2 ϕ

3.13. ρ = 3(1 − sinϕ )

32

[Введите текст]

3.19. ρ = 3 + cos 2ϕ 3.20. ρ = 2 − sin 3ϕ 3.21. ρ = 3 + 2cos 2ϕ 3.22. ρ = 4 − 2sin 3ϕ 3.23. ρ 2 = 4cos 2ϕ 3.24. ρ = 2(1 + 2cosϕ ) 3.25. ρ 2 × sin 2ϕ = 4 3.26. ρ × cosϕ = 2

3.27.ρ = 2 - 2cosϕ

3.28.ρ =1 + cos 2ϕ

3.29.ρ = 2 + cosϕ

3.30.ρ = 3 - sin 2ϕ1

§9. Поверхности второго порядка

1.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям.

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, пересекающей заданную линию и параллельной заданному направлению. Заданная линия называется направляющей, а

совокупность параллельных прямых – образующими.

33

2.Поверхности второго порядка, заданные своими каноническими уравнениями.

34

z

x

Рис. 27.

z

z

(p > 0, q > 0)

x Рис. 29.

35

[Введите текст]

4.02.

1.x2 − 3y 2 + z 2 = −6

2.2 y 2 − 4 y + x + 1 = 0

3.x2 − 2 y 2 + z 2 = 0

4.03.

1.2x2 + 4 y 2 + z = 1

2.2x2 + 4x + 3y 2 = 0

3.z + 4 + y 2 + 2 y = 0

4.04.

1.2x2 − 4 y 2 + z 2 = 4

2.3y 2 + 6 y + z − 1 = 0

3.x2 + y 2 = 2 y

4.05.

1.3x2 + 4z 2 + y = 3

2.x2 + 3y 2 − z 2 = −6

3.2 y 2 + y − z + 4 = 0

4.06.

1.3x2 + 4z − 5 = 0

2.x2 + y 2 + z 2 − x = 0

3.y 2 − x2 + 2z 2 = 0

4.07.

1.x2 + 2x + y 2 + z 2 = 1

2.y 2 + 2 y + z 2 = 1

3.z + 4 − x2 + x = 0

4.08.

1.2 y + 1 + x2 = 2x

2.y 2 − x2 + 2z 2 = −4

3.2x2 + 4 y 2 + 8z 2 = 1

4.09.

1.3x − 1 + y 2 = − y

2.2x2 − 3y 2 = 16

3.z 2 − x2 + 2 y2 − 4 = 0

37

[Введите текст]

4.10.

1.2z + 4 + x2 = 2x

2.x2 + 2 y 2 = 1

3.2x2 + 4 y 2 + z 2 = 4

4.11.

1.2z − 3 − x2 + 4x = 0

2.x2 − 2 y 2 = 2x

3.3x2 − y 2 − z 2 = 6

4.12.

1.2 y + 3 + z 2 − 2z = 0

2.3y 2 + 4z 2 = x − 4

3.z 2 + z + y 2 − 2 y = 1

4.13.

1.2x2 + 6 y 2 = 3z

2.x2 − 2x − 2 y 2 + 4 y = 0

3.3x2 + 2 y 2 − z 2 = 1

4.14.

1.3x2 − y 2 + 6z 2 = 12

2.x2 − 2x + 2 y 2 = 0

3.3x + 2 + y 2 + 2 y = 0

4.15.

1.z = 3 y + 1

2.3x2 + y 2 − 3z 2 = −6

3.y 2 + 2 y + z 2 = 1

4.16.

1.y = −3x + 1

2.x2 + 2 y 2 + z 2 = 8

3.z 2 − 2 y 2 + 4 = 0

4.17.

1.y 2 + 2 y + z 2 = x − 4

2.3x2 + 4z 2 = 1

38

[Введите текст]

3. 2x + 1 + y 2 = 0

4.18.

1.3y + 4 − z 2 = 0

2.x2 + 2x − z 2 = 1

3.2x2 − y 2 − z 2 = 4

4.19.

1.− x2 + 2x + z = 1

2.x2 − 2 y 2 + z 2 = −4

3.3y2 + 4z 2 = 1

4.20.

1.2x2 + 4 y 2 = 8z

2.x2 − 3z 2 = 6

3.y + z 2 − 2z = 0

4.21.

1.2x2 + 4 y 2 + z 2 = 8

2.x2 − 2x + y2 − 1 = 0

3.y = 2 z − 3

4.22.

1.y 2 + 2x2 = 4z

2.x2 + 2x + y 2 + z 2 = 3

3.z = 2 y + 1

4.23.

1.3z + y2 = x − 3

2.y = − x + 4

3.x2 − 3y2 − z2 = 0

4.24.

1.x = 1 − y + 2

2.x2 − 2x − y2 + z2 = 1

3.2x2 + z2 = 4

39

[Введите текст]

4.25.

1.x2 + 2x + z2 = y − 4

2.3y2 + 4z2 = 1

3.2 y + 1 + x2 = 0

4.26.

1.3x − 4 − z2 = 0

2.y2 + 2 y − z2 = 1

3.2z2 − y2 − x2 = 4

4.27.

1.− y + x2 − 2x = 1

2.z2 − 2 y2 + 2x2 = −1

3.3z2 + 4 y2 = 1

4.28.

1.2x + 4 + z2 = 2z

2.2 y2 + 3z2 = x

3.3y2 + z2 = 1

4.29.

1.z = −3 x = 1

2.x2 + 4 y2 + 2z2 = 16

3.x2 − 2 y2 + 4 = 0

4.30.

1.x2 − 3y2 − 6z2 = 24

2.2 y + 1 + x2 = 1

3.x2 + 4z2 = 12

Задание 5

Построить тело, ограниченное поверхностями: