3351
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Кафедра теоретической механики
ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Выпуск 4. Центр масс. Мощность и работа. Кинетическая энергия
Методические указания для подготовки к интернет–тестированию по теоретической механике для
студентов направлений «Строительство» и «Теплоэнергетика»
Нижний Новгород ННГАСУ
2011
2
УДК 531.1
Интернет-тестирование по теоретической механике. Выпуск 4. Центр масс. Мощность и работа. Кинетическая энергия. Методические указания для подготовки к интернет - тестированию по теоретической механике для студентов направлений «Строительство» и «Теплоэнергетика». Н.Новгород: ННГАСУ, 2011
Методические указания содержат основные теоретические положения и примеры решения типовых задач по рассматриваемым темам, предлагавшихся для решения в процессе интернет - тестирования.
Настоящие методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлениям «Строительство» и «Теплоэнергетика»
Составители: Г.А. Маковкин, А.С. Аистов, А.С. Баранова, Т.Е. Круглова, И.С. Куликов, Е.А. Никитина, О.И. Орехова, С.Г. Юдников, Г.А. Лупанова
© Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2011
3
ЦЕНТР МАСС
Центр масс механической системы
Массой механической системы называется сумма масс ее точек:
n
m = ∑mk .
k=1
Центром масс механической системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой определяется по формуле:
rC = 1 ∑n mk rk
m k =1
Центр масс иногда называют центром инерции.
Формулы для координат центра масс, аналогичны формулам для определения координат центра тяжести:
xC = |
1 ∑mk xk , |
yC = |
1 ∑mk yk , |
zC = |
1 ∑mk zk |
|||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
m k =1 |
|
m k =1 |
|
m k=1 |
|||
Центр масс более общее понятие, чем центр тяжести, поскольку сохраняет смысл даже при отсутствии сил тяжести.
Если массы материальных точек постоянны, то дифференцированием rC
получим выражение для скорости центра масс:
vC = 1 ∑n mkvk ,
mk=1
изатем выражение для ускорения центра масс системы:
aC = 1 ∑n mk ak
m k=1
Теорема о движении центра масс механической системы
ТЕОРЕМА
Произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному вектору внешних сил, действующих на точки системы:
∑n maC = Fke
k=1
4
или в проекциях на оси
|
|
n |
ɺɺ |
e |
|
mxC |
= ∑Fkx |
|
|
|
k=1 |
|
|
n |
ɺɺ |
e |
|
myC |
= ∑Fky |
|
|
|
k=1 |
|
|
n |
|
ɺɺ |
e |
mzC |
= ∑Fkz |
|
|
|
k=1 |
То есть, центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Внутренние силы не могут изменить движение центра масс.
Сохранение движения центра масс
(следствия из теоремы о движении центра масс)
Следствие 1:
Если главный вектор внешних сил механической системы все время равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
n |
, то из теоремы получаем, что aC |
= 0, откуда vC |
|
Если ∑Fke = 0 |
= const . |
||
k=1 |
|
|
|
Следствие 2: |
|
|
|
Если сумма проекций всех внешних сил на какую-либо ось все время равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось постоянна.
n |
|
|
. Отсюда следует, что |
Если ∑Fkx = 0 , то из теоремы получаем, что xC = 0 |
|||
|
e |
ɺɺ |
|
|
|
|
|
k=1 |
(центр масс движется по оси x равномерно или покоится: vCx = const ). |
||
xC = const |
|||
ɺ |
|
|
|
5
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА 1.
На неподвижную однородную призму А, лежащую на горизонтальной плоскости, положили однородную призму В. Ширина основания призмы А равна a=10 м. Ширина основания призмы В равна b=2 м.
Пренебрегая трением, определить смещение призмы А после того, как призма В опустится по призме А. Принять, что масса призмы В втрое меньше массы призмы А.
y
a
b
|
|
B |
|
|
A |
|
|
O |
P1 |
P2 |
x |
|
x1
x2
Варианты ответов.
1. |
3 м влево |
2. |
2 м влево |
3. |
1м вправо |
4. |
2м вправо |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Введем неподвижную систему координат Оху. В этой системе координат обозначим за х1 и х2 координаты центров масс призм А и В в начальный момент времени (см. рис.). Смещение по горизонтали, призмы А обозначим S.
Смещение в процессе движения верхней призмы В относительно нижней призмы А будет равно (a-b). Тогда смещение верхней призмы относительно неподвижной системы координат составит S+(a-b).
В конечный момент времени координаты центров масс призм А и В будут соответственно равны
x1′ = x1 + S, x2′ = x2 + S +(a −b).
6
Вданной задаче имеем механическую систему, состоящую из двух тел: однородных призм А и В. Внешними силами, приложенными к системе
являются силы тяжести: Р1 и Р2 и реакция гладкой поверхности основания призмы А, направленная по вертикали (на рисунке не показана). Все эти внешние силы вертикальны, поэтому сумма их проекций на горизонтальную ось равна нулю.
Всоответствии со следствием 2 из теоремы о движении центра масс делаем вывод: поскольку сумма проекций внешних сил на ось х равна нулю , то
n |
, то xC |
= const. |
∑Fkx = 0 |
||
e |
ɺ |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
Поскольку в начальном состоянии система покоится, то xC = const.
Запишем выражение для определения положения центра масс в начальном положении системы:
x = |
x1m1 + x2m2 |
= |
x1P1 + x2P2 |
. |
|
C |
m1 |
+ m2 |
|
P1 + P2 |
|
|
|
||||
Запишем выражение для определения положения центра масс в конечном положении системы с учетом изменения начальных координат точек приложения сил Р1 и Р2:
x = |
x1′m1 + x2′m2 |
= |
x1′P1 + x2′P2 |
= (x1 + S)P1 +(x2 + S + (a −b))P2 . |
|
|
|
||||
C |
m1 |
+ m2 |
|
P1 + P2 |
P1 + P2 |
|
|
||||
Так как знаменатели в этих выражениях равны, то приравняем числители дробей:
x1P1 + x2P2 = (x1 + S)P1 +(x2 + S + (a −b))P2,
Упрощая полученное равенство, получим:
(P1 + P2 )S + P2 (a −b) = 0.
Решая полученное уравнение относительно неизвестной переменной S, получим
S = |
−P2 (a −b) |
= |
−P2 (10− 2) |
= −2(м). |
|
(P + P ) |
4P |
||||
|
1 |
2 |
|
2 |
|
Ответ: 2. S = 2 м влево.
7
ЗАДАЧА 2.
Определить перемещение S плавучего крана, поднимающего груз весом Р1=2т, при повороте стрелы крана на 300 до вертикального положения (см. рис.).
Вес крана Р2=20т; длина стрелы l =8 м. Сопротивлением воды пренебречь.
y |
x2 |
|
|
|
A |
|
30° |
|
P2 |
O |
x |
|
P1
x1
Варианты ответов.
1. 0.24 м |
2. 0.36 м |
3. - 0.48 м |
4. 0.12 м |
|
|
|
|
Решение .
Вданной задаче имеем механическую систему, состоящую из двух тел: плавучего крана и груза. Внешними силами, приложенными к системе
являются вес крана Р1, вес груза Р2 и давление воды, направленное снизу вверх (на рисунке не показано). Все эти внешние силы вертикальны, поэтому сумма их проекций на горизонтальную ось равна нулю.
Всоответствии со следствием 2 из теоремы о движении центра масс делаем вывод: поскольку сумма проекций внешних сил на ось х равна нулю , то
n |
, то xC |
= const. |
∑Fkx = 0 |
||
e |
ɺ |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
Поскольку в начальном состоянии система покоится, то xɺC = 0 ,
и следовательно, центр тяжести системы по оси х не перемещается, то есть xC = const.
8
Введем неподвижную систему координат Оxy (см. рис.).
Запишем выражение для определения положения центра масс в начальном положении системы:
x = |
x1m1 + x2m2 |
= |
x1P1 + x2P2 |
. |
|
|
|
||||
C |
m1 |
+ m2 |
|
P1 + P2 |
|
|
|
||||
Запишем выражение для определения положения центра масс в конечном положении системы с учетом изменения начальных координат точек приложения сил Р1 и Р2:
x = |
x1′m1 + x2′m2 |
= |
x1′P1 + x2′P2 |
= (x1 + S)P1 +(x2 + S −l sin30°)P2 . |
|
C |
m1 |
+ m2 |
|
P1 + P2 |
P1 + P2 |
|
|
||||
Так как знаменатели в этих выражениях равны, то приравняем числители дробей:
x1P1 + x2P2 = (x1 + S)P1 +(x2 + S −l sin30°)P2,
Упрощая полученное равенство, получим:
(P1 + P2 )S − P2 l sin30° = 0.
Решая полученное уравнение относительно неизвестной переменной S, получим
S = |
P2 l sin30° |
= |
2 8 0.5 |
= 0.36(м). |
||
(P + P ) |
22 |
|||||
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Ответ: 2. S = 0.36 м
ЗАДАЧА 3.
Тело массой m = 2 кг движется по |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
горизонтальным направляющим согласно |
|
|
|
|
|
закону s = 2t2 + 1. |
|
|
|
|
|
Определить модуль главного вектора |
|
O |
|
|
|
внешних сил, действующих на тело. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов.
1. |
5 |
2. |
10 |
3. |
8 |
4. |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Решение.
Из формулировки теоремы о движении центра масс
∑n maC = Fke = Re
k =1
следует справедливость равенства соответствующих модулей:
maC = Re
Вычислив ускорение центра масс по формуле
ɺɺ |
= 4 |
ì |
, |
|
ñ2 |
||||
aC = s |
определим затем модуль главного вектора внешних сил:
Re = ma = 2 4 = 8(кг м) = 8(Н ). |
|
C |
с2 |
Ответ: 3. Re = 8Н.
ЗАДАЧА 4. |
|
|
Диск массой m = 20 кг (см. рис.) вращается |
|
|
равномерно вокруг неподвижной оси с угловой |
|
|
скоростью ω = 10 рад/с. |
ω |
|
|
||
Определить модуль главного вектора внешних сил, |
O C |
|
приложенных к диску, если его центр тяжести |
|
|
|
|
|
удален от оси вращения на расстояние ОС = 5 см. |
|
|
Варианты ответов. |
|
|
1. 50 Н |
2. 10 Н |
3. 20 Н |
4. 100 Н |
|
|
|
|
Решение.
В процессе движения цент массы диска движется по окружности, центром которой является точка О. По условию задачи вращение является равномерным и, следовательно, касательное ускорение точки С будет равно нулю, поскольку равно нулю угловое ускорение:
aÑτ = ε Î Ñ = 0,
10
Нормальное ускорение точки С найдем по формуле
aт = ω2 |
OC =102 5 = 500( |
см |
) = 5( |
м |
). |
с2 |
|
||||
С |
|
|
с2 |
||
Поскольку модуль касательного ускорения центра масс равен нулю, то полное ускорение равно нормальному ускорению.
Воспользуемся теоремой о движении центра масс:
maC = Re.
Приравнивая соответствующие модули, получим, что
Re = ma |
= 20 5( |
кг м |
) =100(Н ). |
|
|||
C |
|
с2 |
|
Ответ: 4. Re = 100 Н.
ЗАДАЧА 5.
Однородный прямолинейный стержень ОА вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку О, в соответствии с уравнением
φ = πt2/2 .
Установить направление главного вектора внешних сил, действующих на стержень при
t = 0.
y |
A |
|
|
||
ϕ |
x |
|
O |
||
|
Варианты ответов.
1. |
влево |
2. |
вниз |
3. |
вверх |
4. |
вправо |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Дифференцируя закон вращения, получим сначала выражение угловой скорости:
ω= ϕɺ = πt,
азатем выражение углового ускорения:
ε = ωɺ = ϕɺɺ= π = const.