2913

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

"Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет"

Н.М. Коннов

СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ДВУХ И БОЛЕЕ ГРУПП ИСПЫТАНИЙ

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекциям и практическим занятиям (включая рекомендации по организации самостоятельной работы)

для обучающихся по дисциплине "Статистическая обработка результатов" направлению подготовки 08.03.01 Строительство

профиль "Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций"

Нижний Новгород

2016

-3-

Введение

Математическая статистика и статистические методы анализа результатов эксперимента нашли всеобщее признание и широко применяется в различных областях науки и техники» в том числе и при производстве строительных материалов и железобетонных конструкций. В последние годы на заводах сборного железобетона внедряются статистические методы контроля качества материалов и изделий. Преимущества статистических методов анализа результатов эксперимента общепризнаны. Статистические методы помогают исследователю сделать правильные выводы о достоверности полученных результатов, оценить случайные отклонения от их истинного значения и исключить грубые ошибки из ряда измерений, позволяют прогнозировать исход большинства опытов. В то же время преимущества статистических методов анализа результатов эксперимента часто в настоящее время приходят в противоречие с недостаточностью соответствующих знаний у инженерно-технических работников, которые должны применять эти методы. Так, часто оценка результатов испытаний серии образцов производится только по величине среднего арифметического без вычисления других статистических характеристик для оценки распределения частных величин в раде измерений, на основании субъективной оценки исследователя без проведения проверки однородности измерений объединяются в одну выборочную совокупность результаты испытаний, полученные по нескольким параллельным сериям образцов и т.д.

Настоящее учебно-методическое пособие имеет своей целью ознакомление студентов с методами проверки однородности измерений и оказание методической помощи при выполнении лабораторных работ по дисциплине

обработка результатов".

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью лабораторных работ является ознакомление студентов с методикой проверки однородности измерений, т. е, с методикой сравнения двух и более вы-

-4-

борочных совокупностей. При проведении практических занятий студенты по настоящему "Учебно-методическому пособию" знакомятся с методикой сравнения выборок, а затем каждый студент выполняет индивидуальное задание, выдаваемое преподавателем.

Индивидуальное задание предусматривает сравнение двух выборочных совокупностей с вычислением статистических характеристик, а также сравнение нескольких выборок, для которых заданы число вариант и основные статистические характеристики,

2. СРАВНЕНИЕ ДВУХ И БОЛЕЕ ГРУПП ИСПЫТАНИЙ В повседневной работе технолога часто возникает ситуация, когда необхо-

димо оценить значимость влияния того или иного рецептурно-технологического решения на результат эксперимента. Например, часто требуется оценить значимость изменения прочности бетона при введении в его состав добавки ускорителя, твердения или оценить значимость изменения подвижности бетонной смеси при введении пластификатора и т.д. Кроме того, очень часто возникает необходимость вынесения решения об объединении в одну выборочную совокупность результатов определения того или иного показателя свойств, вычисленного по параллельным сериям измерений. В таких случаях очень часто решение принимается на основании сравнения только среднего арифметического значения показателя свойств. Например, при равенстве средних выборочных значений предела прочности бетона, определённых по двум или более параллельным сериям измерений, все измерения объединяются в одну выборку, а превышение прочности образцов с добавкой над прочностью образцов без добавки служит основанием для суждения об эффективности влияния на прочностные свойства бетона этого химического соединения.

Однако известно, что любое измерение сопровождается действием случайных неучтенных факторов (инструментальные ошибки, изменение условий проведения измерений, разная точность намерений, грубые ошибки экспериментато-

-5-

ра и т.д.). Из-за действия неучтённых факторов при повторении серий измерений значение определяемого параметра отклоняется в ту или иную сторону от истинного. При этом вопрос об объединении параллельных серий измерений в одну выборочную совокупность не может быть решен на "интуитивном" уровне по признаку равенства в этих сериях выборочного среднего арифметического значения определяемого параметра, так как равенство выборочных средних еще не гарантирует равенство истинных значений (математических ожиданий) определяемого параметра к одинаковости распределения отдельных измерений в выборках (одинаковости группирования измерений вокруг математического ожидания). В то же время влияние неучтенных факторов в той или иной мере будет изменять воздействие изучаемого технологического фактора на величину измеряемого параметра. Может возникнуть случай, когда при незначительном истинном влиянии, например, добавки ускорителя твердения сочетание неучтенных факторов может оказаться таким, что будет уменьшать предел прочности бетона без добавки и увеличивать прочность бетона с добавкой (и наоборот). Становится очевидным, что и в этом случае нельзя вынести суждение об эффективности того или иного технологического мероприятия оценивая только отличия выборочного среднего.

Решение таких вопросов становится возможным только после сравнения выборочных совокупностей с привлечением математических критериев (Фишера, Стьюдента, Кохрена, Бартлетта и др.). Такое сравнение выборок часто называют оценкой однородности измерений. Такая оценка предусматривает проверку основной (нуль-гипотезы) гипотезы Н0 предполагающей, что статистические характеристики сравниваемых выборочных совокупностей являются оценками статистических характеристик одной и той генеральной совокупности (нуль-гипотеза, в соответствии с которой статистические характеристики сравниваемых выборочных совокупностей не имеют статистически значимых отличий). Оценку однородности намерений методически можно разделить на:

а) сравнение результатов измерений двух выборочных совокупностей; б) сравнение результатов измерений нескольких выборок.

-6- 3. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ДВУХ ВЫБОРОК

Сравнение результатов измерений двух групп испытаний (двух выборочных совокупностей) проводится в следующей последовательности:

1.Проверяется принадлежность данным выборочным совокупностям резко выделяющихся в них результатов (проводится исключение грубых ошибок измерений);

2.После исключения из выборочных совокупностей грубых ошибок измерений проводится проверка нуль-гипотезы, в соответствии с которой дисперсии сравниваемых выборок статистически значимых отличий не имеют, т.е.

Но(S2 ) : S12 = S22 ;

3. Проверяется нуль-гипотеза, по которой статистически значимых отличий между средними результатами сравниваемых выборок не наблюдается, т, е.

Н0( Х ) : Х1 = Х2 ;

4. В случае подтверждения гипотез Но(S2 ) : S12 = S22 и Н0( Х ) : Х1 = Х2 появля-

ется основание для объединения двух выборочных совокупностей в одну выборку с последующим вычислением обобщенных дисперсии и среднего арифметического.

3.1. Исключение грубых ошибок измерений

Методика исключения грубых ошибок измерений достаточно подробно разобрана в методических указаниях "Статистические характеристики малой выборочной совокупности" [7], а также в технической литературе [1...6].

3.2. Проверка гипотезы о статистическом равенстве дисперсий даух выборок

Проверка нуль-гипотезы, в соответствии с которой между дисперсиями сравниваемых выборочных совокупностей статистически значимых отличий не наблюдается (т.е. Но(S2 ) : S12 = S22 ), проводится по критерии Фишера (F - кри-

терий), расчетное значение которого можно определить по формуле

-7-

При определении расчётного значения критерия Фишера следует помнить, что большая из двух дисперсий всегда располагается в числителе, т.е. первой выборкой условно считается та выборочная совокупность, у которой большая дисперсия. Выборочные дисперсии рассчитываются по формулам

(или равно) его табличного значения, т.е. Fр ≤ Fт. Табличное значение критерия Фишера (FT) определяется по справочным таблицам (например, приложение 1 и 2) при числе степеней свободы f1 =(п - 1) и f2=(m - 1) для принятого уровня значимости (обычно α=0,05). Если Fp > FT , то нуль-гипотеза отклоняется и с принятой доверительной вероятностью Р=(1-α) принимается альтернативная ги-

потеза Н1(S2 ) : S12 ¹ S22 , по которой между дисперсиями сравниваемых выборок наблюдаются статистически значимые отличия.

-8-

3. 3. Проверка гипотезы о статистическом равенстве средних результатов двух выборок

Проверка нуль-гипотезы (основной), по которой е притнятой доверительной вероятностью можно утверждать, что между средними арифметическими результатами сравнивавшие выборок статистически значимых отличий не наблюдается

(Н0( Х ) : Х1 = Х2 ), проводится по критерию Стьюдента (t-критерий) после про-

верки гипотезы о статистическом равенстве дисперсий этих выборок. При этом может возникнуть два случая:

1.Справедлива нуль-гипотеза, по которой с принятой доверительной вероятностью можно утверждать, что статистически значимых отличий между дисперсиями сравниваемых выборок не имеется, т.е. Но(S2 ) : S12 = S22 ;

2.Гипотеза Но(S2 ) : S12 = S22 отвергнута и с доверительной вероятностью