Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2541

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

282.78 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

В.В. Драгунова , Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям

по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 08.05.01_Строительство уникальных зданий и сооружений,

профиль Строительство высотных и большепролетных зданий и сооружений

Нижний Новгород

2016

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

В.В. Драгунова , Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям

по дисциплине«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 08.05.01_Строительство уникальных зданий и сооружений,

профиль Строительство высотных и большепролетных зданий и сооружений

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

УДК 517.9

Драгунова В.В. Определенный интеграл [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / В.В. Драгунова , Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 48 с;ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

В пособии приводятся необходимые формулы, подробно разбираются решения типовых задач, предоставляются задачи для самостоятельного решения.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ при изучении раздела «Определенный интеграл» курса высшей математики по направлению подготовки 08.05.01_Строительство уникальных зданий и сооружений, профиль Строительство высотных и большепролетных зданий и сооружений

©В.В. Драгунова , Г.П. Опалева , Л.С. Сенниковская, 2016

©ННГАСУ, 2016

1. Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке [a,b] определена непрерывная функ-

ция y=f(x):

•

0	•		׀׀	•	׀׀	׀ ׀׀	•	x
0	a	х1	xi	ξi	xi+1	xn-1	b	x
			Рис.1.
	Определение.			Определенным интегралом от функ-
ции	y = f (x),	заданной			на промежутке		[a,b],	называется

число, получаемое следующим образом:

1)промежуток [a,b] разбивается на n элементарных

промежутков	точками	xi	так,	что
a = x0 < x1 < ... < xi	< ... < xn	= b ;

2)внутри каждого элементарного промежутка выби-

рается произвольная точка ξi , xi−1 ≤ ξi ≤ xi , в

каждой из которых вычисляется значение функции;

3)значения функции f (ξi ) умножаются на длины

соответствующих промежутков xi = xi − xi−1 ; 3

4)все полученные произведения f (ξi )Dxi суммиру-

ются

Sn = f (ξ1 )× Dx1 + f (ξ2 )× Dx2 + ...

+ f (ξn )× Dxn = ∑ f (ξi ) × D xi .

i=1

Полученная сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a,b];

5)вычисляется предел полученной суммы

	n	f (ξi	)× Dxi
lim	∑
n→∞
max xi →0 i=1

Если этот предел существует и не зависит от выбора xi и ξi, то он называется определенным интегралом и обозначается

∫ f (x)dx ,

где f (x) – подынтегральная функция, x - переменная интегрирования,

a и b – границыизмененияпеременной х, a ≤ x ≤ b, a – нижний предел интегрирования,

b – верхний предел интегрирования.

Таким образом

b	f (x)dx =		n	f (ξi	)Dxi
∫	f (x)dx =	lim	∑	f (ξi	)Dxi	(1)
∫		n→∞	∑
а		max xi →0	i=1
		max xi →0

2. Задачи, приводящие к определенному интегралу

К операции интегрирования функции на отрезке

приводят задачи различного характера.

1. Задача о вычислении работы

Пусть под действием силы F материальная точка движется по прямой от точки x1=a до точки x2=b. Вычислим работу, производимую этой силой на заданном промежутке.

Если сила есть функция координаты х, т.е. F=F(x), непрерывная на [a,b], то разбив отрезок на n произвольных частей Dx1, Dx2 ,...Dxn и выбрав в каждом частичном

отрезке произвольную точку ξi, будем считать F(x) в пределах этого отрезка постоянной и равной F(ξi). Вычислим

элементарную			работу	DAi	= F (ξi )× Dxi .	Сумма
n	n	(ξi	)× Dxi даст
∑DAi	= ∑F	(ξi	)× Dxi даст	нам	приближенное	значение
i=1	i=1

работы силы F на промежутке [a,b].

Если предел этой суммы существует и не зависит от выбора точек xi и ξi, то

A = ∫ F (x)dx

2. Задача о вычислении площади криволинейной

трапеции

Пусть на плоскости хОу дана фигура, ограниченная отрезком [a,b] оси Ох, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f (x) на [a,b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

						y = f(x)
	•
0						•
0	•			•
•	•		׀	•	׀	•	x
	а=х0	х1	xi	ξi	xi+1	xn = b	x

Рис.2.

Вычислим площадь этой криволинейной трапеции. Разобьем промежуток [a,b] на n элементарных промежутков, тогда площадь прямоугольника, построенного на Dxi = xi - xi−1 , равна Si = f (ξi )× Dxi , где xi−1 £ ξi £ xi . А приближенное значение площади S под кривой равно суммарной площади этих прямоугольников

n	n	) xi .
S ≈ ∑Si = ∑ f (ξi		) xi .
i=1	i=1

Точное значение площади получим, вычислив

	n	f (ξ	)			=	b	f (x)dx .
lim	∑	f (ξ	)	x	i	=	∫	f (x)dx .
n→∞	∑	i			i		∫
max xi →0	i=1						a
max xi →0

Таким образом:

S = ∫ f (x) dx

(2)

3. Вычисление определенного интеграла

3.1.Формула Ньютона-Лейбница

Если известна первообразная F(x) для функции f(x), то определенный интеграл от f(x) на отрезке [a,b] можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

	b	b
	b
	∫ f (x)dx = F (x)		= F (b)- F (a)			(3)
	a	a
	a

			2	dx
Пример № 1. Вычислить			∫	dx
					.
				(x + 3)2	.
			1

2	dx	1
∫1
		= -	(x + 3)
	(x + 3)2

=- 1 - - 1 = 1

. 5 4 20

3.2.Формула интегрирования по частям

b	b
∫u(х) dv(х) = u(х) × v(х)	ba - ∫v(х) du(х)	,	(4)
∫u(х) dv(х) = u(х) × v(х)	ba - ∫v(х) du(х)	,	(4)
a	a

гдеu(x) иv(x) – непрерывныефункциипеременной хнаотрезке [a,b].

Пример № 2. Вычислить ∫(2x +1) ×cos x dx . 2

Так как подынтегральная функция представлена в виде произведения степенной функции (2х +1) и тригономет-

рической cos x , то полагая

u = 2x +1 ,

dv = cos

dx ,

получим

du = 2 dx,

v = ∫cos

dx = 2∫cos

= 2sin

Применяя формулу (4), будем иметь:

∫(2x +1)×cos

dx = 2 ×(2x +1)

×sin

- 4∫sin

dx =

= 2 × (2π +1) ×sin

- (2 ×0

+1) ×sin 0 + 8cos

- cos 0

- 8

= 4π - 6.

= 2 ×(2π +1)+ 8 × cos

= 4π + 2

3.3.Формула замены переменной

∫ f (x) dx = ∫ f (ϕ (t)) ϕ ¢(t) dt

(5)

где f (x) - непрерывная функция, a ≤ x ≤ b ,

x=φ(t) - монотонная функция, имеющая непрерывную производную, dx = ϕ ′(t)dt, α ≤ t ≤ β , где φ(α) =а и ϕ (β ) = b .

											3
										Вычислить ∫ x								dx .
	Пример № 3.									Вычислить ∫ x						1 + x		dx .
											0
Пусть t =								, тогда x = t 2 -1									и dx = 2t dt.
Пусть t =						1+ x		, тогда x = t 2 -1									и dx = 2t dt.
Найдём новые пределы интегрирования.																				Так как
t =			,то при х=0 будем иметь
t =	1+ x		,то при х=0 будем иметь											t=1, а при х=3 получим
t=2.	Следовательно,
	3				2									2					2
	∫ x				dx = ∫				(t 2 -1)× t × 2t dt = 2∫t 4 dt - 2 ∫t 2 dt =
	∫ x		1 + x		dx = ∫				(t 2 -1)× t × 2t dt = 2∫t 4 dt - 2 ∫t 2 dt =
	0				1									1					1
	= 2 ×	t 5		2	- 2 ×		t 3				=	2	× (25 -15 )-		2		× (23 -13 )=			116	.
		t 5		2			t 3			2		2			2					116

	5			1	3					1	5			3					15

4.Несобственные интегралы

4.1.Интегралы с бесконечными пределами

Если функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a, ∞), то по определению:

+∞ b

∫ f (x) dx = blim→∞ ∫ f (x) dx .

a a

Если существует конечный предел, то интеграл называют сходящимся, если предел бесконечный или не суще-

ствует, то - расходящимся.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023282.63 Кб02537.pdf
#
21.11.2023282.63 Кб02538.pdf
#
21.11.2023282.65 Кб02539.pdf
#
21.11.2023104.72 Кб0254.pdf
#
21.11.2023282.72 Кб02540.pdf
#
21.11.2023282.78 Кб12541.pdf
#
21.11.2023282.82 Кб02542.pdf
#
21.11.2023282.86 Кб02543.pdf
#
21.11.2023282.89 Кб02544.pdf
#
21.11.2023282.92 Кб02545.pdf
#
21.11.2023282.93 Кб02546.pdf