2526

Аналогично

4.2. Интегралы от неограниченных функций

Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна во все точках промежутка [a,b], за исключением точки c [a,b], в окрестности которой она не ограничена:

lim f (x) = ∞ (см. рис.3.)

x→c

у

Рис.3

10

По определению:

при a < c < b.

Если пределы, стоящие в правых частях этих формул существуют и конечны, то соответствующие интегралы называют сходящимися, в противном случае – расходящи-

мися.

на [0, + ∞).

11

Предел существует, значит несобственный интеграл сходится.

Предел бесконечный, значит несобственный интеграл расходится.

12

5.Приложения определенного интеграла

5.1.Площадь плоской фигуры

5.1.1. Площадь криволинейной трапеции (рис.2),

5.1.2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями

5.1.3. Площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми x= a, x=b, двумя кривыми у1 = ун(х), y2 = yв(х) ( ун (х) ≤ ув (х) при всех значениях х [a, b] )

13

В отдельных случаях границы могут быть в точках пересечения кривых. Тогда а и b равны абсциссам точек пересечения указанных кривых.

5.1.4. Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами φ=α, φ = β и кривой ρ = ρ(φ)

Задача № 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х2 и у = х2 - 2х.

Решение: Построим кривые (рис.6.).

y=4 - x2

Рис.6.

Из рисунка 6 видно, что пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения этих кривых. Найдем их. Для этого решим систему уравнений.

y = 4 - x22

y = x - 2x,

в результате получим х1 = -1, х2 = 2 .

Так как 4 - х2 ³ х2 - 2х при − 1 ≤ х ≤ 2 , то искомая площадь S равна

15

S = ∫2 [(4 − x 2 )− (x 2 − 2x)]dx =∫2 (4 + 2х − 2х2 )dx =

Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой ρ = 2(1 + sin ϕ ).

Решение: Построим по данному уравнению кривую. Это будет кардиоида (рис.7.)

• 4

Рис.7.

Так как область симметрична относительно луча ϕ = π , то

2

по формуле (9) будем иметь:

16

5.2. Объем тела вращения

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси

Ох (рис.8) получается тело вращения,

17

y

d

Задача № 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:

Решение: Построим фигуру, ограниченную указанными линиями (рис.10).

18

5.3. Длина дуги кривой. Площадь поверхности, полученной вращением дуги вокруг осей

х х

Рис.11. Рис.12.

19