Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2513

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

281.95 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

5.3.1. Если плоская кривая АВ задана уравнением y = f (x) , где f (x) – непрерывная на [a,b] функция, то длина дуги выражается формулой

хB
L = ∫	1 + (y′)2	dx	(12)
хA

Тогда площадь поверхности, образованной вращением этой дуги АВ вокруг оси Ох вычисляется по формуле:

хB
Px = 2π ∫ y(x)	1 + (y′)2	dx	(13)
хA

Если поверхность получается вращением дуги АВ, заданной уравнением x = ϕ ( y) вокруг оси Оу, то применяется формула:

уB
Py = 2π ∫ x(y) 1 + (x′)2 dy	(14)

уA

5.3.2.Если кривая АВ задана параметрическими

уравнениями x= x (t),		y= y (t), то длина дуги выражает-
ся формулой

	tB
	L = ∫	(xt′ )2 + (yt′ )2 dt	(15)
	t A

		20

5.3.3. При вычислении длины дуги в случае, когда кривая АВ задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (φ), тогда формула принимает вид:

ϕB
L = ∫	ρ 2 (ϕ) + ρ ′2 (ϕ)	dϕ	(16)
ϕ A

Задача № 4 Вычислить длину дуги полукубической параболы y2 = (x −1)3 , заключенной между точками А (2,-1)

и В (5,-8).

-1	•	׀	׀ ׀ ׀ ׀		5	х
-1	–	1	А•	2		х
	–		А•
	–
	–
	–
	–
	–
-8	–			•	В

Рис.13.

Решение: Выразим из уравнения кривой у:

у = ±(х −1)2 .

Функция у (х) определена для x ≥ 1. Поскольку данные точки лежат в четвертой четверти, то

y = − (x −1) 2 .

Отсюда

у′ = − 3 (х −1)2 . 2

Подставляя в формулу (12) у′ , хА = 2, хВ = 5, получим

			5										5
			5						(x	− 1) dx			5
							9						1
LAB = ∫ 1 +							9					=	1			∫ 9x − 5 dx						=
LAB = ∫ 1 +							4					=	2			∫ 9x − 5 dx						=
			2										2
			5					1												3	5
			5					1												3
=		1		∫(9x − 5)2 d (9x − 5) =											1		(9x − 5)2					=
		1													1

	18		2										27								2
			2
					3				3					− 13
	1				3				3		40	40						13
	1										40	40						13
=				40 2		− 13 2				=									≈ 7,63
=				40 2		− 13 2				=									≈ 7,63
		27											27

Задача № 5 Найти площадь поверхности, образован-

ной вращением вокруг оси Ох дуги параболы у2 = 2х, заключенной между ее вершиной и точкой пересечения с пря-

мой 2х = 3.

Решение: Построим линии в системе координат хОу

(рис.14).

		В
3		•
–
А
0•	׀	3 х
0•		3 х
–		2

Рис. 14

Искомая площадь поверхности образована вращением дуги АВ параболы вокруг оси ох. Из уравнения у2 = 2х

находим у = ±2х . Поскольку дуга АВ лежит в первой четверти, то

y = 2x , 0 £ x £ 3 , y¢ = 1 . 2 2x

Подставляя у и у' в формулу (13), при хА = 0, хВ = 3 2

получим

	3									3
2										2
2						1				2			2	x +	1
Px = 2π ∫				× 1 +					dx = 2π ∫			×				dx =
			2x								2x
							2x

0										0				2x
0										0
3								3
						2π				1
2								2		1
2								2
= 2π ∫					dx =			∫(2x + 1) 2 d (2x + 1) =
		2x + 1
		2x + 1				2
0						2		0
0								0

	(2x + 1)	3	3
		2					3
					2π		3			14

			2				2
= 2π				=		4		− 1	=		π .
= 2π	3			=	3	4		− 1	=	3	π .
	3				3					3
			0

5.4. Статические моменты. Центр тяжести

Для плоской фигуры, ограниченной кривыми

y = f1 (x) , y = f2 (x) ( f1 (x) ≤ f2 (x))

и прямыми

х= а, x=b (a ≤ x ≤ b),

ипредполагая, что по этой фигуре равномерно распределена масса так, что её поверхностная плотность ρ постоянна и для простоты положим её равной единице (ρ = 1), тогда масса фигуры будет измеряться её площадью.

Тогда статические моменты относительно координатных осей Ох и Оу выражаются формулами

		b
M x =	1	∫(f22 (x) − f12 (x))dx	;	(17)
M x =	2	∫(f22 (x) − f12 (x))dx	;	(17)
		a


	b
M y = ∫ x( f2 (x) − f1 (x))dx			.	(18)
	a

Центр тяжести плоской фигуры имеет координаты

xc	=	M y	, yc =	M	x	,	(19)
					x
		S		S
		S		S

где S - площадь фигуры.

Задача № 6. Найти центр тяжести фигуры, ограни-

ченной эллипсом 4х2 + 9 у2 = 36 и окружностью x2 + y 2 = 9 и расположенной в первом квадранте.

Решение: Построим фигуру, ограниченную указанными линиями (рис.15).

у
3 –	x2 + y2 = 9

2 –

– 4x2 + 9y2 = 36

׀	׀	׀
0		3	х

Рис.15.

Вычислим сначала статические моменты. Из уравнений окружности и эллипса имеем

					(x) =									, f1 (x) =					2				,
			f2						9 − x2										2	9 − x2
			f2						9 − x2											9 − x2
																	3
		3						2								1	3
						2		2			2					1					2
M y = ∫ x 9			− x				−			9 − x				dx	=		∫ x 9 − x					dx =
M y = ∫ x 9			− x				−			9 − x				dx	=		∫ x 9 − x					dx =
		0						3								3	0
		3		1												3
= −	1	∫(9 − x2 )2			d (9 − x2 )= −							(9 − x2 )2						3 = 3,
= −		∫(9 − x2 )2			d (9 − x2 )= −													3 = 3,
6		0											9					0
		0											25
													25

					3					3
M x		=		1	∫	(9 - x2 )-		4	(9 - x2 ) dx =	1	×	5	× ∫(9 - x2 )dx =
M x		=			∫	(9 - x2 )-			(9 - x2 ) dx =		×		× ∫(9 - x2 )dx =
			2		0		9			2 9 0
	5					x3
	5					x3	3
=			9x -				=5.
=			9x -				=5.
	18					3
	18					3	0

Площадь четверти круга радиуса R = 3 равна 9π , а 4

площадь четверти эллипса с полуосями а = 3 и b = 2 вычислим по формуле (6):

Sэл = ∫ 23 9 - x2 dx = 23 ∫9 - x2 dx =

0 0

	2	x				9		x	3		3	π .
				2
=			9 - x		+		arcsin			=

	3	2				2	3		0		2

Поэтому площадь рассматриваемой фигуры равна

S = Sокр - Sэл = 9π - 3π = 3π . 4 2 4

Таким образом,

xc	=	M y	=	4	;	yc =	M	x	=	20	.
xc	=	S	=	π	;	yc =	S		=	3π	.
		S		π			S			3π
						26

Задание № 1

Вычислить определенные интегралы:

1.01. ∫ x tg 2 2x dx

1.02. ∫ x cos2 2x dx

1.03. ∫ x 2e−2 x dx

0
π
4		x dx
1.04. ∫		x dx

		sin 2 3x
π
6
π
4		x dx
1.05. ∫		x dx

		cos2 x
0
е	(1 + ln x)2 dx
1.06. ∫	(1 + ln x)2 dx
1
0		−	x

1.07. ∫ x2e 2 dx

−2

1 x2 dx

1.09. ∫ ( )2

0 1 + x2

1.10. ∫ lnxx dx

1.11. ∫(π - x)×sin x dx

1.12. ∫(x -1)×cos x dx

1.13. ∫(2x + 3)e−x dx

−1

1.14. ∫ x2 ln x dx

1.15. ∫ x2 ln(x + a)dx

2	x cos x			2
2	x cos x			1.16. ∫(x + 2)ln(x + 3)dx
1.08. ∫			dx
1.08. ∫	sin3	x	dx
π				−2
4
				27

2					1
					1
1.17. ∫ x ln 1				+		dx
1.17. ∫ x ln 1				+		dx
1					х
1
2
1.18. ∫ x2 2− x dx
1
	1
2		x arcsin x
1.19. ∫							dx

					3
0			(1 - x2 )

1.20. ∫ x2 arctg x3dx

ln x dx

1.21. ∫2 (1- x)2

1.22. ∫ x2 3−x dx

1.23. ∫ln(x2 + x +1)dx

e−1

1.24. ∫ln(x +1)dx

∫π -

1.25.x cos 3x dx

∫π -

1.26.x sin 2x dx

0
1	−	1
1.27. ∫(2x +1)×e			x dx
1.27. ∫(2x +1)×e		2	x dx
0
1

1.28. ∫ x2 arctg x dx

1.29. ∫(3x -1)e2 x dx

1.30. ∫(x sin x)2 dx

Задание № 2

Вычислить определенные интегралы:

2.01. ∫1+ x

2.02. ∫4 - x2 dx

x dx

2.03. ∫ x -1

2.04. ∫1+ 2x +1

293 (x - 2)2 dx

2.05.∫3 3(x - 2)2 + 3

ln 2

2.06. ∫ e x -1 dx

∫ 1 - x2

2.09. dx x2

ln 5

2.10. ∫ e x e x -1 dx e x + 3

2		x2	-1
2.11. ∫		x2	-1		dx
2.11. ∫		x			dx
1		x
1
5			dx
2.12. ∫			dx


	2x +			3x +1
0	2x +			3x +1
0

1x2 dx

2.13.∫ (x +1)4

0

7		x3 dx
2.14. ∫		x3 dx

			2
0	3	(x2 +1)

2		e
2		e
2.07. ∫	dx	2.15. ∫	ln x × 4 1		+ ln x	dx
2.07. ∫	3 + 2 cos x	2.15. ∫		x		dx
0	3 + 2 cos x	1		x
0		1
π
4	dx	3
2.08. ∫	dx	2.16. ∫ x2 9 - x2 dx

	1 + a 2 sin 2 x
0		−3

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023281.87 Кб02509.pdf
#
21.11.2023104.44 Кб0251.pdf
#
21.11.2023281.9 Кб02510.pdf
#
21.11.2023281.92 Кб02511.pdf
#
21.11.2023281.92 Кб42512.pdf
#
21.11.2023281.95 Кб02513.pdf
#
21.11.2023281.98 Кб02514.pdf
#
21.11.2023282.01 Кб02515.pdf
#
21.11.2023282.02 Кб12516.pdf
#
21.11.2023282.04 Кб02517.pdf
#
21.11.2023282.09 Кб02518.pdf