2150

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение образования "Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет"

Н.М. Коннов

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАЛОЙ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям

(включая рекомендации по организации самостоятельной работы) для обучающихся по дисциплине "Статистическая обработка результатов исследования" направления подготовки 08.03.01 Строительство с профилем обучения «Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций»

НижнийНовгород

2016

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение образования "Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет"

Н.М. Коннов

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАЛОЙ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям

(включая рекомендации по организации самостоятельной работы) для обучающихся по дисциплине "Статистическая обработка результатов исследования" направления подготовки 08.03.01 Строительство с профилем обучения «Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций»

НижнийНовгород ННГАСУ

2016

УДК519.2+31:69

Коннов Н.М. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАЛОЙ ВЫБОРОЧНОЙ С0В0КУПНОСТИ. [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Н.М.Коннов; Нижегор. гос. архит.-строит. ун-т -Н.Новгород:2016. -31с. -1 электрон. опт. диск.

В методических указаниях приведены понятия генеральной и выборочной совокупности, а также разобраны методики расчета точечных выборочных статистических характеристик. Рассмотрены причины появления ошибок измерений, методики отсеивания грубых ошибок измерений, расчета доверительных интервалов.

- 3 -

ВВЕДЕНИЕ

Впоследние годы математическая статистика и статистические методы анализа результатов эксперимента находят все большее признание и применение в самых различных областях науки и техники, в том числе при исследовании свойств строительных материалов. Математическая статистика широко применяется при изучении вопросов, связанных с совершенствованием и разработкой машин, приборов, новых технологий строительных материалов, а также при выборочном контроле и анализе производственного процесса, в борьбе с производственным браком, Разработка новых технологий строительных материалов всегда сопровождается широким развитием эксперимента, в ходе которого отдельные опыты могут дать случайные результаты, появление которых обусловлено действием неучтенных факторов и различных ошибок измерений. Статистические методы анализа результатов эксперимента помогают исследователю сделать правильные выводы об их достоверности, оценить случайные отклонения полученных величин от их истинного значения, выявить вполне определенные закономерности, позволяющие прогнозировать исход большинства опытов.

Лабораториями производственных предприятий накапливается огромное количество опытных данных, которые часто остаются неиспользованными надлежащим образом. Между тем изучение накапливающихся результатов испытаний методами математической статистики могло бы дать ценные для производства выводы.

Впоследние годы на заводах сборного железобетона начали внедряться статистические методы контроля качества изделий. Однако преимущества статистических методов исследований часто приходят в противоречие с недостатком соответствующих знаний у инженерно-технических работников, которым эти методы приходится применять.

Настоящие "Методические указания" имеют своей целью ознакомление со статистическим анализом результатов испытаний и оказание методической

-4-

помощи студентам при выполнении практических занятий по дисциплине "Статистическая обработка результатов исследований".

Цель работы Целью практического занятия является ознакомление студентов с мето-

дом расчета выборочных статистических характеристик и их доверительных интервалов. При проведении практического занятия студенты по настоящим методическим указаниям знакомятся с методикой расчёта выборочных точечных характеристик, а затем каждый студент выполняет индивидуальное задание, выдаваемое преподавателем, которое предусматривает исключение грубых ошибок измерений из малой выборочной совокупности, расчет точечных характеристик и доверительных интервалов.

1. Генеральная и выборочная совокупность. Точечные выборочные статистические характеристики

При определении физико-механических свойств строительных материалов, как и при изучении любого процесса или явления, экспериментатор проводит ряд последовательных наблюдений, измерений, называемых статистическим наблюдением. Ряд последовательных статистических наблюдений образуют статистическую совокупность. В математической статистике различают генеральную и выборочную статистическую совокупность. Генеральной СОВОКУПНОСТЬЮ называется конечная или бесконечная совокупность всех мыслимых наблюдений, измерений, которые можно было бы провести при данной реальном комплексе условий. Например, при контроле прочности бетона в фундаменте объёмом 100 м3 могло быть изготовлено и испытано 100000 образ- цов-кубов с ребром 10 см. В данном случае, совокупность из 100000 измерений прочности бетона составляют конечную генеральную совокупность. При определении прочности бетона ультразвуковым методом даже на одном образце можно провести бесконечно большое число измерений скорости ультразвука и

-5-

рассчитать бесконечно большое число значений прочности. Бесконечно большая совокупность измерений образует бесконечную генеральную совокупность.

На практике же, при проведений экспериментов исследователь всегда имеет дело с частью генеральной совокупности. Так, контроль прочности бетона того же фундамента объемом 100 м3 проводится обычно испытанием нескольких, например, шести контрольных образцов. В данном случае совокупность шести измерений прочности будет являться частью генеральной совокупности и называется выборочной совокупностью, или просто выборкой. Для того, чтобы по данным выборочной совокупности можно было достаточно надежно судить об интересующем исследователя признаке генеральной совокупности, выборка должна быть репрезентативной. т.е, представительной, отражающей структуру всей генеральной совокупности. Для обеспечения репрезентативности выборка, получаемая при проведении каких-либо измерений, должна состоять из определенного числа вариант, т.е. должна иметь определенный объем. Рассчитать объем выборки для обеспечения ее репрезентативности можно по формуле:

В рецептурно-технологических экспериментах при принятии окончательного решения показатель точности обычно принимается равным 1...5 %, а для поисковых экспериментов показатель точности может быть, увеличен до 10 %. При определении показателей свойств строительных материалов и изделий величина коэффициента вариации может быть принята не более;

3...5 % - при оценке средней плотности;

-6- 5...8 % - при оценке реологических характеристик; 10...14 % - при оценке прочности.

Величина доверительной вероятности мажет быть принята в зависимости от класса решаемых в эксперименте задач:

Р=0,9...0,95 - при проведении поисковых рецептурно-технологических экспериментов;

Р=0,95...0,99 - при определении показателей свойств строительных материалов и при принятии окончательных решений в рецептурно-технологических экспериментах;

Р=0,99...0,999 - при контроле качества особоответственных конструкций (например, в самолетостроении).

При получении выборки из конечной генеральной совокупности репрезентативность обеспечивается не только необходимым объемом выборочной совокупности, но и случайным отбором вариант, для чего используют таблицы так называемых "случайных чисел". Допустим, необходимо отобрать 10 элементов из генеральной совокупности, содержащей 100 вариант. Для этого элементы генеральной совокупности пронумеровываются от 00 до 99. Затем, начиная с любого места таблицы случайных чисел /см. приложение 1/, выписывают десять чисел, исключая повторы. Полученные номера показывают, какие элементы генеральной совокупности надо отобрать для получения выборочной совокупности.

Как уже говорилось выше, исследователь при проведении эксперимента, а также при определении физико-механических свойств строительных материалов всегда получает готовую выборочную совокупность с тем или иным числом вариант (того или иного объема). В зависимости от объема выборки различают малую выборочную совокупность (при числе вариант в выборке не более 30...60) и большую (при числе вариант в выборке более 30.,.60) выборочную совокупность. Выборочная совокупность случайной величины характеризуется рядом статистических характеристик (статистик). При проведении статистиче-

-6-

ских расчетов наиболее широкое употребление нашли следующие статистические характеристики:

1.Среднее арифметическое (выборочное среднее);

2.Дисперсия;

3.Среднее квадратичное отклонение;

4.Коэффициент вариации.

Таблица 1.1 Значение показателя достоверности

Средним арифметическим или выборочным средним для данного ряда чисел X1, Х2,X3, ...Хn называется число, которое находится между наименьшим и наибольшим значением этого ряда и характеризует центр группирования вариант в выборочной совокупности. Выборочное среднее для малой выборки можно определить по формуле:

Физический смысл выборочного среднего аналогичен смыслу центра тяжести механической системы. Очень часто на заводах сборного железобетона ограничиваются вычислением выборочного среднего. Однако простое сопоставление двух выборок показывает, что для полной характеристики, выборочной совокупности одного значения среднего арифметического недостаточно, Например, исследователь располагает двумя выборками: .

-7-

выборка №1 - 10; 11; 12; 13; 14; выборка №2 - 8; 9; 12; 15; 16.

Среднее арифметическое в обеих выборках равно Χ 1 = Χ 2 = 12.

Но очевидно, что результаты выборки №2 хуже, т.к. исследуемый параметр колеблется в более широких пределах. В связи с этим вводятся показатели вариации (колеблемости) исследуемого признака. Характеристики рассеивания (вариации) исследуемого признака дают представление о том как сильно могут отклоняться от своего центра группирования значения исследуемой случайной величины (аналогично тому, как момент инерции характеризует в механике степень рассеивания масс около своего центра тяжести). Дисперсия, являющаяся мерой вариации исследуемой величины, вычисляется по формуле:

Однако характеристика вариации изучаемой величины дисперсией, часто неудобна, т.к. размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака (например, (MПa)2 и т.д.). Для измерения вариации более удобно среднее квадратическое отклонение, размерность которого совпадает с размерностью изучаемой величины. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

Выборочный коэффициент вариации вычисляется в относительных единицах (например, в %) измерения по формуле:

Коэффициент вариации рассматривается как показатель однородности

-8-

выборочной совокупности, при этом считается, что чем меньше его величина, тем выше однородность выборочной совокупности.

Примеры расчета статистических характеристик приведены в приложениях к настоящим "Методическим указаниям".

2. Исключение грубых ошибок из ряда измерений

При проведении любого наблюдения, измерения вследствие воздействия всевозможных неучтенных факторов возникают ошибки, погрешности измерения. Поэтому реальный результат наблюдения, измерения всегда отклоняется от истинного значения и является случайной величиной. Ошибки наблюдения можно разделить на три группы: систематические, случайные и грубые. Систематические ошибки, как правило, постоянны по величине, либо изменяются по определенному известному закону и проявляются одинаково во всей серии наблюдений. Такие ошибки измерений легко учесть введением специальных поправок. Случайные ошибки являются результатом взаимодействия множества незначительных в отдельности факторов и имеют в каждом измерении различные значения. При большом числе измерений, испытаний число отрицательных случайных ошибок приближается к числу положительных. Поэтому для исключения или сведения к минимуму случайных ошибок необходимо стремиться к максимально возможному в данных условиях числу измерений, испытаний. Грубые ошибки являются результатом неожиданных поломок измерительных приборов, просчетов и недосмотров экспериментатора. Результат измерения, содержащий грубую ошибку резко отличается по величине от остальных вариант выборочной совокупности. Наличие грубой ошибки в выборочной совокупности значений случайной величины нарушает характер распределения, изменяет его параметры, т.е. нарушает однородность наблюдений. Выявление и отбраковку грубых ошибок можно истолковывать как проверку однородности наблюдений, т.е. проверку гипотезы о том, что все элементы, в том числе и резко выделяющийся результат, принадлежат одной и той же вы-