1049

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А.К. Ломунов

ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекционным и практическим занятиям для обучающихся в аспирантуре

по направлению подготовки 08.06.01 – Техника и технологии строительства,

профиль – Строительные конструкции, здания и сооружения

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

УДК 519.23

Ломунов А.К. Основы статистической обработки результатов испытаний в строительстве. [Электронный ресурс]: учеб.-метод.пос. / А.К. Ломунов; Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 10 с; 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

Приведены рекомендации по изучению курса лекций и практических занятий по дисциплине Б1.В.ДВ.2.1 Основы статистической обработки результатов испытаний в строительстве. Рассматривается методика изучения основ математических методов планирования эксперимента и применение этих методов при исследовании различных процессов. Раскрыты основные особенности формирования знаний, умений и владений данным предметом.

Предназначено обучающимся в отделе аспирантуры и докторантуры ННГАСУ для подготовки к лекционным и практическим занятиям по учебной дисциплине Б1.В.ДВ.2.1 Основы статистической обработки результатов испытаний в строительстве по направлению подготовки 08.06.01 – Техника и технологии строительства, профиль Строительные конструкции, здания и сооружения.

3

Введение.

В своей практической деятельности аспирант направления 08.06.01 – Техника и технологии строительства, профиль «Строительные конструкции, здания и сооружения» может встречаться с необходимостью произвести требуемые испытания строительных конструкций или выполнить экспериментальные исследования образцов строительных материалов для оценки влияния тех или иных факторов на прочность, надежность и долговечность конструкций. Во всех этих случаях ему необходимо обладать методиками планирования эксперимента и статистической обработки полученных результатов.

Изучив курс «Основы статистической обработки результатов испытаний в строительстве», аспирант будет обладать следующими навыками:

а) способностью к профессиональной эксплуатации современного исследовательского оборудования и приборов;

б) владением навыками сбора, обработки информации, анализа полученных результатов с привлечением методов математической статистики;

в) навыками планирования и проведения мониторинга и диагностики технического состояния строительных конструкций.

Изучение курса «Основы статистической обработки результатов испытаний в строительстве» основывается на знаниях, полученных аспирантами при изучении учебных дисциплин, таких как «Высшая математика» в рамках бакалавриата и магистратуры, включая элементы теории вероятности.

Знания и умения, приобретённые обучающимися при изучении этой учебной дисциплины, необходимы в научно-исследовательской деятельности и подготовке научноквалификационной работы (диссертации).

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для аспирантов 2 года обучения в помощь при изучении курса лекций и выполнении практических занятий, на которые преподавателю в соответствии с действующим учебным планом выделено 20 академических часов лекционного времени и 14 часов практических занятий.

Исходя из выделенного объема лекционных часов и часов практических занятий, в учебно-методическом пособии изложены основные особенности изучения аспирантами курса и рекомендации по освоению следующих разделов лекционного курса:

Тема 1:

∙Основные вопросы математической обработки результатов измерений. Случайные и систематические ошибки (2 часа).

∙Предельная относительная ошибка (2 часа).

Тема 2:

∙Основные действия с приближенными величинами (2 часа).

∙Формулы для приближенных вычислений (2 часа).

∙Общие правила вычислительного процесса с приближенными числами (2 часа).

Тема 3:

∙Ошибка функции. Общая теория ошибок. Основные задачи теории ошибок (2 часа).

Тема 4:

∙Закон нормального распределения случайных величин (4 часа).

Тема 5:

∙ Планирование эксперимента. Полный факторный эксперимент (4 часа).

На практические занятия выносятся следующие темы:

1.Основные действия с приближенными величинами (2 часа).

2.Формулы для приближенных вычислений (2 часа).

3.Общие правила вычислительного процесса с приближенными числами (2 часа).

4

4.Ошибка функции. Общая теория ошибок. Основные задачи теории ошибок (2 часа).

5.Закон нормального распределения случайных величин (2 часа).

6.Планирование эксперимента. Полный факторный эксперимент (4 часа).

Рекомендации по изучению курса лекций и практических занятий

Тема 1. Математическая обработка результатов измерений. Основные вопросы математической обработки результатов измерений.

При освоении данной темы в дополнение к лекциям и практическим занятиям аспиранту следует овладеть основными понятиями математической обработки результатов измерений [6].

Впроцессе освоения дисциплины аспирант должен четко усвоить, что для современных задач необходимо использовать сложный математический аппарат и развитые методы их решения. При этом часто приходится встречаться с задачами, для которых аналитическое решение, т.е. решение в виде аналитического выражения, связывающего исходные данные с требуемыми результатами, либо вообще невозможно, либо выражается такими громоздкими формулами, что использование их для практических целей нецелесообразно.

Вэтом случае применяются численные методы решения, которые позволяют достаточно просто получить численное решение поставленной задачи. Численные методы реализуются с помощью вычислительных алгоритмов. Все многообразие численных методов подразделяют на две группы:

Точные – предполагают, что если вычисления ведутся точно, то с помощью конечного числа арифметических и логических операций могут быть получены точные значения искомых величин.

Приближенные – которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение задачи лишь с заданной точностью.

Во многих задачах из-за сложности, а часто и невозможности получения точных решений применяются приближенные методы решения, к ним относятся: приближенное решение уравнений, интерполирование функций, приближенное вычисление интегралов и др.

Более подробно об этом аспиранту рекомендуется самостоятельно ознакомиться в учебной литературе [1, 2, 4, 6] и законспектировать материал в дополнение к аудиторному конспекту лекций и записям на практических занятиях.

Тема 2. Основные действия с приближенными числами. Малые величины различных порядков.

При освоении данной темы в дополнение к лекциям и практическим занятиям аспиранту следует овладеть основными понятиями приближенных расчетов, правилами математических операций с приближенными числами.

Аспиранту следует усвоить, что число называется точным или приближенным в зависимости от того, точное или приближенное значение величины оно выражает. Числа, полученные в результате измерения величин, как правило, приближенные. Главным требованием к приближенным расчетам является соблюдение заданной точности промежуточных вычислений и конечного результата. При этом в одинаковой степени недопустимы как увеличение погрешностей (ошибок) путем неоправданного загрубления расчетов, так и удержание избыточных цифр, не соответствующих фактической точности.

Истинная погрешность приближенного числа, т.е. разность между точным и приближенным числами, при отбрасывании цифр не превышает единицы разряда последней сохраненной цифры, а при отбрасывании с округлением, выполненным по установленным стандартом правилам, половины единицы цифры сохраняемого разряда.

При изучении данной темы аспирант должен усвоить, что цифры в записи приближенного числа называются верными, если погрешность не превышает половины единицы по-

5

следнего разряда. К приближенным числам относятся также результаты измерения А, которыми оценивают действительные значения Ад измеряемой величины. Так как истинная погрешность полученного результата неизвестна, то ее заменяют понятием предельной абсолютной погрешности Δпр= |A-Aд| или предельной относительной погрешности

δпр=Δпр/А (чаще указывается в процентах δпр=100Δпр/А).

Таким образом, в процессе изучения материала по теме, аспирант должен освоить следующие вопросы:

∙классификация приближенных величин;

∙округление приближенных чисел;

∙математические действия с приближенными числами;

∙малые величины различных порядков.

Более подробно об этом аспиранту рекомендуется самостоятельно ознакомиться в учебной литературе [5, 6, 8] и законспектировать материал в дополнение к аудиторному конспекту лекций и записям на практических занятиях.

Тема 3. Общая теория ошибок. Основные задачи теории ошибок.

При освоении данной темы в дополнение к лекциям и практическим занятиям аспиранту следует овладеть основными понятиями теории ошибок [6, 8].

Аспирант должен знать, что численное значение физической величины получается в результате ее измерения, т. е. сравнения ее с другой величиной того же рода, принятой за единицу. При выбранной системе единиц результаты измерений выражаются определенными числами. Известно, что при достаточно точных измерениях одной и той же величины результаты отдельных измерений отличаются друг от друга, и, следовательно, содержат ошибки.

Ошибкой измерения называется разность х— а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой величины. Ошибка измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины (исключения составляют измерения известных величин, проведенные со специальной целью исследования ошибок измерения, например для определения точности измерительных приборов). Одной из основных задач математической обработки результатов эксперимента как раз и является оценка истинного значения измеряемой величины по получаемым результатам. Другими словами, после неоднократного измерения величины а и получения ряда результатов, каждый из которых содержит некоторую неизвестную ошибку, ставится задача вычисления приближенного значения а с возможно меньшей ошибкой. Для решения этой задачи (при данном уровне точности измерений) надо знать основные свойства ошибок измерений и уметь ими воспользоваться.

Прежде всего, при математической обработке результатов измерений не следует учитывать заведомо неверные результаты (промахи) или, как говорят, результаты, содержащие грубые ошибки. Грубые ошибки возникают вследствие нарушения основных условий измерения или в результате недосмотра экспериментатора. При обнаружении грубой ошибки результат измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить (если это возможно). Внешним признаком результата, содержащего грубую ошибку, является его резкое отличие по величине от результатов остальных измерений. На этом основаны некоторые критерии исключения грубых ошибок по их величине, однако самым надежным и эффективным способом браковки неверных результатов остается браковка их непосредственно в процессе самих измерений.

При изучении данной темы аспирант должен усвоить, что кроме грубых ошибок есть систематические и случайные ошибки.

Систематические ошибки, ошибки измерения вызываются большим количеством разнообразных причин (факторов). Иногда в проведенной серии измерений удается выделить такие причины ошибок, эффект действия которых может быть рассчитан. Например, если

6

после измерений обнаружена неправильная регулировка прибора, которая привела к смещению начала отсчета, то все снятые показания будут смещены либо на постоянную величину, если шкала прибора равномерна, либо на величину, изменяющуюся по определенному закону, если шкала прибора неравномерна. Другим примером может служить изменение внешних условий, например, температуры, если известно влияние этих изменений на результаты измерений. К названным причинам можно также отнести некоторое несовершенство измерительных приборов на границе области их применимости, вызывающее известные ошибки.

Принято говорить, что каждая из таких причин вызывает систематическую ошибку. Выявление систематических ошибок, вызываемых каждым отдельным фактором, требует специальных исследований (например, измерений одной и той же величины разными методами или измерений одним и тем же прибором некоторых эталонов, известных величин). Но как только систематические ошибки обнаружены и их величины рассчитаны, они могут быть легко устранены путем введения соответствующих поправок в результаты измерения. Поэтому в настоящем справочном руководстве мы будем считать, что к началу математической обработки результатов измерений все систематические ошибки уже выявлены и устранены. Подчеркнем, что при этом общая ошибка каждого результата остается неизвестной, так что речь идет не о выделении из общей ошибки некоторой части в виде систематической ошибки, а лишь о введении поправок на известный эффект действия тех факторов, которые удалось выявить.

Ошибки измерения, остающиеся после устранения всех выявленных систематических ошибок, т. е. ошибки результатов измерений, исправленных путем введения соответствующих поправок, называются случайными. Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффекты действия которых столь незначительны, что их нельзя выделить и учесть в отдельности (при данном уровне техники и точности измерений). Случайную ошибку можно рассматривать как суммарный эффект действия таких факторов. Случайные ошибки являются неустранимыми, их нельзя исключить в каждом из результатов измерений. Но с помощью методов теории вероятностей можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины, что позволяет определить значение измеряемой величины со значительно меньшей ошибкой, чем ошибки отдельных измерений (см.[6], §2.2). Учет влияния случайных ошибок основан на знании законов их

распределения (см. [6], §1.2).

Таким образом, в процессе изучения материала по теме, аспирант должен освоить следующие вопросы:

∙общая теория ошибок;

∙ошибка функции одной независимой переменной;

∙ошибка функций нескольких независимых переменных;

∙определение ошибок аргументов;

∙обратная задача теории ошибок;

∙определение оптимальных условий измерений.

Более подробно об этом аспиранту рекомендуется самостоятельно ознакомиться в учебной литературе [2, 5, 6] и законспектировать материал в дополнение к аудиторному конспекту лекций и записям на практических занятиях.

Тема 4. Случайные явления и их общая классификация. Основная формула теории случайных ошибок. Закон распределения случайных величин.

При освоении данной темы в дополнение к лекциям и практическим занятиям аспиранту следует овладеть основными законами распределения для дискретных случайных величин [6].

7

Аспирант должен четко представлять себе, что на практике встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (обладают одной и той же плотностью вероятностей).

Одно из центральных понятий теории вероятностей - понятие случайной величины. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную величину. Однако, когда невозможно определить закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины:

∙Математическое ожидание,

∙Дисперсия,

∙Среднее квадратичное отклонение

Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения. Случайные ошибки измерения характеризуются определенным законом их распределения. Существование такого закона можно обнаружить, повторяя много раз в неизменных условиях измерение некоторой величины и подсчитывая число т тех результатов измерения, которые попадают в любой выделенный (отмеченный) интервал: отношение этого числа к общему числу п произведенных измерении (относительная частота попадания в отмеченный интервал) при достаточно большом числе измерений оказывается близким к постоянному числу (разумеется, своему для каждого интервала). Это обстоятельство позволяет применить к изучению случайных ошибок измерения методы теории вероятностей.

При изучении данной темы аспирант должен усвоить, что одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение (распределение Гаусса). Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся

аналогичных условиях.

Таким образом, в процессе изучения материала по теме, аспирант должен освоить следующие вопросы:

∙случайные явления и их общая классификация;

∙закон распределения случайных величин;

∙математическое определение вероятности;

∙общие закономерности случайных ошибок;

∙интеграл вероятностей и его вычисление;

∙показатели точности измерений.

Более подробно об этом аспиранту рекомендуется самостоятельно ознакомиться в учебной литературе [2, 5, 6, 7] и законспектировать материал в дополнение к аудиторному конспекту лекций и записям на практических занятиях.

Тема 5. Регрессионный анализ многофакторной модели. Полный факторный эксперимент. Пример планирования эксперимента при получении модели процесса

Приступая к освоению данной темы, в дополнение к лекциям и практическим занятиям аспиранту рекомендуется ознакомиться с историей развития теории планирования эксперимента [4].

Аспирант должен четко представлять себе, что эксперимент занимает главенствующее место среди способов получения информации о внутренних взаимосвязях явлений в при-

8

роде и технике. Он является отправной точкой и критерием адекватности большинства наших знаний.

За последние годы была создана последовательная и достаточно строгая теория регрессионного анализа, базирующаяся на современных теоретико-вероятностных представлениях. Эта теория позволила значительно глубже понимать и оценивать результаты, получаемые методом наименьших квадратов.

Время показало, что регрессионный анализ, несмотря на вышесказанное, не нашел сколько-нибудь широкого распространения для решения практических прикладных задач, когда приходится иметь дело с очень большим числом независимых переменных. Здесь возникают практически непреодолимые трудности, связанные, с одной стороны, с необходимостью проведения огромного количества экспериментов, а с другой — с интерпретацией уравнения регрессии, поскольку все коэффициенты регрессии оказываются коррелированы между собой в той или иной степени.

Планирование эксперимента — это новый подход к исследованию, в котором математическим методам отводится ведущая роль, когда экспериментатор, основываясь на априорных данных, выбирает оптимальную в некотором смысле модель, а на апостериорных

—ее корректирует.

На математическом языке задача планирования эксперимента формулируется следующим образом: выбрать оптимальное в определенном смысле расположение точек в факторном пространстве для получения некоторого представления о поверхности отклика.

При изучении данной темы аспирант должен усвоить, что задачи отыскания оптимальных условий являются одними из наиболее распространенных. Следует отметить, что всегда необходимо четко формулировать, в каком смысле условия должны быть оптимальными, поскольку это определяет в значительной мере успешность исследования. Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, называется экстремальным.

Эксперименты, когда в каждом опыте варьируют одновременно все независимые переменные, называются активными, в отличие от традиционных — пассивных, когда это применяется в отношении только одного фактора. Активные эксперименты позволяют использовать:

1)чувствительность многомерного регрессионного анализа к соблюдению исходных предпосылок:

2)максимально упростить обработку экспериментов для построения регрессионных моделей, поскольку это можно учесть в заранее планируемом эксперименте;

3)получить максимум информации об изучаемых явлениях;

4)попутно с аппроксимацией функции отклика решать порой более важные для исследования задачи по отысканию экстремума в р-мерном факторном пространстве и оптимальному управлению процессами;

5)ранжировать факторы опытным путем по степени их влияния на функцию отклика;

6)получать математическое описание процессов, которое ранее было весьма затруднительным, и формализовать методами дисперсионного анализа изучение явлений, зависящих от качественных факторов;

7)изучать и математически описывать процессы и явления при неполном знании их механизмов.

Область применения планируемых экспериментов распространяется на все явления, которые зависят от управляемых факторов, т.е. изменяемых и поддерживаемых на определенных уровнях. Данные эксперименты можно подразделить:

• на отсеивающие, предназначенные для ранжирования;

• на экстремальные;

• на предназначенные для дисперсионного анализа;

• на предназначенные для специальных случаев.

9

При изучении данной темы аспирант должен усвоить, что взаимосвязь между переменными величинами может быть описана разными способами. Например, эту связь можно описать с помощью различных коэффициентов корреляции (линейных, частных, корреляционного отношения и т.п.). В то же время эту связь можно выразить по-другому: как зависимость между аргументом (величиной) X и функцией Y. В этом случае задача будет состоять в нахождении зависимости вида Y=F(X) или, напротив, в нахождении зависимости вида X=F(Y). При этом изменение функции в зависимости от изменений одного или нескольких аргументов называется регрессией. Графическое выражение регрессионного уравнения называют линией регрессии. Линия регрессии - это прямая, построенная методом наименьших квадратов: сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси Y) от каждой точки графика рассеивания до прямой является минимальной. Линия регрессии выражает наилучшее предсказание зависимой переменной (Y) по независимым переменным

(X). Эти независимые переменные носят название предикторов.

Таким образом, в процессе изучения материала по теме, аспирант должен освоить следующие вопросы:

∙задачи планирования эксперимента;

∙взаимосвязь между переменными величинами;

∙регрессионный анализ многофакторной модели;

∙способы определения доверительных интервалов;

∙критерии проверки однородности дисперсий;

∙полный факторный эксперимент.

Более подробно об этом аспиранту рекомендуется самостоятельно ознакомиться в учебной литературе [1, 2, 3, 4] и законспектировать материал в дополнение к аудиторному конспекту лекций и записям на практических занятиях.

Рекомендуемая литература

1.Губанов Л.Н.., Зверева В.И. Планирование экспериментальных исследований: учебное пособие // Н.Новгород: ННГАСУ 2007. – 84 с.

2.Черников А.А., Трухин Б.В. Математические методы планирования и обработки эксперимента: учебное пособие // Н.Новгород: ННГУ 2003. – 95 с.

3.Адлер Ю.П. , Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование экспериментов при поиске оптимальных условий // Москва: Наука, 1976. – 280 с.

4.Сидняев Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных:

учебное пособие // М.: Издательство Юрайт ; ИД Юрайт, 2011. — 399 с.

5.Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М.:Наука, 1970. 104 с.

6.Румшиский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. М.:Наука, 1971. – 192 с.

7.Мелник М.И. Основы прикладной статистики // Москва: Энергоатомиздат 1985.

8.Цепаев В.А, Статистическая обработка результатов испытаний // Н. Новгород:ННГАСУ 2007.