Методички по физике / 43К

7

Министерство образования Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А.Н. Туполева

Кафедра общей физики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 43К

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

Казань 2002

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

Цель работы: измерение частоты переменного тока.

Свободные и вынужденные колебания. Явление резонанса.

Если натянутую, закрепленную на концах струну вывести из положения равновесия, а затем предоставить самой себе, то струна будет совершать колебания под действием упругой силы, возникающей при ее деформации. Такие колебания называются собственными (или свободными) колебаниями системы. Волна смещения, распространяющаяся вдоль струны от места, где возбуждены колебания, испытает отражение на закрепленных концах струны. Вдоль струны будут распространяться навстречу друг другу две волны – бегущая и отраженная, уравнения которых имеют вид:

бегущая

у₁=Аsin (1)

отраженная

у₂=Аsin (2)

Здесь у₁ и у₂ - смещения точек в волнах, А - амплитуда колебаний, Т - их период, x- координата произвольно выбранной точки, - скорость распространения волны. В результате интерференции бегущих волн в струне возникает стоячая волна. Ее уравнение можно получить сложением уравнений (1) и (2):

у = 2 А cossin,

где =T– длина волны.

Легко видеть, что амплитуда стоячей волны

А_с=2А cos

меняется вдоль струны от 0 до 2А .

Точки стоячей волны, в которых амплитуда равна 0 , называются узлами. Точки, для которых амплитуда , называются пучностями (координаты узлов и пучностей попробуйте определить

самостоятельно).

В местах закрепления струны располагаются узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается в длине струны целое число раз. То есть:

или ,

где L - длина струны; n - целое число. Частота таких колебаний равна _n= или

_n= . (3)

Частоты _n называются собственными частотами или нормальными модами струны. Все они кратны частоте ₁ =, которая называется основной частотой или основным тоном колебаний. Частоты _n при n = 2, 3, ... называются гармониками основной частоты или обертонами. Частоты собственных колебаний определяются, как обычно, параметрами колебательной системы:

,

где L - длина струны; d - ее диаметр; F - сила натяжения струны, равная mg;  - плотность материала струны. Собственные колебания с течением времени затухают. Кроме собственных колебаний, натянутая струна может совершать вынужденные колебания под действием внешней периодической силы.

Рассмотрим этот вопрос на примере пружинного маятника.

Пусть на этот маятник действуют сила трения (сопротивление среды) F_тр = - rv и cила упругости F_упр = - kx, где r - коэффициент трения, k - коэффициент упругости. Если на этот маятник будет действовать еще и периодическая вынуждающая внешняя сила с частотой 

F_вын = F₀ cos t ,

то маятник будет совершать вынужденные колебания с этой же частотой. Уравнение движения такого маятника записывается в виде

.

Введем следующие обозначения:

, ,

где _о- cобственная частота незатухающих колебаний,  - коэффициент затухания. Тогда уравнение принимает вид:

.

Решением этого неоднородного дифференциального уравнения будет

x= А₀ е ^{- t} cos ( t + ) + B cos( t + ) ,

где  = - частота затухающих колебаний. Первое слагаемое представляет собой собственные колебания системы и быстро затухают. Таким образом, система под действием внешней периодической силы будет совершать колебания с частотой вынуждающей силы  :

x= B cos( t + ),

где – амплитуда вынужденных колебаний, - разность фаз между колебаниями и вынуждающей силой F, которая определяется выражением

Видно, что амплитуда и фаза этих колебаний зависят от соотношения собственной частоты ₀ и частоты вынуждающей силы  .

При приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы происходит резонанс – явление резкого возрастания амплитуды. Так как в системе существует трение, амплитуда не обращается в  . И резонанс наступает при  = .

Если затухание мало, т.е.   ₀ , можно считать, что _рез ₀ .

При этом т.е. сдвиг фаз стремится к нулю.

Для системы со многими степенями свободы, т.е имеющей несколько или бесконечное число собственных частот, резонанс поступает каждый раз, когда частота внешнего воздействия становится равной частоте одной из мод.

Описание установки

Схема установки приведена на рисунке 1. Она состоит из электромагнита ЭМ, двух подвижных стоек К₁ и К₂ , блока В, груза Р и стальной струны. Струна одним концом закреплена на скамье и натягивается грузом Р через блок В. Вынужденные колебания струны

Рис. 1

получают с помощью электромагнита, который питается от сети переменного тока и устанавливается под натянутой струной. Частота вынуждающей силы в этом случае равна удвоенной частоте переменного тока, так как за один период переменного тока электромагнит два раза намагничивается и два раза размагничивается. Поэтому за один период переменного тока струна два раза притягивается к электромагниту и два раза отталкивается.

Когда частота собственных колебаний струны будет равна удвоенной частоте переменного тока, амплитуда колебаний струны резко возрастет, так как возникает резонанс. Плавным изменением длины струны можно создать условия для резонанса. Это условие можно выразить равенством  = 2 f, где f - частота переменного тока;  - частота собственных колебаний струны. Вспомнив, что  = , легко получить формулу для определения частоты переменного тока:

f =.

Методика проведения эксперимента и обработки результатов

1. Начертить в тетради таблицу1 .

2. Включить компьютер.

Таблица 1

№ опыта	масса груза, кг	L1, м	L2, м	L3, м	Lср, м	f, Гц
1	1
2	2
3	3

3. Запустить программу 43К.ЕХЕ. Для этого указать курсором на 43К.ЕХЕ и щелкнуть левой кнопкой мышки (в дальнейшем эту команду обозначим L’ на 43К.ЕХЕ). Изучить информацию на экране. Слева вверху показана экспериментальная установка, внизу расположена таблица 1. В правой части экрана имеется панель инструментов.

4. Установить диаметр струны 0,0005 м (диаметр струны можно менять в пределах 0,00014-0,00063 м).

Опыт 1

5. Установить массу груза 1 кг (масса груза может меняться в пределах от 1 до 3 кг).

6. Путем перемещения стойки с помощью мышки добиться состояния резонанса и в таб. 1 записать значение L_1.

7. Пункт 6 повторить еще 2 раза и записать в таб. 1 значения L₂ и L₃.

Опыт 2 .

7. Установить массу груза 2 кг. Повторить пункты 6 и 7.

Опыт 3

7. Установить массу груза 3 кг. Повторить пункты 6 и 7.

Примечание: если резонанс не наблюдается при данных значениях m и d, то необходимо их изменить до получения резонанса.

10. Вычислить L_ср, для каждой из нагрузок. Результаты занести в таблицу.

11. Вычислить f , взяв за L = L_ср из таблицы для трех разных грузов поочередно.

12. Рассчитать f_ср и погрешности измерений.

Контрольные вопросы.

1. При каком условии в струне возникает стоячая волна? Вывести уравнение стоячей волны.

2. Чем отличается амплитуды стоячей и бегущей волн? Равны ли длины бегущей и отраженной волн?

3. Вывести координаты узлов и пучностей стоячей волны.

4. Как определяются моды колебаний струны?

5. Вывести уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника.

6. Что является решением уравнения вынужденных колебаний пружинного маятника?

7. Вывести формулы для значений амплитуды и разности фаз затухающих колебаний при резонансе.

8. Посредством изменения какой частоты достигается резонанс?