Методички по физике / 6K

7

Министерство образования Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А.Н. Туполева

Кафедра общей физики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6К

ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Казань 2002

Цель работы: проверить закон сохранения импульса на примере абсолютно упругого и абсолютно неупругого удара шаров.

Приборы и оборудование: компьютер и программа выполнения работы на компьютере.

Содержание работы.

Импульсом k-той материальной точки называется вектор, равный произведению массы на ее скорость: p_k = m_k _k . Импульсом системы п материальных точек р называют векторную сумму

p= .

Закон изменения импульса системы записывается в виде

, (1)

где F^B – главный вектор внешних сил, определяемый как

.

Здесь – внешняя сила, действующая на k-тую материальную точку. Если главный вектор внешних сил равен нулю или система является замкнутой, импульс системы остается постоянным во времени

p= = const . (2)

Это положение называется законом сохранения импульса.

Пусть проекция F^B на некоторое направление, например, на направление оси х , будет равна нулю. Тогда из (1) следует

, p_х = const. (3)

Как видно, в этом случае проекции импульса незамкнутой системы на ось х сохраняется. Для системы из двух материальных точек это выражение можно записать в виде:

m₁ _1х+ m₂ _2х=m₁u _1x + m₂u_2x, (4)

где _kх и u_kx - проекции скоростей материальных точек до и после взаимодействия соответственно.

Тела при соударении друг с другом претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры.

Существуют два предельных случая удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие немеханические виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела, отталкиваясь друг от друга, восстанавливают первоначальные формы. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, величины и направления которых определяются двумя условиями: сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел.

При абсолютно неупругом ударе не возникает потенциальная энергия деформации, кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе импульс и полная энергия системы сохраняются, а механическая энергия не сохраняется. Физические явления при неупругом столкновении тел довольно сложны. Сталкивающиеся тела деформируются, возникают различные силы, в телах возбуждаются колебания, волны и т.д. Однако, с течением времени все эти процессы прекращаются и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое твердое тело.

Рассмотрим абсолютно неупругий удар на примере столкновения шаров (рис.1). Пусть шары движутся вдоль горизонтальной оси х , соединяющей их центры, со скоростями _1х и _2х .Такой удар называется центральным. В этом случае отсутствуют внешние силы, направленные вдоль оси x и поэтому можно применить формулу (4).Обозначим через u_х общую скорость шаров после столкновения. Из (4) находим:

m₁_1х+ m₂_2х=(m₁+ m₂)u_{x ,}

где m₁ и m₂ - массы шаров. Отсюда получаем

u_x =. (5)

Кинетические энергии системы до удара и после удара равны соответственно

K₁= , K₂=.

Пользуясь этими выражениями, нетрудно получить потерю системой механической энергии К^/ :

К^/=К₁-К₂=,

где - приведенная масса шаров. Таким образом, при столкновении абсолютно неупругих шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.

Теперь рассмотрим центральные удары абсолютно упругих шаров. Пусть скорости шаров до удара _1х и _2х направлены вдоль прямой, соединяющей их центры. Скорости шаров после столкновения u_1x и u_2x легко найти из законов сохранения импульса и энергии

m₁_1х + m₂_2х = m₁ u_1x + m₂u_2x,

. (5)

Так как одно из уравнений - квадратное, а другое - линейное, то относительно неизвестных u_1x и u_2x система должна иметь два решения, одно из которых можно указать сразу:

u_1x =_1х , u_2x =_2х .

Но это решение не соответствует столкновению и поэтому не удовлетворяет условию задачи. Перепишем уравнения (5) в виде :

m₁(u_1x -_1х )= m₂(u_2x -_2х ),

m₁(u_1x² -_1х² )= m₂(u_2x² -_2х² ). (6)

Почленно поделив уравнения, получим:

u_1x + _1х =_2х +u_2x. (7)

В результате задача сводится к системе двух линейных уравнений, решая которую найдем единственное, удовлетворяющее условию задачи, решение:

,

. (8)

Допустим, что второй шар вначале был неподвижным (_2х=0). Тогда

; (9)

Если m₁ > m₂ , то первый шар будет двигаться в первоначальном направлении. При m₁ < m₂ он отскочит в противоположном направлении. При m₁ = m₂ первый шар остановится, а второй пойдет вперед со скоростью первого. При

m₁ = m₂ из формул (8) получаем

u_1x =_2х ; u_2x= _{1х ,} (10)

т.е. при столкновении двух одинаковых абсолютно упругих шаров они просто обмениваются скоростями.

Описание установки.

Установка представляет собой два маятника равной длины в общем случае с разными массами в виде шаров. Для удержания металлического шарика в отклоненном положении применяется электромагнит. В момент удара шаров сила тяжести mg и сила натяжения нити F_H направлены вдоль оси у. Поэтому проекция внешних сил на ось х равна нулю и можно использовать формулу (4). Значения скоростей до и после удара определяются по углам отклонения шаров от положения равновесия. Так как потенциальная энергия отклоненного шарика должна равняться кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия (рис.2), имеем:

mgh= (11)

где h - высота поднятия шарика; m- масса; _х- скорость шарика в момент прохождения положения равновесия. При небольших углах отклонения

h=l-l coscos . (12)

Подставляя (12) в (11), находим:

. (13)

Формула (13) позволяет в формулах (4)-(10) использовать вместо скоростей _х и u_x угол . В формуле (13) угол также может быть измерен в градусах.

Порядок выполнения работы

Открыть файл 6 К.

а) Выбрать вид удара. Для этого щелкнуть левой кнопкой мышки один раз (в дальнейшем эта команда сокращенно L) на команде «выбор удара».

б) L на команде “абсолютно упругий удар”.

в) ОК.

г) Установить начальное значение угла ₁. Для этого L на электромагните и перетащить электромагнит в нужное положение.

д) Задать массы шаров m₁ и m₂ путем перемещения ползунков в поле «Характеристики шаров».

е) L на команде “подготовить”.

ж) L на команде “пуск”.

з) Пункты е и ж повторить еще 4 раза

и) Данные таблицы переписать в тетрадь.

к) L на команде “выбор удара”.

л) L на команде “абсолютно неупругий удар”.

м) ОК

н) Повторить пункты г – и

о) L на команде “выход”.

Производят проверку закона сохранения импульса по формуле m₁_1х=m₁ u_1x + m₂ u_2x или по видоизмененной формуле m₁₁ +m₂₂ ;углы отклонения проверяют по видоизмененной формуле (9)

₁= ; ₂= ;

Таблица 1

№ п/п	1	1	2	m1	m2
1. 2. 3. 4. 5.

Таблица 2

№ п/п	1		m1	m2
1. 2. 3. 4. 5.

В случае неупругого удара шаров проверку закона сохранения импульса производят по формуле

.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается закон сохранения импульса ?

2. Что такое абсолютно упругий удар ?

3. Что такое абсолютно неупругий удар ?

4. Вывести формулу для распределения скоростей после упругого и неупругого столкновений.

Авторы Тимеркаев Б.А.

Даутов Г.Ю.